基于最小破產概率的最優比例再保險策略

曹玉松

(許昌學院 信息工程學院，河南 許昌 461000)

基于最小破產概率的最優比例再保險策略

曹玉松

(許昌學院 信息工程學院，河南 許昌 461000)

在資本價格服從標準布朗運動的基礎上，假定保險公司通過購買比例再保險降低風險，以破產概率最小作為最優衡量標準，構建了相應的Hamilton-Jacobi-Bellman 方程及最優再保險決策模型，通過求解相應的方程，得出了破產概率最小下的最優再保險比例.

布朗運動；Hamilton-Jacobi-Bellman方程；破產概率；比例再保險

再保險是分散風險的一種有效方法，不同目標函數下的最優再保險問題一直是保險研究中的熱門問題，這里我們選擇破產概率最小作為最優標準.許多學者以效用期望最大化作為最優標準對保險問題進行了大量的研究，Xiao和Yi[1]給出了有限時間內的破產概率的上下界；Young 和 Zhang[2]討論了基于跳擴散過程的最優投資問題；Promislow和Young[3]討論了基于比例再保險和投資的破產概率的大小問題；Pergamenshchikov和Zeitouny[4]給出了破產概率的下上界；Azcue和Muler[5]在資本服從Cramer-Lundberg過程的前提下，討論了最小破產概率問題，其它的結果可以參考Gajek (1979)，Daykin (1993), Fleming and Soner (1993)[6-8].與上述文獻不同的是本文我們在資本服從布朗運動的前提下，我們采取破產概率最小作為最優衡量標準，通過購買比例再保險來降低風險.基于上述假設我們利用漂移布朗運動和哈密爾頓-雅克比-貝爾曼理論討論破產概率最小化問題，通過對相應的哈密爾頓-雅克比-貝爾曼方程求解，給出了最優比例再保險決策.論文的安排如下，第一部分，我們建立保費的隨機過程，在保費和投資過程服從布朗運動假設下，通過引入再保建立相應的動態模型.本文的主要結論破產概率的最小值以及如何購買比例再保險將在第二部分介紹，第三部分，我們將給出一些相關的說明.

1 模型介紹

根據Promislow and Young (2005)，我們通過漂移布朗運動刻畫保費過程C如下：

dC(t)=adt-bdW0(t).

(1)

這里，a和b均為正整數，W0(t)為標準布朗運動. 顯然，用布朗運動刻畫的風險過程是實際情況的一個近似，假設保費以固定的速率c0=(1+θ)a連續支付，這里θ>0為安全系數.設I:I+→I+表示再保險函數，我們假設保險人通過購買比例再保險來降低風險，設Y表示所有的風險,R(Y)表示再保險函數，I(Y)=qY這里q表示再保險的比例.與保費支付給保險公司類似，再保險保費以固定的速率c1=(1+η)aq支付給再保險公司，R(Y)=qY，顯然η越大，再保險保費越高，剩余資金越少.

根據(1)，剩余過程為

dR(t)=c0dt-dC(t)-c1=(θ-η)adt+b(1-q)dW0(t).

(2)

此外，我們還假設保險人將剩余的資金投到風險市場和無風險市場(銀行等)中去以獲得最大利潤.設S0(t)表示無風險市場的價格過程則:

dS0(t)=r0S0(t)dt,r0>0.

決策α用隨機過程0≤q(t)≤1來描述，這里q(t) 表示在t時刻再保險的比例，X(t) 表示將決策α應用到(2)后資金的過程X(t)的動態過程為

dX(t)=[r0X(t)+((θ-ηq(t))a)]dt+b(1-q(t))adW0(t).

(3)

決策α認為是可行的，當滿足0≤q(t)≤1. 定義所有的可行決策組成的集合為αs.

2 最小破產概率

ψ(x)=infα∈αsψα(x).

(4)

我們的目標是得到最小破產概率ψ(x)及其最優的決策q*(t) 使得

ψ(x)=ψq*.

(5)

且邊界條件為

ψ(0)=1，ψ(∞)=0.

(6)

下面我們求解帶有邊界條件(6)的式子(5)的解以及其相應的值函數.

首先我們給出下面引理，該引理在求解式子(5)和(6)中起著重要的作用.

引理1 定義ψ(x)如式子(3). 則:

(7)

相應的最優決策q*=1.

(8)

注意q0(x)<1，若q0(x)≥0 則取q*(x) 等于q0(x), 若q0(x)<0, 令q*(x)=0.

上述討論過程可得下面兩個引理，這兩個將在求解方程(5)中用到.

(9)

證明 顯然，在區間A1上，式子(5)關于變量q的最小值在q0(x) 如式子(8)處取得. 將它們帶入到式子(5)可得式(9)的左部.

(10)

由于引理3的證明過程和引理2的證明過程類似，這里我們不再給出其證明過程.

下面我們根據上述兩定理求解帶有邊界條件(6)的式子(5)的解.

設q*(x) 為式子(5)左端取得最小值的決策. 對于q*(x), 這里有兩種可能，即 0

若 0

(11)

(12)

為了求解帶有邊界條件(6)的式子(5)的解，引理2 要求式子(12)的q*(x) 在區間(0,1)上, 即

(13)

式子(10)的解為

(14)

這里

(15)

這里常數C2將在隨后給出.

根據函數ψ(x)在x=β1處連續，下面我們確定式子(11)中的常數C1和式子(14)中的常數C2.得

(16)

(17)

總結上述討論結果可得如下定理.

定理1 對于邊界條件為式子(6)的方程(5)的問題，存在連續可導的函數ψ(x) 及其相應的最優再保險決策如下q*(x):

3 結語

在資本過程服從布朗運動的前提下，以破產概率最小作為最優衡量標準，通過求解相應的哈密爾頓-雅克比-貝爾曼方程，得出了破產概率最小下的最優再保險比例.然而從保險公司的角度出發，保險人不可能時刻調整自己的決策，但是所得結果在政策改變的任何時刻，都可以作為決策的依據.由于保險公司收取保費后，一般并不需要立刻提供理賠，而是在未來時間，當保險標的發生保險事故后才會理賠，因此保險公司在此期間會將剩余資本投資到風險市場和無風險市場如貨幣、證券、基金等多個市場開展業務用來增強經濟實力，保險在各個市場的資產配置直接影響到公司的收益和風險，如何將資本進行資源分配和利用，如何選擇再保險函數的形式，使得風險最小，效用最大，因此基于風險和效用的多目標規劃的最優再保險和投資策略是下一步將要討論的問題.

[1] Xiao W, Yi J H. Ruin probabilities for discrete time risk models with stochastic rates for Interest[J]. Statistics and Probability Letters, 2008, 78(6): 707-715.

[2] Young H L, Zhang L H, Optimal investment for insurer with jump-diffusion risk process[J]. Insurance Mathematics and Economics, 2005, 37(2):615-634.

[3] Young, Promislow D S, Young V R. Minimizing the probability of ruin when claims follow Brownian motion with drift[J].North American Actuarial Journal， 2005, 9(3): 109-128.

[4] Pergamenshchikov S, Zeitouny O. Ruin probability in the prensence of risky investments[J]. Stochastic Processes and their Applications, 2006, 116(2): 267-278.

[5] Azcue P, Muler N, Optimal investment strategy to minimize the ruin probability of an insurance company under borrowing constraints[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2009,44(1): 26-34.

[6] Gajek L, Zagrodny D. Insurer's optimal reinsurance strategies[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2000, 27(3): 105-112.

[7] Daykin C D, Pentikainen T, Pesonen M. Practical Risk Theory for Actuaries[M]. London: Chap man&Hall, 1993.

[8 ] Fleming H U, Soner H M.Controlled markov processes and viscosity solutions[M]. New York: Springer, 1993.

責任編輯：趙秋宇

Optimal Proportional Reinsurance Strategies Under Minimum Probability of Ruin

CAO Yu-song

(SchoolofInformationEngineering,XuchangUniversity,Xuchang461000,China)

On the basisthat capital price follows standarded Brownian motion, we supposed that a insurance company lowers risk by purchasing proportional reinsurance.The proportion of optimal reinsurance under minimum probability of ruin was gotten by constructing Hamilton-Jacobi-Bellman equation and strategic model of optimal reinsurance under minimum probability of ruin, an optimal measure standard.

Brownian motion, Hamilton-Jacobi-Bellman equation, probability of ruin, proportional reinsurance

2015-11-13

河南省科技廳基礎與前沿研究計劃資助項目(132300410323)；河南省高等學校重點科研項目(15A110041)；2016許昌市科技局基礎與前沿項目

曹玉松(1981—)，女，河南濮陽人，副教授，碩士，研究方向：應用概率統計.

1671-9824(2016)02-0028-04

O211.6

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