混凝土板在接觸爆炸作用下的震塌和貫穿臨界厚度計算方法*

岳松林，王明洋，張 寧，邱艷宇，王德榮

(解放軍理工大學爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室,江蘇 南京 210007)

混凝土板在接觸爆炸作用下的震塌和貫穿臨界厚度計算方法*

岳松林，王明洋，張 寧，邱艷宇，王德榮

(解放軍理工大學爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室,江蘇 南京 210007)

采用剛塑性模型描述介質的動力學行為，結合不可壓縮條件和質量守恒條件及邊界條件，構造塑性區的動力學許可速度場；利用極限平衡原理推導動力學許可速度場所對應的介質抗力的量綱一表達式；根據初始條件和邊界條件，求解運動方程，分別得到爆炸震塌的臨界厚度和爆炸貫穿的臨界厚度，并推得能夠反映爆炸源參數和材料參數綜合性質的量綱一沖擊因子。將推得的計算公式與經驗公式對比分析，證明本文計算結果合理，推導的計算公式揭示了經驗公式的物理本質，且具有較為廣泛的適用范圍。

爆炸力學；臨界厚度；剛塑性模型；極限平衡原理；接觸爆炸；震塌；貫穿；量綱一沖擊因子

混凝土板在爆炸或沖擊作用下，將產生震塌、貫穿以及沖切等形態的局部破壞，關于這些局部破壞效應的問題稱為震塌問題[1-2]。震塌破壞是指結構體受到爆炸或沖擊荷載作用時，在結構背面形成反射拉伸波，并造成結構背面介質的破碎和層裂。貫穿破壞是結構厚度相對較薄情形下，爆炸或沖擊荷載產生的壓縮彈坑與背爆面震塌坑貫通，形成貫穿的孔洞。沖切破壞是結構厚度很小的情況下，爆炸或沖擊荷載將作用范圍內靶板材料整體沖塞下來，在靶板中不能區分壓縮彈坑和震塌坑。爆炸震塌和爆炸貫穿是指爆炸荷載導致的震塌破壞和貫穿破壞，區別于沖擊或侵徹震塌和貫穿[3]。由于混凝土是一種結構性材料，其強度和變形特性受配合比、骨料尺寸等材料結構特性的影響，因此混凝土材料的震塌破壞既與金屬材料的震塌破壞有相同的機理，又有自身的特點。尤其是結構性材料的隨機分布、鋼筋與混凝土的相互作用等復雜問題尚待解決。因此混凝土材料的結構震塌問題的理論研究進展緩慢[1]。

震塌破壞現象最早是由霍普金森于1914年進行爆炸效應研究時觀察到的；隨后，萊茵哈特在金屬板接觸爆炸的實驗中，曾多次觀察到層裂現象，他將爆炸荷載簡化為三角形荷載，并用第一強度理論計算出了層裂厚度和剝離速度；20世紀60年代后期，美國彈道研究實驗室(Ballistic Research Laboratory)提出了BRL公式，可以直接計算貫穿厚度，通過實驗研究得到震塌厚度與貫穿厚度間的關系[3]；20世紀70年代，格倫、B. C. 尼基福羅夫斯基和Е.И. 舍馬金亦分別采用第一強度理論和三角形荷載的假設，得到爆炸震塌的相關研究成果[3]。1982年，A.Haldar等[4]根據量綱分析，用外部荷載總能量與介質抗壓強度間的關系，引入量綱一參數：I=(NmV2)/(D3fc)；1984年，G.Hughes[5]利用外部荷載總能量與混凝土的抗拉強度之間的關系，定義沖擊系數如下：I=(NmV2)/(D3ft)。然而這些研究成果多數是關于彈體沖擊或侵徹引起的震塌和貫穿效應，關于爆炸震塌方面的資料很少，僅有美國空軍《防護結構設計手冊》給出了爆炸震塌厚度經驗公式，被稱為PCDM公式[1]，但PCDM公式不適用于接觸爆炸對防護結構的破壞作用。

20世紀50～70年代，中國曾系統地組織關于結構體遭受炮航彈攻擊時的震塌破壞實驗，基于大量的實驗數據，編制了相關的設計規范。但限于實驗設備和測量手段落后，獲取的有效信息較少，因而對震塌破壞的認識尚處于宏觀唯象階段，現行設計規范中給出的震塌半徑計算公式，只能給出近似預測值，與當前發展和應用新型防護材料的需求不相適應[3]。近年來，中國學者對爆炸近區問題和爆炸震塌機理的研究更加深入，提出了一些更加適用的震塌計算公式和防護結構設計方法,如：王明洋等[6]提出在研究介質中侵徹與爆炸近區過程中，運用空腔膨脹理論存在的問題，分析了其產生的原因，并推得侵徹、貫穿比例換算關系和爆炸近區的幾何相似關系等簡單實用的結果；王明洋等[7]給出了鋼板-鋼纖維鋼筋混凝土遮彈板接觸爆炸下的極限設計分析的實用方法；張想柏等[2]進行了混凝土板表面接觸爆炸實驗，運用相似理論和數值手段，對爆炸震塌實驗數據和現象進行分析，基于量綱分析建立了新的震塌厚度計算公式，并根據破壞等級，將震塌破壞系數定量化；王德榮等[8-9]和李學業等[10]結合爆炸近區運動學關系式和徑向裂縫陣面形成時的耗能情況，研究爆炸近區介質的動力變形與破壞情況，得到RPC混凝土在接觸爆炸作用下的破壞半徑系數。這些工作注重對震塌破壞的物理機理和力學本質的研究，對震塌效應評估和防護結構設計有重要的參考價值，然而這些成果不能有效區分震塌破壞、貫穿破壞和沖切破壞。

根據沖擊震塌和貫穿方面的研究成果[11-14]，本文中把臨界震塌厚度和臨界貫穿厚度作為評估爆炸局部破壞的2個分界點。爆炸荷載固定的情況下，當材料厚度大于臨界震塌厚度時，只在結構迎爆面產生壓縮彈坑，不會發生震塌現象；當材料厚度介于臨界震塌厚度和臨界貫穿厚度時，發生爆炸震塌現象；當材料厚度小于臨界貫穿厚度時，發生爆炸貫穿現象；當材料厚度足夠小時，計算得到的臨界震塌厚度等于或小于臨界貫穿厚度，它代表材料尚未形成震塌塊就被整體沖切下來，此時發生爆炸沖切現象。因此，問題的關鍵是如何確定爆炸作用下板的臨界震塌厚度和臨界貫穿厚度。本文中結合理論分析，推導2類臨界厚度的計算公式，并進行算例和對比分析。

1 基本原理及模型假設

建立介質表面點源爆炸的物理模型，研究混凝土板在接觸爆炸作用下的局部破壞現象。根據混凝土板爆炸局部破壞效應實驗[2-15]，在板厚足夠大的情況下，板的迎爆面，產生壓縮彈坑，可不考慮反射面的影響；隨著板厚的減小，板的背爆面，即反射面，開始出現明顯裂紋、鼓包，甚至產生反射漏斗坑，發生震塌現象；板厚進一步減小，反射漏斗坑與壓縮漏斗坑貫通，發生貫穿現象；當板厚足夠小，迎爆面尚未形成壓縮彈坑，板已經被擊穿，此種情況為板的沖切現象。

從能量的角度來講，混凝土材料在爆炸荷載作用下發生屈服破碎，碎塊相互摩擦、滑動，這是對爆炸能量消耗的過程，塑性階段消耗的能量遠大于彈性階段消耗，可忽略彈性階段；而爆炸近區出現不可逆的大變形，自由面存在的情況下，應變球張量(體積壓縮量)很小和應變偏張量(剪切變形量)很大，在整個應力應變曲線上，塑性階段為主要部分，彈性階段可以忽略，因此采用剛塑性模型描述介質的動力學行為[13]。

根據不可壓縮條件和質量守恒條件及邊界條件，構造塑性區的動力學許可速度場；利用極限平衡原理分別推得半空間介質表面和有限厚度介質表面壓縮彈坑在膨脹過程中的介質抗力的量綱一表達式。根據沖擊阻力的量綱一表達式，可以得到沖擊阻力曲線，進而能夠找到臨界震塌的壓碎區半徑RA和臨界貫穿的壓碎區半徑RB。結合初始條件，對膨脹過程的運動方程積分，可以計算得到最終的壓碎區半徑R。如果R=RA，則在此板厚和裝藥情況下發生臨界震塌現象，此時的板厚LA為臨界震塌板厚；如果R=RB，則在此板厚和裝藥情況下發生臨界貫穿現象，此時的板厚LB為臨界貫穿板厚。

如果已知介質抗力P，可得運動方程：

(1)

式中：m為沖擊體質量；R為壓碎區半徑。沖擊體的初始條件為：

(2)

式中：a為沖擊體的初始半徑，v0為初始徑向沖擊速度。結合式(2)可以求出壓碎區最終半徑R，然后比較R、RA、RB的關系，可以判定在板厚L條件下發生何種破壞現象。

通過求剛塑性模型的極限荷載可以得到介質抗力P。介質的極限荷載是材料開始發生塑性變形時的荷載。對于剛塑性模型，可得到極限荷載的上下限。根據虛功率原理和塑性極限荷載上限定理有[16-18]：

(3)

(4)

根據式(4)右側積分量，求左側未知極限荷載Pi,k，從上限來評估極限作用力。這樣，問題的關鍵在于如何建立動力學許可速度場，而這一描述可以通過實驗數據和過程的實驗室模擬來獲得[18-19]。

2 爆炸抗力極限載荷值計算

2.1 沖擊體初始條件

圖1 接觸爆炸下介質表面沖量荷載計算模型Fig.1 Impulse on the surface of medium under contact explosion

圖1為接觸爆炸下介質表面沖量計算模型，Rw為裝藥半徑，ρw為裝藥密度，ρm為介質密度，α1介質表面一點到裝藥中心點的連線與介質表面發現的夾角，β1為壓碎區邊界上一點與壓碎區球心的連線。假設爆炸為瞬時爆轟，球形裝藥與介質表面接觸；爆轟產物對介質高速沖擊作用下，介質剪切模量可以忽略，區域FGF′瞬間進入塑性流動狀態；區域FGF′的半球體為初始沖擊體，且爆轟產物對介質的沖量全部轉化為初始沖擊體的動量。

根據文獻[20]，介質表面接觸爆炸荷載沖量為

I=uxQμ′=πA0Qsin2α1

(5)

式中：μ′為藥形系數，Q為裝藥質量，A0=(Nxw+ux)/(4π)，Nxw=Pw/(ρwux)，Pw=Ps=PD/2=(ρwD2)/2(k+1)，ux≈(2Qv)1/2，Q=πRw3ρw/3，Pw為平均爆轟壓力，PD為爆轟波陣面壓力，Qv為比能量或爆熱，ux為爆轟產物噴流或散射速度，Nxw為噴流面或散射面的移動速度，D為爆速。

根據動量守恒定律：壓力沖量等于動量的變化，爆轟產物的豎向沖量等于沖擊體豎向動量的初始值

(6)

式中：m=2πρma3/3，為初始沖擊體的質量，即區域FGF′的質量。

假設板的特征尺度遠大于炸藥中心到板的距離l，則α=π/2，I=πA0Q，因此初始沖擊體的動能為

(7)

又由功能轉換原理，建立初始沖擊體動能與藥量的關系[28-30]：

(8)

(9)

TNT的爆熱Qv=4.23×106J/kg，其爆炸產物的平均噴流速度：ux=2 908 m/s；爆轟波陣面壓力PD=1.77×1010Pa，平均爆轟壓力Pw=8.83×109Pa，ρw=1 600 kg/m3，ux=2 908 m/s；已知巖石的密度約為ρ1=2 600 kg/m3，松散砂土的堆積密度約為ρ2=1 600 kg/m3。將這些參數代入式(9)中，可以分別算得巖石表面爆炸和松散砂土表面爆炸的能量分配系數：η1=0.21；η2=0.34。根據文獻[20]中的計算結果：藥包底部位于地表面時，表面爆炸能分配系數η=0.22，它介于本文計算結果中間，即η1<η<η2，能夠從一定程度上證明本文采用的沖量計算模型是合理的。

2.2 厚板表面點源爆炸的抗力計算

圖2 半空間表面點源爆炸介質區域劃分Fig.2 Regional division of the half-space medium subjected to point-source explosion

當板的厚度足夠大時，接觸爆炸荷載作用下，迎爆面產生壓縮彈坑，背爆面無明顯變化，其物理模型為半空間介質表面點源爆炸。本文中采用剛塑性模型描述，其壓碎機理為剪切破壞，相關計算方法參見式(3)，根據爆炸實驗現象，可以如圖2所示構造動力學許可速度場，介質被分成3個區域(I、II、III)。

圖3 區域II、III速度場Fig.3 Velocity fields in regions II and III

圖4 塑性區II、III邊界曲線Fig.4 Schematic boundary lines of plastic regions

x=rcosφ+rφsinφ,y=rsinφ-rφcosφ

(10)

(11)

將塑性區域繞Z軸旋轉，可以得到球坐標中的塑性體，記旋轉角為θ，結合以上條件，可以得到球坐標(ρ,φ,θ)下各個區域的速度場。區域II動力學許可速度場為

(12)

應變率場為

(13)

剪應變率強度為

(14)

區域III速度場的直角坐標形式為

vZ,3=-vR，vX,3=vR，vθ,3=0

(15)

應變率場為

ξZ,3=ξX,3=ξθ,3=0

(16)

將上文計算得到的各物理量代入式(4)，得半空間表面點源爆炸過程中介質抗力的量綱一形式為

(17)

2.3 有限厚度板表面點源爆炸的抗力計算

圖5 有限厚度板表面點源爆炸介質區域劃分Fig.5 Regional division of the limited thickness slab subjected to point-source explosion

有限厚度板表面點源爆炸時，靶體背爆面的影響是顯著的，壓碎區半徑R發展到一定程度時靶體材料停止向迎爆面擠出，而開始向背表面移動，圖5是有限厚度板表面點源爆炸介質區域劃分示意。區域I是爆炸源周圍的壓碎區，區域II是背表面反射拉伸波產生的破碎區，區域III是彈性變形區(可忽略其變形和位移)。

2.3.1 動力學許可第1速度場

圖4中區域II的范圍為

0≤φ≤φ0=π/4,R≤r≤L

(18)

壓碎區殼體的區域為

Σ1:x2+y2+z2=a2,Σ2:x2+y2+z2=R2

(19)

Σ1范圍內椎體體積為

(20)

Σ1范圍內椎體的錐底面積為

(21)

Σ2范圍內椎體體積為

V2=2πR3(1-cosφ0)/3

(22)

Σ2范圍內椎體的錐底面積為

S2=2πR2(1-cosφ0)

(23)

(1)根據質量守恒，設vr為徑向速度，其表達式為

(24)

根據不可壓縮性條件以及區域對稱性，有

(25)

(2)已知速度場，可以得到應變率場：

(26)

(3)應變率強度為

(27)

(4)根據極限載荷上限值原理，經過整理得到介質抗力的極限載荷值：

(28)

2.3.2 動力學許可第2速度場

動力學許可第2個速度場只隨時間發生變化，不同位置處介質的速度保持一致，它表示了沖擊體直接將漏斗范圍內的剛性塊體從平板中壓出。介質剛性塊的運動速度一開始與沖擊體速度存在差異，隨著運動的發展剛性塊速度與沖擊體速度相同，由于這個過程十分短暫，這里忽略中間過程，因而剛性塊的初始運動速度與沖擊體的初始速度同。介質抗力主要是間斷面上的摩擦力。

區域II內的速度分量為

vr=vR,vφ=0,vθ=0

(29)

(30)

3 靶板臨界厚度計算方法

3.1 爆炸抗力的量綱一化

(31)

有限厚度板表面點源爆炸第1速度場的抗力：

(32)

有限厚度板表面點源爆炸第2速度場的抗力：

(33)

爆炸過程中，沖擊接觸面上受到周圍塑性區的介質抗力總和表達式為

P=Pk·Sr

(34)

式中：Sr為沖擊接觸面面積。在半空間介質中，不考慮自由面的影響，可以認為Sr=2πr2；在有限厚度介質中，可以認為Sr=2πr2(1-cosφ0)，φ0=π/4。

圖6 爆炸抗力的函數曲線Fig.6 Function curves of material resistance

3.2 臨界震塌厚度計算方法

根據沖擊阻力曲線，可以計算得到介質抗力的極限荷載，結合初始條件求解運動方程就能夠計算出壓碎區半徑，其實質是將波動問題轉換為求解抗力的問題。臨界震塌情況下，爆炸抗力(P1)和初始沖擊體質量(m1)可知。結合方程(1)、(16)、(19)，得到量綱一形式的運動方程：

(35)

初始條件：

(36)

記ω1=6.92πτsa/m1，ω2=11.68πτsa/m1，運動方程變為

(37)

該微分方程不能直接求解，需進行變換形式，分離變量而后積分得

(38)

整理得

(39)

(40)

式中：W為LambertW函數，x>-e-1時，W(x)為遞增函數，且結果是單值的實數，因此本文中的W總是單值的實數值。由式(31)、(32)求交點A處的介質厚度得：

(41)

將(40)代入(41)得臨界震塌厚度：

(42)

它是量綱一因子ξ的函數，由(5)、(6)可以得到量綱一因子ξ與藥包質量Q的關系：

(43)

根據接觸爆炸物理模型(如圖1)Rw=a，于是ξ=1.73ηQvδρw/τs。根據量綱分析，這是一個多方指數的量綱一組合，它表征了裝藥密度、炸藥爆熱、有效能比率、熱功當量、介質密度、屈服強度、壓力峰值、變形波速、最大粒子速度之間的內在關系。

將量綱一形式的臨界震塌厚度，轉換為比例距離的形式：

(44)

對于裝藥參數和介質材料參數確定情況下，量綱一因子ξ是確定的，結合式(42)，該比例距離能夠計算。模型尺寸發生改變時，作為震塌與否的判據，它是一個相似常數。對于可忽略重力加速度的小規模地下化學爆炸，這個結果是符合爆炸相似律的。

3.3 臨界貫穿厚度計算方法

對于臨界貫穿厚度的計算，其初始條件是，沖擊阻力曲線圖6中A′點所對應的位移和速度。此時沖擊體覺察到背爆面(自由面)的存在，并開始形成貫穿體，運動方程中的介質抗力按有限厚度介質中的第1速度場計算，當壓碎區半徑發展到B′點時，發生貫穿現象，通過B′點處壓碎區半徑與介質厚度的函數關系，可以計算出臨界貫穿厚度。

根據爆炸貫穿的力學模型，結合式(1)、(32)、(34)。可以得到開始形成貫穿體的運動方程：

(45)

初始條件為

(46)

臨界貫穿條件為

(47)

式中：t*為貫穿時刻。記ω3=17.63τs/(ρa2)，對式(45)分離變量再積分，得到從初始狀態到臨界貫穿狀態的過程滿足

(48)

根據式(38)可以得到開始發生貫穿的初始條件的速度與位移關系：

(49)

結合(48)～(49)，消去vR項，并對其進行整理得到

(50)

根據前文關于ω1、ω2、ω3的定義，可以得到：

ω3/ω1=1.70，ω2/ω1=1.69

(51)

由式(41)可以得到交點A′處初始狀態壓碎區半徑與介質厚度的關系：

(52)

由式(32)～(33)得交點B′可得臨界貫穿時壓碎區半徑與介質厚度的關系：

(53)

(54)

該方程的根，即能夠同時滿足貫穿運動方程、初始條件、邊界條件的臨界貫穿厚度。但無法求得解析解，只能用數值手段求近似解。結合式(44)、(54)可以得到比例距離形式的臨界震塌厚度與ξ的關系。

4 算例分析

4.1 兩類臨界厚度計算分析

圖7 臨界厚度與無量綱沖擊因子的關系曲線Fig.7 Relationship between critical thickness and dimensionless impact factor

圖7表明：臨界震塌厚度和臨界貫穿厚度都是量綱一沖擊因子ξ的遞增函數，ξ越大臨界厚度越大，ξ越小臨界厚度越小。量綱一沖擊因子是裝藥密度、炸藥爆熱、有效能比率、介質屈服強度的綜合指標，與爆炸源傳給介質的沖擊荷載或能量成正比，與介質的強度或抗力成反比。爆炸沖擊載荷越強，需要更厚的介質來抵御沖擊；介質強度越高，其抗爆炸沖擊能力越強，需要的抵抗厚度越小。

經過計算發現：臨界震塌厚度Lz約為臨界貫穿厚度Lp的2倍，這與BRL公式、修正BRL公式[1,22]中：Lz=2Lp的關系相一致。

4.2 本文分析方法與經驗公式的對比

圖8 臨界震塌厚度與經驗公式對比分析Fig.8 Analysis of theoretical and empirical formulas about critical spalling thickness

根據式(44)，可知本文爆炸臨界震塌厚度計算公式：

hz=g1(ξ)/(4πρw/3)1/3Q1/3

(55)

式中：hz為震塌臨界厚度；g1(ξ)按式(42)計算。

爆炸震塌臨界厚度經驗公式[1,3,22]如下：

(56)

式中：m*為填塞系數，對于表面爆炸，m*=1.0；Kz為介質材料的臨界震塌系數。

利用式(55)～(56)計算臨界震塌厚度。將計算結果進行對比，如圖8所示。

計算中采用的爆源參數：TNT裝藥密度ρw=1 600 kg/m3，爆熱Qv=4 227 710 J/kg，有效能比率η≈0.21；材料參數：由于臨界震塌系數，是根據大量的實驗得到的經驗參數，這里只能給土工材料的大致范圍Kz=0.48～0.88；其對應的介質剪切屈服強度范圍為τs=6～1.5 MPa。

圖8表明：本文中計算方法得到的結果與經驗公式得到的結果有很大范圍的重合區域，證明本文中計算臨界震塌厚度的方法是合理的。本文中推導的計算參數是經驗系數的科學解釋，揭示了其內在的物理本質，式(55)的適用范圍更廣、考慮的關鍵參數更全面。

5 結 論

將介質表面接觸爆炸問題轉換初始沖擊體撞擊周圍介質的問題，利用極值原理，推得爆炸抗力，結合初始條件及邊界條件求解運動方程，得到了臨界震塌厚度和臨界貫穿厚度，通過算例分析得到以下結論：(1)臨界厚度由量綱一沖擊因子ξ決定，它們大致呈正比關系。ξ反映了炸藥能量效率和介質強度的影響特性，它代表著炸藥對介質的爆破能力。炸藥爆熱、密度、比能量系數越大，說明炸藥的爆破效率越高，算得的ξ越小，臨界厚度越大；介質屈服強度越高，說明其可爆性越差，介質對炸藥的抵抗能力越強，算得的ξ越小，臨界厚度越小。(2)定量描述了臨界厚度與ξ的關系；可以看到同一ξ下，臨界震塌厚度約為臨界貫穿厚度的2倍，這與BRL公式、修正BRL公式一致。(3)通過與經驗公式對比分析，證明本文中計算方法是合理的。理論推導所得的計算公式揭示了經驗公式的物理本質。

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(責任編輯 王小飛)

A method for calculating critical spalling and perforating thicknesses of concrete slabs subjected to contact explosion

Yue Songlin, Wang Mingyang, Zhang Ning, Qiu Yanyu, Wang Derong

(StateKeyLaboratoryforDisasterPrevention&MitigationofExplosion&Impact,PLAUniversityofScienceandTechnology,Nanjing210007,Jiangsu,China)

Tanking account of the mass conservation conditions, incompressible conditions and boundary conditions, this paper described the dynamic behaviors of the medium based on the plastic-rigid model and established the compatible dynamic velocity field in the plastic zone. In addition, utilizing the limit equilibrium theory, this paper derived the equations of material resistance to explosions in both the infinite and the semi-infinite medium. Combined with the initial and boundary conditions, the equations of motion can be solved and the critical depth can be obtained. Besides, this paper has obtained a dimensionless impact factor which reflects the integrated nature of explosive sources and media. The calculated results illustrated that the critical depth and the dimensionless impact factor have a proportional relationship. Finally, the comparative analysis of the empirical formulas with the derived equations proved that our calculation methods are valid and widely applicable.

mechanics of explosion; critical thickness; plastic-rigid model; the limit load theorems; contact explosion; spallation; perforation; dimensionless impact factor

10.11883/1001-1455(2016)04-0472-11

2013-09-18；

2014-12-21

國家自然科學青年基金項目(51308543)；教育部長江學者和創新團隊發展計劃項目(IRT13071)

岳松林(1987- )，男，博士研究生；

王明洋，wmyrf@163.com。

O381國標學科代碼：13035

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