方位角不為零時太陽輻照的計算

中國地質大學(北京)數理學院 ■ 馮娟

北京昆蘭新能源技術有限公司 ■ 李繼超

0 引言

在太陽能有關的應用中，一般采取傾斜放置的方式來盡可能多的接收太陽輻照。對于一個特定的地區，太陽輻照量包括直射、散射、反射3部分，在水平面上的3個分量是根據多年觀察得到的經驗值，如何根據水平面上的值來計算斜面上的輻照量往往是太陽能利用中首先要考慮的問題。一般氣象臺站提供的只是水平面上太陽輻照量的數據，通常采用Klein S A[1]總結的計算方法，來確定朝向赤道傾斜面上的太陽輻照量。認為傾斜面上的太陽輻照總量Ht由直接輻照量Hbt、天空散射輻照量Hdt和地面反射輻照量Hrt3部分組成，并認為天空散射輻射是均勻分布的，顯然這是不嚴格的。后來Hay J E[2]提出了天空散射輻射各向異性的模型，其表達式為：

其中：H、Hb和Hd分別為水平面上的太陽輻照總量、直接輻照量和散射輻照量；Rb為傾斜面和水平面上直接輻照量的比值；H0為大氣層外水平輻照量；β為傾角；ρ為地物表面反射率。

以上計算關鍵之一就是Rb的計算，特別是在方位角不為零時計算比較復雜。文獻[3-4]具體給出了方位角為零時的直射量比值的計算公式及推導過程，未給出方位角不為零時的推導。通過分析太陽輻照模型具體推導方位角不為零時的直射計算，給出比值的計算公式。

1 問題的分析

計算直射量的比值，需分析水平面上輻照與傾斜面輻照的不同，找到各自的計算公式，特別是通過水平面上現有公式的分析來得到傾斜面上的計算公式。在水平面上，一天的太陽輻照量是水平面上太陽輻照強度的積分，積分上下限是水平面上的日落時角與日出時角，太陽輻照強度是太陽時角的函數乘以一個系數，這個系數對于某一天可看成是常數；傾斜面上輻照量的計算[4]也類似，只是太陽高度角不同，日落時角與日出時角也不同。

太陽高度角是太陽光線與平面的夾角，高度角越大單位面積的輻照量越大，當地球在自轉時，隨著太陽時角的變化，高度角也在變化。因此根據當地的緯度、傾角、赤緯角、方位角以及太陽時角來計算太陽高度角是關鍵。日落時角與日出時角是太陽的高度角為零時的太陽時角，文獻[5]給出其計算公式。以北半球為例來推導直射量比值的計算公式，南半球的推導與此類似，只是與數值的正負規定有關。

2 方位角為零時的太陽輻照計算

2.1 水平面上太陽參數的計算

日出時角與日落時角是太陽高度角為零時對應的太陽時角，水平面上的日出時角與日落時角計算式為：

其中：δ表示太陽赤緯角，對于每一天有計算公式，對于固定的一天可認為是常數；φ表示當地的緯度。

太陽高度角的正弦表達式為：

其中：τ為太陽時角，上午為負，下午為正。

水平面上一天中太陽的累計直射量表達式為：

其中：K為與太陽輻照強度有關的一個常數。

2.2 傾斜面上太陽參數的計算

太陽高度角的正弦表達式為：

其中：β為傾角。

日出時角與日落時角表達式為：

3 方位角不為零時太陽輻照的計算

方位角不為零或任意朝向時，如何計算傾斜面上的太陽輻照，主要還是太陽高度角及日出時角與日落時角的計算，計算太陽高度角是關鍵。

3.1 太陽光線輻照地球的模型

太陽光線輻照地球的模型如圖1所示。圖1來自右側的太陽光線是不動的，左側地球在不停地轉動，想像地球上一點Q有一塊板子受到太陽光線的輻照，求這個板子受到的輻照強度的關鍵就是求太陽光線垂直面與板子的夾角，夾角越小輻照強度越大。

圖1 太陽光線輻照地球的模型

3.2 問題及求解

問題求解的關鍵是正確地表示出問題，這里的關鍵是板子所處位置的參數的含義[6-7]，并由此計算板子與光線垂直面的夾角，用平面方程來處理它是合適的，同時也要運用一些立體幾何的知識。可假想板子在Q點隨著XYZ一起運動，光線垂直面不動，這等價于光線垂直面在不停地轉動，地球不動。

已知赤道面與日地中心的連線的夾角(即赤緯角)，板子所在點Q所處的水平面與赤道面的夾角的余角(即緯度)，板子平面與水平面的夾角(即傾角)，板子在水平面上投影與水平面上正南方向的夾角(即方位角γ)，求地球在轉動過程中即時角變化時板子與太陽光線垂直面之間的夾角公式。其立體幾何關系見圖2，過Q點做Z軸的垂線作X軸，然后做Y軸，得到空間坐標系。

圖2 緯度、傾角、方位角、赤緯角的幾何關系

具體做圖方法為：1)建立XYZ坐標系；2)放置一與Y軸平行的水平面，交Z軸于M點且交X軸于Q點，與ZY平面的交線是MT；3)通過Q點放置板子平面，它與水平面的交線是QT，與Z軸相交點P；4)從P點向水平面上做投影為V點，過P點做QT的平行線與過Q點做QT的垂直線的交點為N；其中：∠QMO=φ，∠NQS=β，∠SQV = γ，∠QSV = 90°(由 于∠NQS是二面角，當NS垂直于SQ時，NS一定是水平面的垂線，又NP平行于水平面，故NPVS構成矩形，SV//NP，PV = NS ，并且SV//QT，QT與SV都垂直于SQ)，∠MTQ=γ，令QM = 1，QMV在一條直線上(由于水平放置時規定保證了∠MQO為二面角，ZX平面垂直于水平面，P點在水平面上的投影一定在ZX平面上，V一定在兩平面的交線上，故QMV在一條直線上)。

則有如下計算：

求得：PM = cosγ/(ctanβsinφ- cosφcosγ)

進而得到：

于是板子在XYZ坐標系過P、Q、T3點的坐標都已確定，分別為：P[0,0, cosφ + cosγ /(ctanβsinφ-cosφcosγ)]，Q(sinφ,0,0)，T(0,1/tanγ,cosφ)，這樣可求出以下方程：

其中：a1=1/sinφ,

光線垂直面方程的求解相對簡單，只與赤緯角和時角有關。正午即τ=0時，光線垂直面與YZ平面平行，考慮赤緯角為δ時，光線垂直面與X軸和Z軸的兩個交點為sinδ和cosδ，再結合太陽時角為τ時光線垂直面與XYZ坐標系的交點，可得到光線垂直面在XYZ坐標系中的3個點是：(sinδ/cos(-τ),0,0)，(0,sinδ/sin(-τ),0)，(0,0,cosδ)。這樣就可直接確定方程：

其中：

求以上兩個平面的夾角可根據兩面間夾角的

余弦公式：

實際上就是板子的高度角的正弦值，經過簡單的三角運算可得：

以上分析是按向左偏的情況來進行的，當方位角向右偏時平面與Y軸的交點改變變量的符號。

3.3 日出時角與日落時角公式

方位角不為零時的日出時角與日落時角為[5]：

其中：a=sinδ(sinφcosβ-cosφsinβcosγ)，b=cosδ(cosφcosβ+sinφsinβcosγ)，c=cosδsinφsinγ，D= (b2+c2)?

3.4 傾斜面上與水平面上太陽直射量的比值的計算

傾斜面上一天中太陽的累計直射量表達式為：

傾斜面上與水平面上的輻照量比值是Rb=K sinhdτ/K sinhdτ，因為變量是 τ，而被

積函數是τ的簡單三角函數，因此Rb可表示為簡單的計算公式：

4 實例分析

以北京地區為例，傾角37°，使用以上推導的公式編制計算機程序來計算一定傾角時的太陽輻照量，繪制出變化曲線。其中方位角從0～90°變化，得到的結果如圖3所示，它的變化趨勢與文獻[5]中的曲線數據變化趨勢一致。

在方位角變化時，按相應最佳傾角得到的年輻照量曲線如圖4所示。

圖3 傾角固定，不同方位角時的輻照量曲線

圖4 傾角最優，不同方位角時的輻照量曲線

5 結論

根據太陽參數的計算方法[8]，結合太陽輻照地球模型，分析了水平面上與傾斜面上的計算方法，從而給出了傾斜面與水平面上的直射輻照量之比的計算公式。通過對北京、上海等地區在傾角變化、方位角變化時的全年輻照量的計算可知，傾斜面上的太陽輻照量當方位角為零時一般是最大；當方位角不為零時，隨著方位角的增加輻照量會減少。因此對于一個地區，為了獲得最多的年輻照量，應盡量將方位角設置為零，當方位角不能設置為零時，應通過適當減少傾角而獲得最多的輻照量。

[1] Klein S A. Calculation of monthly average insolation on tilted surfaces[J]. Solar Energy, 1977, 19(4): 325-329.

[2] Hay J E. Calculation of monthly mean solar radiation for horizontal and inclined surface[J]. Solar Energy, 1979，23(4):301-307.

[3] 王炳忠. 太陽輻照計算講座[J]. 太陽能, 2000, (2): 16-17.

[4] 王炳忠. 太陽輻照計算講座[J]. 太陽能, 2000, (3): 20-21.

[5] 楊金煥, 毛家俊 陳中華. 不同方位傾斜面上太陽輻照量及最佳傾角的計算[J]. 上海交通大學學報, 2002, 36(7): 129-133.

[6] Reda I, Andreas A. Solar position algorithm for solar radiation applications[J]. Solar Energy, 2004, 76 (5): 577-589.

[7] Walraven R. Calculating the position of the sun[J]. Solar Energy, 1978, 20(5): 393-397.

[8] 陳祥. 光伏電站發電量的理論計算及差異分析[J]. 太陽能,2011, (1): 39-40.