小學數學問題類型分析及教學啟示

巢洪政

小學數學問題類型分析及教學啟示

巢洪政

問題解決是小學數學教學中的重要內容和高層次的學習類型。小學數學問題一般可以劃分為界定良好的問題和界定不良的問題、一般領域的問題和專門領域的問題、常規問題與非常規問題、封閉問題與開放問題等類型。在教學中，我們要重視學生解決常規數學問題的知識技能的教學，重視開放問題的教學，處理好常規問題與非常規問題教學的關系，從而不斷優化小學數學問題解決的教學。

小學數學；問題解決；問題類型；教學啟示

問題解決是小學數學教學中的重要內容和高層次的學習類型，對培養學生良好的數學素養具有重要作用。新課程背景下的小學數學，已經將過去的“應用題”擴展為“問題解決”。因此，我們應該在明確小學數學“問題”和“問題解決”概念的基礎上，科學地界定小學數學問題的類型。如此，才能為小學數學問題解決的教學提供有益的啟示，為教師科學地實施和優化小學數學問題解決的教學提供有效的幫助。

一、小學數學“應用題”與“問題”“問題解決”概念分析

周玉仁教授在《小學數學教學論》一書中指出：“應用題是根據日常生活和生產中的實際問題，用語言或文字表示數量關系并求解的題目?！薄皯妙}”的名稱大家都比較熟悉，就不多解釋了。

“問題”是我們的日常用語，但在心理學中，“問題”具有特定的內涵。為了界定“問題”的概念，心理學家針對某一情境進行了如下區分：該情境的初始狀態，想要達到的目標狀態，阻止從初始狀態轉化為目標狀態的障礙。并據此將“問題”界定為：在事物的初始狀態和想要達到的目標狀態之間存在的障礙。早在1945年，格式塔心理學家唐克爾就指出：“當一個有機體有個目標，但又不知道如何達到目標時，就產生了問題。”這個定義至今仍然具有使用價值?！皢栴}”是一種相對存在。一道異分母分數加法題，對一位數學教師來說不是問題，但對第一學段的學生來說顯然是一個問題，如果這位數學教師想依據低年級學生的知識水平來進行教學，如何設計教學就是這位教師面臨的問題。這就是說，問題具有目標指向性。對于小學數學教學中的“問題”概念，筆者認為可以參照上面的含義進行理解。小學數學問題也是一種問題，具備問題的基本特性。所以，我們可以認為，小學數學問題是小學生數學學習過程中遇到的一切學習障礙。

有了對“問題”概念的認識，我們就可以順利地理解心理學中對“問題解決”的定義。當代認知心理學家經過長期的研究認為：問題解決是指在某種情境的初始狀態和期望達到的目標狀態之間存在障礙的前提下，運用一系列認知操作，掃除障礙，將初始狀態轉化為目標狀態的過程。周玉仁教授認為：“問題解決是指個體在一種新的情境下，根據獲得的有關知識，對發現的新問題采用新的策略，尋求問題答案的心理活動?！薄皢栴}解決指的是學生初次遇到的新問題，這類問題并非是平時遇到的一般練習題……問題一旦解決，學生通過問題解決的過程所獲得的新的方法、途徑和策略便可作為認知結構中的一個組成部分，成為已知的解決其他問題的方法、途徑……總之，所有的問題解決都應該具有以上的特點，否則就成為一種練習性的作業?！边@里的問題既可以是純粹的數學問題，也可以是以非數學題形式呈現的各種問題。這樣的認識，就是新課程中對“問題解決”的認識。在有關小學數學教學論和課程論的專著中，其他專家也有類似的論述。

二、小學數學問題的主要類型

就小學數學問題解決中問題的類型，我們通?？梢詮目茖W心理學的角度進行如下劃分:

1.界定良好的問題和界定不良的問題。

依據問題所給條件的明確程度，我們可以將數學問題劃分為界定良好的問題和界定不良的問題。界定良好的問題又叫清晰的問題，是指問題的初始狀態、目標狀態和用于轉換的方法均已清楚（即已經提供了解決問題所需要的全部信息）的問題。小學數學中的大部分問題都是這樣的問題。界定不良的問題又叫模糊的問題，是指對問題的初始狀態、目標狀態和轉換方法中的一項或幾項缺乏明確的界定（即缺少解決問題的算子和限制條件）的問題。如：以點O為圓心畫圓，這個圓是怎樣的？由于這個問題沒有規定半徑的大小，雖然圓的位置確定了，但大小是任意的，所以它是一個界定不良的問題。在小學數學中，界定良好的問題大多表現為封閉的問題和常規的問題，界定不良的問題多表現為開放的問題。

2.一般領域的問題和專門領域的問題。

依據問題中包含知識內容的復雜程度，我們可以將數學問題劃分為一般領域的問題和專門領域的問題。一般領域的問題又叫語義貧乏的問題，是問題解決者不具有與問題相關的專業知識的問題。專門領域的問題又叫語義豐富的問題，即知識含量高的問題，是指問題解決者具有與問題有關的專業知識的問題。如：對學生來說，數學乘法題“205× 38=”就是一般領域的問題；對數學家來說，“哥德巴赫猜想”就是專門領域的數學問題。

3.常規問題與非常規問題。

依據問題解決過程中的創造性程度，我們把數學問題劃分為常規問題與非常規問題。常規問題是指運用已獲得的知識經驗，按現成的方案可以解決的問題，是學生使用已有的、一般的和通常的思路和方法可以解決的問題。在美國教育心理學家加涅的累積學習理論中，第七層次的學習類型，即應用已知的規則可以解決的問題就是常規問題。反之，不能應用現成的規則來解決的、學生首次接觸的問題就是非常規問題，在加涅的理論中主要是指第八層次的學習類型，即高級規則的學習。非常規問題和常規問題之間是相互聯系和相互轉化的。例如：對于“甲乙兩地相距850千米，一輛汽車以每小時75千米的速度從甲地開往乙地，現在剩下的路程比已經行駛的路程多100千米，這輛汽車已經行駛了多少小時？”這個數學問題，如果學生初次學習解答這樣的問題，那么這個問題對學生來說就是非常規問題；如果學生解答類似問題的次數多了，而且對解題思路比較熟悉了，這個問題對他們來說就是常規問題了。

4.封閉問題與開放問題。

依據問題答案的數量，我們可以把數學問題劃分為封閉問題與開放問題。只有一個確定答案的數學問題，稱為封閉問題。答案不唯一，有多個甚至無數個答案的數學問題，稱為開放問題。小學數學教材中的問題大多是封閉問題，這里就不舉例了。而像這樣的問題：小明用4個長7厘米、寬4厘米的小長方形拼成一個大長方形，可以怎樣拼？請你先畫出各種不同的拼法，再計算出拼成的長方形的周長。這個問題有三個不同的答案，所以，它是一道開放問題。

當然，如果我們根據某個數學問題是否存在確定的答案來劃分，還可以把數學問題劃分為有解題和無解題。有確定答案的數學問題稱為有解題；沒有確定答案的數學問題稱為無解題。小學數學教材中的問題大都是有解題，而像著名的“船長年齡問題”，即“一條船上有75頭牛，有32只羊，請問這條船上的船長年齡是多少？”就是無解題。

小學數學教材中出現較多的是界定良好的數學專門領域的問題，這些問題主要是常規問題和封閉問題。

二、小學數學問題類型分析的教學啟示

1.要重視學生解決常規數學問題的知識技能的教學。

數學問題解決屬于心理學中問題解決的范疇，其解答條件也需要符合問題解決的條件。

加涅的累積學習理論充分說明了基礎知識等低級類型的學習對高級規則或問題解決（創造）的奠基作用。加涅被公認為行為主義和認知心理學派的折中主義者，他從各種理論流派中汲取他所需的成分，區分了不同條件、不同類型的學習。通過描述八個學習層次來研究學生理智技能的累積方式，這八個學習層次分別是信號學習、刺激—反應學習、動作鏈索學習、言語聯想、辨別學習、概念學習、規則學習、問題解決或高級規則學習。后四類學習是學校教育的主要內容。加涅的累積學習理論還指出：人類的學習是累積性的，較復雜、較高級的學習是建立在基礎性學習基礎上的；每一類學習都以前面類型的學習為基礎。從這里，我們可以明顯看出基礎性知識的學習對學生進行 “高級規則學習或問題解決（即創造）”的重要性。概念和規則的學習中有大量的知識，規則的學習中有許多技能的訓練，學生利用習得的概念和規則解決了常規問題和非常規問題，就說明學生具有某些能力。

根據認知心理學的研究，學生的問題解決能力是由三種基本能力構成的：第一種能力是學生借助其認知結構中儲存的問題圖式，把新的問題情境納入原有問題圖式中，從而迅速理解問題的能力。第二種能力是學生運用認知策略，對新問題進行適當改編，使新問題情境適合原有問題類型圖式的能力。第三種能力是執行解題的技能，在這里是指四則運算技能。第一種能力指的是知識，第三種能力指的是技能，可見，問題解決離不開知識和技能。如小學數學中有這樣一個問題：南京長江大橋南、北兩個橋頭堡大約相距1573米。紅紅、軍軍分別從南、北橋頭堡同時出發，相向而行，經過13分鐘相遇，軍軍的速度是每分鐘63米，紅紅的速度是多少？要解決這個問題，學生需要理解“南京長江大橋”“橋頭堡”“南”“北”等名稱和方向的知識，需要具備“相遇問題”的圖式，還需要具有計算的技能，通過正確計算才能得出正確的結論，有時還需要借助“畫圖”的策略來分析問題。

從上述兩個理論分析，我們可以明顯看出：要培養學生創造性地解決問題的能力，離不開學生對基礎知識、技能和常規問題的學習，因為這些是學生解決問題的基礎。所以，在教學中，引導學生獲得數學概念、掌握數學知識、培養運算能力和厘清數量關系，有助于他們創造性地解決問題，即有利于學生創造力的培養。

2.要重視開放問題的教學。

如前所述，我國小學數學教材中絕大多數是封閉的常規問題，對開放問題重視不夠。我們的教材和教學今后應該作出一些調整，加強開放問題的教學。由于開放問題的解答步驟比較多，已經超出了課程標準的要求范圍，因此，可以在每冊教材中設置5道左右的開放題作為思考題。當然，在現行教材中，編入個別的無解題，筆者認為也是有必要的，這可以培養學生的批判性思維。

3.要處理好常規問題與非常規問題教學的關系。

在新課改初期，一些輿論批評我們的數學應用題教學中存在著套類型定解答模式的問題，即過分重視常規問題的教學，影響對學生創造能力的培養。其實，這樣的指責也并非完全正確。因為常規問題與非常規問題是相互聯系、不斷轉化的，某個新問題對于初學者來說是非常規問題，但他們接觸這樣的問題的機會多了，這類問題對他來說就可能成為常規問題了。而生活中的大多數問題是常規問題，大部分人學習數學將來需要解決的也多為常規問題，因此，常規問題也有一定的價值。有些常規問題對初學者來說也是具有挑戰性的非常規問題。所以，我們要充分認識常規問題教學的重要性，小學生主要學習的應該是常規問題的解決，并兼顧非常規問題的學習。當然，在以前的教學中，我們對非常規問題多有忽視，這是值得我們重視的問題。另外，常規問題和非常規問題教學的過程也有明顯的區別。非常規問題的教學應該重視學生的探究和實踐活動，重視學生解決問題的分析過程；而常規問題的教學主要是讓學生在明確某類問題特征和解答規律的基礎上，通過分析數量關系和應用已有的規律進行解答。

綜上所述，明確小學數學問題和問題解決的概念，掌握數學問題的類型，將有助于我們教學小學數學問題解決，從而不斷優化小學數學解決問題的教學。

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［4］皮連生.智育心理學［M］.北京:人民教育出版社，2008.

G623.5

A

1005-6009（2016）36-0040-03

巢洪政，江蘇省江陰市英橋國際學校（江蘇江陰，214433），二級教師。