二階矩陣微分方程通解的按列比較法

吳幼明 ，嚴意君 ，吳文峰

(1．佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)系，廣東 佛山 528000；2．愛荷華威斯萊大學(xué) 商業(yè)管理系，愛荷華 芒特普萊森特 52641)

二階矩陣微分方程通解的按列比較法

吳幼明1，嚴意君1，吳文峰2

(1．佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)系，廣東 佛山 528000；2．愛荷華威斯萊大學(xué) 商業(yè)管理系，愛荷華 芒特普萊森特 52641)

基于矩陣微分方程理論采用按列比較方法，導(dǎo)出了非齊次項為Af″(x)-Bf(x)=t(x)次多項式的一類常系數(shù)矩陣微分方程的遞推形式通解公式;進行兩種特殊情況的討論，利用算例驗證矩陣微分方程通解公式的正確性.

矩陣微分方程；按列比較方法；通解

求矩陣微分方程的通解公式和特解公式[1～5]是微分方程理論的重要內(nèi)容之一，而對于高階矩陣微分方程的通解研究，目前研究結(jié)果還不夠豐富.文獻[6]給出了一類三維二階矩陣微分方程Af″(x)-aAf′(x)-Bf(x)=t(x)的通解公式，但t(x)僅為二次多項式的形式；文獻[3～5]分別給出了文獻[6]的方程在t(x)為三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘等三種形式的特解公式；文獻[7]給出了文獻[8]的矩陣微分方程Af″(x)-Bf(x)=t(x)在其t(x)為m次多項式的形式的通解公式.本文在文獻[3～8]的基礎(chǔ)上，對文獻[6]的方程的t(x)改為m次多項式的形式，亦即對文獻[7]的矩陣微分方程增加了一階導(dǎo)數(shù)項；采用待定矩陣法和按列比較法，導(dǎo)出了文獻[6]的矩陣微分方程在t(x)為m次多項式時的遞推形式通解公式，是文獻[6]的縱向推廣，亦是文獻[7]的橫向推廣，更具一般性.

1 符號

給出矩陣微分方程

(1)

其中fi=fi(x)(i=1，2，3)是關(guān)于x的函數(shù)，ti(x)(i=1，2，3)是關(guān)于x的n次多項式,aij，bij，(i,j=1,2,3)是常數(shù).

(2)

2 方程的通解

2.1 齊次方程的通解

方程(2)對應(yīng)的齊次方程為

(3)

則方程(3)的通解[6]為

(4)

其中，Λ=diag(λ1,λ3,λ5)；這里

2.2 非齊次方程的通解

給定方程(2)，設(shè)

(5)

其中ai,bi,ci(i=0,1,2,…,m)是常數(shù).

根據(jù)待定系數(shù)法，可設(shè)方程(2)的1個特解為

(6)

(7)

比較等式兩端x同次冪的系數(shù)，得

(8)

由式(8)得

(11)

由式(9)和(11)得

(12)

利用式(11)和(12)的初始數(shù)據(jù)，由式(10)得遞推公式

(13)

則方程(2)的一個特解為

(14)

從而方程(2)的通解為

(15)

2.3 特殊情況的討論

(1)當(dāng)m=2時，式(14)變?yōu)?/p>

ft=-B-1t(x)+aB-1AB-1t′(x)-B-1AB-1(E3+a2AB-1)t″(x).

(16)

此結(jié)果與文獻[6]的結(jié)論完全一致，證明本文的通解公式是文獻[6]的拓展.

(2)當(dāng)a=0時，式(14)變?yōu)?/p>

(17)

此結(jié)果與文獻[7]的結(jié)論完全一致，證明本文的通解公式是文獻[7]的推廣.

3 算例

用本文方法解下列方程組

(18)

將方程組(18)寫成矩陣形式為

(19)

由公式(11)、(12)和(13)得

因此，方程組(18)的1個特解為

(20)

把特解式(20)代入原方程組式(18)，等式成立.此證明特解式(14)確是方程組(2)的1 個特解.

[1] 化存才.常系數(shù)非齊次線性微分方程組特解公式的新推導(dǎo)及其應(yīng)用[J].云南師范大學(xué)學(xué)報,2004,24(4)：1-5.

[2] 孫麗強.幾種常系數(shù)線性非齊次方程組的特解的求法[J].青島大學(xué)師范學(xué)院學(xué)報, 1997, 14(2)：12-16.

[3] 吳幼明，何佩婷.一類二階常微分方程組的特解[J].四川理工學(xué)院學(xué)報,2010, 23(1)：10-13.

[4] 吳幼明，周文苑.一類二階微分方程組的特解[J].洛陽師范學(xué)院學(xué)報,2009, 28(2)：1-6.

[5] 吳幼明，周 單.一類二階常微分方程組的特解[J].佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2011,29(1)：14-19.

[6] 吳幼明，王向東，岳珠峰.一類二階微分方程組的通解[J].汕頭大學(xué)學(xué)報,2007,22(3)：15-20.

[7] 吳幼明，陳慧靜，陳曉純，等.微分方程組特解計算的按列比較法[J].佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2015,33(1)：10-13.

[8] 吳幼明，羅旗幟.一類二階常系數(shù)微分方程組的通解[J].佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2002,20(2)：10-14.

責(zé)任編輯：周 倫

Column Comparison Method for the General Solution of Second-order Matrix Differential Equation

WU You-ming1， YAN Yi-jun1， WU Wen-feng2

(1.DepartmentofMathematics,FoshanScienceandTechnologyUniversity,FoshanGuangdong528000,China; 2.DepartmentofBusinessManagement,IowaWesleyanUniversity,MountPleasant52641,America)

Based on matrix differential equation theory, the column comparison method was adopted to deduce general recursion formula of a type of matrix differential equation with constant coefficients. The non-homogeneous term of the equation isAf″(x)-Bf(x)=t(x) polynomial. Two special cases were discussed in detail and the general formula of matrix differential equation was validated by cases.

matrix differential equation; column comparison method; general solution

2015-10-08

廣東省自然科學(xué)基金資助項目(S2013010012463)

吳幼明(1962—)，男，廣東廣州人，副教授，博士，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué).

1671-9824(2016)02-0024-04

O241.8

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