高速射彈超空泡流動的重力和壓縮性效應*

孟慶昌,張志宏,李啟杰

(海軍工程大學理學院，湖北 武漢 430033)

高速射彈超空泡流動的重力和壓縮性效應*

孟慶昌,張志宏,李啟杰

(海軍工程大學理學院，湖北 武漢 430033)

超空泡射彈是一種新型的水下高速動能武器。基于理想可壓縮勢流理論，考慮流體的重力效應，建立了水下細長錐形射彈超空泡流動的統一理論模型和數值計算方法，分別導出了亞、超聲速條件下用于計算細長錐形射彈超空泡形態的積分-微分方程。采用二次多項式局部擬合空泡，提出了超空泡形態的數值離散和遞推求解方法。通過超空泡長細比的漸近解與數值解計算結果比較，驗證了所建立的理論模型和計算方法的有效性。通過分析細長錐形射彈在不同運動方式、深度、速度條件下的超空泡形態和流體動力系數計算結果，明確了流體重力和壓縮性效應對超空泡尺度、射彈表面壓力分布和壓差阻力系數的影響。

流體力學；壓縮性；勢流理論；超空泡；射彈；亞聲速；超聲速；重力

利用超空泡現象可以大幅度減小水下運動物體的摩擦阻力，從而大大提高其航行速度。基于超空泡原理的高速射彈，利用其彈道末端的剩余動能可攔截魚雷、擊毀水雷和破除水下障礙等。20世紀末，在美國，機載快速滅雷系統(RAMICS)已經裝備部隊，超空泡射彈水下速度超過1 000 m/s。Y.D.Vlasenko[1]、Y.N.Savchenko[2]、I.N.Kirschner[3]開展的超空泡射彈實驗水下運動速度分別達到1 300、1 350和1 549 m/s，已超過了水中聲速1 450 m/s。目前，超空泡射彈還在進一步向高速方向發展[4-6]。在不考慮流體的壓縮性效應時，Y.S.Chou[7]、S.S.Kulkarni等[8]、K.Ohtani等[9]對射彈超空泡流動和彈體運動特性進行了計算。由于射彈高速沖擊導致的流體壓縮性效應不容忽視，A.N.Varghese等[10]、A.D.Vasin[11-13]、V.V.Serebryakov等[4-6]基于細長體理論和漸近匹配展開法對超空泡形態影響的可壓縮效應進行了理論研究，張志宏等[14-15]進一步拓展得到了亞、超聲速條件下細長錐形射彈的超空泡形態二階近似解，金永剛等[16]、張志宏等[17]建立了高速射彈超空泡流場的數值計算方法。

超聲速超空泡射彈發射后在水下依靠慣性無動力飛行，其速度從超聲速逐漸減至亞聲速，期間需要經歷壓縮性效應顯著的跨聲速階段。另外，超空泡射彈還需在變水深條件下運動，水深變化引起的重力效應(環境壓力和空泡數的變化)也不容忽視。因而，需要綜合分析流體壓縮性和重力效應對高速射彈超空泡形態和流體動力特性的影響。文獻[14-17]僅能反映流體壓縮性效應對超空泡形態和流場的影響，沒有反映流體的重力效應。本文中，針對高速細長錐形超空泡射彈的實際應用背景，綜合計及流體的重力和壓縮性效應影響，統一建立亞、超聲速條件下超空泡流動的理論模型和數值計算方法，系統完整地解決高速射彈的超空泡形態、射彈表面壓力分布和壓差阻力系數等計算問題，擬為下一步超空泡射彈的彈型優化設計和水下彈道預報提供理論基礎。

1 數學問題

在細長錐形射彈底部建立柱坐標系(x,r)，如圖1所示。設射彈繞流為理想可壓縮流體無旋運動，來流速度為U。根據亞、超聲速流動特點，假定亞聲速時超空泡尾部采用Riabouchinsky閉合方式，超聲速時則不需提供閉合方式。考慮重力對超空泡流動的影響，假定重力加速度g指向x軸負方向，當射彈沿x軸負方向運動時，對應于流體重力勢能減小即垂直入水方向，反之為垂直出水方向。由于入水開空泡通大氣的復雜性，本文中只考慮射彈在液體中的水平、垂直向下和向上的運動，不考慮氣水交界面上的入水問題。射彈半徑r=r1(x)=ε(x+l)預先給定，超空泡半徑r=R(x)和長度L則需通過計算確定，其中l和Rn分別為射彈長度和底部半徑，取小參數ε=Rn/l。

圖1 細長錐形射彈及超空泡坐標系Fig.1 Coordinate system on slender conical projectile and supercavity

設高速射彈引起的流場擾動速度勢為φ，則描述亞、超聲速超空泡流動的數學問題是：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：Ma=U/a為無窮遠處來流馬赫數，a為無窮遠處來流聲速。

流體壓力與密度關系采用Tait狀態方程描述，即:

(5)

式中：p、ρ為無窮遠處來流壓力和密度；p、ρ為流場中某點壓力和密度；n=7.15；B=298 MPa。

計及重力效應的伯努利方程為：

(6)

式中：x為重力場參考平面坐標，取x=0時對應于射彈底面的中心位置。

對細長錐形射彈，流場壓力系數可導出：

(7)

式中：傅魯德數Fr=U

2 積分-微分方程

根據亞、超聲速流動特點，流場擾動速度勢可分別寫為：

(8)

(9)

利用式(2)和式(4)，將式(8)、式(9)分別代入式(7)，得到描述亞、超聲速細長錐形射彈超空泡形態(0≤x≤L-l)的非線性積分-微分方程分別為：

(10)

(11)

3 離散及迭代方法

求解超空泡形態，可將超空泡沿長度方向均勻分成N段，有N+1個節點，且x1=0，xN+1=L-l。設ζ在每段的相鄰兩節點之間按x(xi≤x≤xi+1)的二次多項式變化，即：

ζ=ζi+ai(x-xi)+bi(x-xi)2i=1,2,…,N

(12)

式中：ai和bi是待定系數。

利用式(4)及dζ/dx在各節點處連續的條件，得a1=2εRn以及ai+1的遞推公式為：

ai+1=ai+2bi(xi+1-xi)i=1,2,…,N

(13)

利用式(12)，可得計算各節點xk處超空泡ζk的累加表達式為：

(14)

系數bi(i=1,2,…,N)的確定成為超空泡形態計算的關鍵。在亞、超聲速條件下，將式(12)分別代入式(10)和式(11)，得到求解bi的線性代數方程組和遞推公式分別為：

k=1,2,…,N,Ma<1 (15)

(16)

Ma<1 (17)

(18)

(19)

式中：D為射彈的壓差阻力。

4 結果與分析

取射彈幾何參數為：l=120 mm，Rn=6 mm，ε=0.05。由文獻[4-6]，超空泡長細比λ的漸近解為：

(20)

在已知射彈運動速度時，可以計算來流馬赫數Ma和空化數σ，通過式(10)或式(11)和式(14)，可以計算亞聲速或超聲速條件下細長錐形射彈的超空泡形態，并進一步得到超空泡長細比與馬赫數的變化關系。不同深度射彈水平運動時超空泡長細比的漸近解與數值解結果比較如圖2所示，兩者整體上符合較好，驗證了本文理論模型和數值解法的正確性。在大部分情況下，λ隨Ma基本呈線性變化，即隨Ma增加超空泡形態將變得更加細長。但在跨聲速(0.8

在射彈深度和速度恒定(如h=20 m，Ma=0.7,1.2)時，計算射彈水平及出、入水運動的超空泡形態。當射彈水平運動(對應于Fr→)時，計算得到的超空泡形態在亞聲速時前后對稱，在超聲速時前后稍微不對稱，主要原因是：亞聲速時擾動可向流場四周傳播，而超聲速時擾動僅在馬赫錐內向下游傳播。在射彈垂直入水(對應于Fr2>0)或垂直出水(因射彈運動方向與重力加速度g方向相反，對應于Fr2<0)時，由于重力效應的影響，推遲或加速了超空泡尾部的封閉，使超空泡的長度拉長或縮短，如圖3所示。射彈出入水時重力效應主要影響超空泡的尾部形態，并使超空泡前后呈現不對稱。

圖2 超空泡長細比的數值解與漸近解Fig.2 Supercavity aspect ratio between numerical and asymptotic solution

圖3 運動方式對超空泡形態的影響Fig.3 Effect of movement mode on supercavity profile

另外，重力效應并不完全體現在Fr數的大小上，由式(10)和式(11)可以看出，它同時還與超空泡的尺度坐標x有關。計算分析表明，當射彈沿水平方向或沿垂直出水方向運動時，超空泡尾部可以自然封閉，因而可以得到超空泡形態的收斂解。當射彈沿垂直入水方向運動時，由于超空泡長度隨Ma增加而增加，當Ma過大導致超空泡長度過長而入水深度不足時，由于超空泡來不及封閉，則無法滿足超空泡尾部的閉合準則，理論計算將得不到收斂的超空泡形態數值解。

重力效應對超空泡尺度的影響還與水深大小有關，如圖4所示。圖中縱坐標Lu/Lh、Ru/Rh分別為射彈出水和水平運動的超空泡長度和最大半徑之比。在水深較小(如水深為零)時，超空泡尺度受重力效應的影響較大，且隨Ma的增加而增加。相對于射彈水平運動的超空泡尺度，射彈出水時超空泡長度比半徑減小得更快，即在同樣的Ma下，Lu/Lh偏離1的位置比Ru/Rh大。當水深增加(如h=20 m)時，Lu/Lh和Ru/Rh偏離1的位置減小。說明水深較大時，射彈出水時的超空泡尺度受重力效應的影響相對減小，即更加接近于射彈水平運動時的超空泡尺度。因此，水深越大，無論射彈是水平運動還是垂向運動，他們的超空泡尺度大小就越接近，重力效應對射彈不同運動方式形成的超空泡尺度的影響就越小。

在射彈速度恒定時，進一步計算水深變化對射彈出水超空泡形態的影響。當射彈沿垂直方向(垂直向下或垂直向上)運動時，其超空泡在垂向將遭受不同的重力作用。圖5為射彈以速度Ma=0.7垂直出水的超空泡形態，水深h分別為10、20、30、40 m。可見，隨著水深增加，超空泡長度和半徑將依次縮小，但縮小的趨勢逐漸減緩。

圖4 出水與水平運動超空泡長度和最大半徑之比Fig.4 Ratio of supercavity length to maximum radius for upward to horizontal movement

圖5 深度對出水超空泡尺度的影響Fig.5 Effect of depth on supercavity scale for upward movement

當射彈沿水平方向運動時，由于不同深度條件下空化數不同，也將導致所形成的超空泡尺度不同。當射彈以亞聲速Ma=0.8和超聲速Ma=1.2作水平運動時，深度增加將使超空泡長度和最大半徑相應縮小。水深小時減小得快，水深大時減小得慢，如圖6所示。說明水深較小時，超空泡尺度對深度變化比較敏感，而水深較大時，深度變化對超空泡尺度的影響較小。

考慮重力和壓縮性效應, 計算射彈表面壓力分布和壓差阻力系數隨馬赫數的變化關系。在水深一定(如h=20 m)時，Ma的變化對射彈表面壓力分布有較大影響，射彈表面的壓力系數在錐尖處為駐點壓力，亞聲速時由錐尖至錐底逐漸減小，在錐底處壓力系數減小為各自水深和速度下的負空化數，如圖7所示。當Ma由0.3增加至0.7時，壓力系數增加較慢，當Ma由0.7增加至0.9時，壓力系數增加較快，而當Ma由0.9增加至0.99時，壓力系數則急劇增加。Ma的變化反映了流體壓縮性效應的影響。

超聲速條件下，由式(18)可知，相同速度時射彈表面壓力系數與水深無關。由于超聲速時Fr很大，而射彈尺度又很小，因此無論射彈是水平運動還是出水或入水運動，射彈表面的壓力系數將基本保持不變，且近似為常數。

圖6 深度對超空泡長度和半徑的影響Fig.6 Effect of depth on supercavity length and radius

圖7 不同馬赫數下的壓力系數分布Fig.7 Pressure coefficients for different Mach number

射彈的壓差阻力系數與其表面的壓力系數和空化數的大小有關。通過射彈表面的壓力系數分布，可以定性反映射彈運動的壓差阻力系數大小。在亞聲速時，壓差阻力系數隨水深增加有明顯增加，主要是由水深變化導致的空化數增加而引起的，如圖8所示。在超聲速時，由于射彈速度大，水深增加引起的空化數變化小，不同水深、相同速度時射彈表面的壓力系數分布基本保持不變，因而壓差阻力系數與水深變化關系不大。因此，在亞聲速時流體重力效應對壓差阻力系數的影響較大，而在超聲速時則影響較小。

在0.81.7、R/R0>1.4、CD/CD0>1.8，說明流體壓縮性效應在跨聲速范圍內影響明顯。當Ma<0.3和Ma時，可壓與不可壓超空泡流動的參數之比趨于1，說明此時流體的壓縮性效應較小。對Ma的高超聲速情況，流體壓縮性效應將隨Ma增加而增加。因此可知，射彈運動速度范圍不同，導致的流體壓縮性效應影響也不同，如果在理論模型中不考慮流體的壓縮性效應，計算結果將會引起較大誤差。

圖8 不同深度時壓差阻力系數與馬赫數的關系Fig.8 Base drag coefficient vs. Mach number at different depths

圖9 可壓縮與不可壓縮流動參數之比Fig.9 Flow parameter ratio of compressibility to incompressibility

5 結 論

建立的亞、超聲速細長錐形射彈超空泡流動的理論模型和計算方法，考慮了流體的壓縮性特別是重力效應，可以計算細長錐形射彈運動方式、深度、速度的變化對超空泡形態和流體動力系數的影響。對細長錐形射彈垂直出入水運動，流體重力效應主要體現在沿深度方向空泡周圍的壓力改變上。對細長錐形射彈水平運動，流體重力效應主要體現在水深變化導致的空泡數改變上。亞聲速時，流體重力效應對細長錐形射彈壓差阻力系數有明顯影響，而超聲速時影響較小。流體壓縮性效應對超空泡形態、細長錐形射彈表面壓力分布和射彈壓差阻力系數的影響主要體現在跨臨界速度和高超聲速范圍內。由于理論模型中未計及跨聲速時的非線性效應影響，因而在跨聲速范圍時計算結果只能定性反映超空泡射彈的流動特性變化。

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(責任編輯 丁 峰)

Effects of gravity and compressibility on supercavitating flow caused by high speed projectile

Meng Qingchang, Zhang Zhihong, Li Qijie

(CollegeofScience,NavalUniversityofEngineering,Wuhan430033,Hubei,China)

The supercavitating projectile is a new underwater weapon with high speed and kinetic energy. Based on the theory of the ideal compressible potential flow, and taking into account of the gravity effect, an unified theoretical model and numerical calculation for the supercavitating flow caused by an underwater slender conical projectile were constructed, the integral-differential equations for computing the supercavity profiles at subsonic and supersonic speed were derived, and the numerical discrete scheme and a recursive solution were proposed using local fitting of quadratic polynomial, thus obtaining the supercavity profile. The theoretical model and numerical calculation were verified by comparing the asymptotic solutions with the numerical ones of the supercavity aspect ratio. The effects of gravity and compressibility on the supercavity scale, pressure distribution over the projectile and base drag coefficient were summarized through analysis of the supercavity profiles and hydrodynamic coefficients in different movement modes, depths and speeds for the slender conical projectile.

fluid mechanics; compressibility; potential flow theory; supercavity; projectile; subsonic; supersonic; gravity

10.11883/1001-1455(2016)06-0781-08

2015-04-27； < class="emphasis_bold">修回日期：2015-06-15

2015-06-15

國家自然科學基金項目(51309230,51479202); 中國博士后科學基金項目(2013M542531,2014T70992)

孟慶昌(1981— )，男，博士，講師；

張志宏，zhangzhihong_999@163.com。

O353.4 <國標學科代碼：1302534 class="emphasis_bold"> 國標學科代碼：1302534 文獻標志碼：A國標學科代碼：1302534

A