基于隨機區間損益市場模型的未定權益無差異定價

尤蘇蓉，魏　康

(東華大學 理學院，上海 201620)

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基于隨機區間損益市場模型的未定權益無差異定價

尤蘇蓉，魏康

(東華大學 理學院，上海 201620)

摘要：基于加權期望效用最大化，給出了有隨機區間損益未定權益的無差異買入價和賣出價的定義，討論了兩種無差異價格的存在性及其性質.通過一個算例，利用二分法得到了簡單的二叉樹模型下的無差異價格.

關鍵詞：未定權益； 隨機區間； 期望效用； 無差異定價

在傳統隨機金融市場模型中，證券收益表現為隨機變量或隨機過程.資產定價，特別是未定權益定價，主要有兩種方法：一是基于無套利定價方法的風險中性定價；二是基于期望效用優化的效用定價.兩種定價方法的主要區別在于風險中性定價由基礎市場結構決定，與投資者的消費行為無關，是一種客觀定價方法；而效用定價是基于投資者的消費行為特征，以期望效用最大化為基礎，可以認為是一種主觀定價方法.眾所周知，風險中性定價的結論可以表述為“未定權益的無套利價格等于其未來損益在風險中性定價測度下的貼現期望”[1].在效用定價方法中，出現了3種分析方法：一是利用期望效用最大化組合的損益表現，可以構造風險中性定價測度，這也是期望效用優化與風險中性定價方法之間相互聯系的表現；二是公平價格概念[2]，其基本思想是與僅投資于基本證券給投資者帶來的期望效用相比，以公平價格對未定權益進行買賣所產生的邊界期望效用為零；三是無差異定價[3-4]，未定權益的無差異價格與持有未定權益的單位數多少相關，是一種非線性的定價方法.簡單地說，以無差異價格持有相應數量的未定權益并且同時投資于基本證券所產生的最大期望效用與僅投資于基本證券所產生的最大期望效用相等.無差異定價方法被廣泛地用于金融分析，如文獻[5]討論了資產在常相對風險厭惡型效用函數情形下的無差異價格，文獻[6]討論了任意效用函數下的未定權益無差異價格及其保值問題.

傳統的金融市場模型以及不確定金融市場模型[7]，都是以典型的概率空間為基礎.兩個市場模型的差別在于概率測度是否唯一，在不確定金融市場模型中概率測度不唯一確定，而是在一個概率測度集合中取值.在這兩種模型中，相同之處在于資產的表現都是用隨機變量或者隨機過程描述.近年來，相應于不同形式的不確定原因，其他一些不確定量表示方法，如模糊數、模糊隨機變量、區間數以及隨機集合被廣泛地用于金融分析：用模糊數表示資產收益，構建模糊收益資產的均值-方差組合選擇模型[8]；基于模糊二叉樹的新型期權定價[9]；將不確定參數引入經典二叉樹模型，在多期時間框架下對期權進行定價分析[10].文獻[11]提出了隨機區間值收益證券構成的金融市場模型，在這個新模型下，所有證券的收益由隨機區間描述.基于可接受市場概念[11]，經典單期市場下的定價結論得到了推廣.新的市場模型產生一些新的結論，經典的風險中性定價測度被推廣為可接受市場價格向量；而未定權益定價的無套利價格區間被推廣為可接受價格區間.

關于隨機區間市場模型下的期望效用優化問題，依托隨機區間的期望以及區間數的評價規則[12]，加權期望效用模型[13]被用于衡量投資者對待隨機區間收益資產的滿意度.在適當的效用函數條件下，市場的可接受性保證了最優交易策略的存在性，并且利用最優投資策略可以產生與經典金融分析中類似的現象[13].在隨機區間收益市場下，未定權益的公平價格概念在文獻[14]得到了較為詳盡的討論.本文將無差異定價的概念推廣到隨機區間收益市場中，并討論新的市場模型下無差異價格的表現及其性質.

1市場模型與加權期望效用

i=1， 2， …， N， j=1， 2， …， M}

(1)

現列出一些與本文內容有關的隨機區間損益市場的定價及效用優化概念及已有結論.

定義2[11]稱元素全為正的M值向量ψ?0，為市場的可接受狀態價格向量，若成立

記Ψ為所有的可接受狀態價格向量構成的集合.在可接受市場中，一個未定權益可以表示為元素為區間數的M維向量，如式(2)所示.

(2)

(3)

(5)

(6)

(1+r)e+(S-(1+r)π)Tθ

從而(P1)可以表示為如下僅涉及風險證券投資策略的簡化規劃：

s.t.θ∈RN

區間數的運算規則中一個實數與一個區間數相乘將有比較復雜的情形：設k為實數，[a-， a+]為一個區間數，則k[a-， a+]=[k+a--k-a+， k+a+-k-a-]，其中k+=max(k， 0)，k-=min(k， 0).在(P1)中，((S-(1+r)π)Tθ)L與((S-(1+r)π)Tθ)U將有復雜的形式.幸運的是，利用效用函數u的凹性，λ∈[0.5， 1]， (P1)等價于如下易于計算的規劃[13]：

(7)

其中：目標函數為

2未定權益的無差異定價及其性質

如同第1節的分析，(P2)可以歸結為

(8)

其中：目標函數為

U+(θ1， θ2，b，h)=

顯然，規劃(P2)的最優值依賴于b和h，記為V+(b， h).

其次，如果投資者以價格h賣空b(b>0)單位X，并使用所獲得的收入投資于基本證券，那么對應的規劃變為

同樣的方法，(P3)等價于

(9)

其中：目標函數為

U-(θ1， θ2，b，h)=

記(P3)的最優值為V-(b， h).

V+(b， h)是投資者以價格h買入b單位X時獲得的最優期望效用，而V-(b，h)是投資者以價格h賣空b單位X時獲得的最優期望效用.顯然，對于任意價格水平h，都有

V+(0， h)=V-(0， h)=W0

(10)

在給出隨機區間損益未定權益的無差異價格定義之前，首先給出關于U+(θ1， θ2，b，h)，U-(θ1， θ2，b，h)以及V+(b，h)和V-(b，h)的一些性質，這些性質將用于推導無差異價格的性質.

命題2

(1)U+(θ1， θ2，b，h)與U-(θ1， θ2，b，h)都是(θ1，θ2， b)的凹函數.

(2) 給定b>0， V+(b， h)是h的減函數，而V-(b， h)是h的增函數.

(3) 給定h及實數0<α<1，對任意b>0，式(11)成立

V+(αb，h)≥αV+(b，h)+(1-α)W0，

V-(αb，h)≥αV-(b，h)+(1-α)W0

(11)

證明：(1) 由于效用函數u(x)為其變量x的凹函數，U+(θ1， θ2，b，h)和U-(θ1， θ2，b，h)必定為(θ1， θ2，b)的凹函數.

(2) 對于任意(θ1， θ2)，當b>0給定時，目標函數U+(θ1，θ2， b， h)為h的減函數，從而規劃的最優值V+(b， h)也是h的減函數.同樣由于U-(θ1，θ2， b， h)關于h遞增，V-(b， h)是h的增函數.

(3) 首先證明關于V+的不等式.由V+(b， h)和W0分別是(P1)和(P2)的最優解，對任意ε>0，存在(η1， η2)及(ξ1， ξ2)

定義θ1=αη1+(1-α)ξ1， θ2=αη2+(1-α)ξ2，由U+(θ1， θ2，b，h)關于(θ1， θ2，b)的凹性，可以得到

V+(α b， h)≥U+(θ1， θ2，αb，h)=

U+(α(η1，η2，b)+

(1-α)(ξ1，ξ2， 0)，h)≥

αU+(η1，η2，b，h)+

(1-α)U+(ξ1，ξ2， 0，h)≥

αV+(b，h)+(1-α)W0-ε

再由ε>0的任意性，V+(αb， h)≥αV+(b， h)+(1-α)W0成立.

同樣的方法可以證明關于V-的不等式.

下面討論無差異價格概念[3-4]在隨機區間損益市場下的表現.需要說明的是無差異定價是非線性的定價方法，買入/賣出不同單位數證券所對應的無差異單價是不同的，同樣買入/賣出相同單位數證券對應的單價也是不同的.首先給出如下無差異買入價和賣出價的定義.

定義3若h+(b)使得

V+(b， h+(b))=W0

(12)

成立，稱h+(b)是投資者買入b單位未定權益X時的無差異買入價；而若h-(b)使得等式

V-(b， h-(b))=W0

(13)

成立，則稱h-(b)為投資者賣出b單位未定權益X時的無差異賣出價.

雖然無差異價格與公平價格的定義都是基于期望效用最大化，但是兩者的定價機制有不同之處.當市場上僅有基本證券時，投資者只能尋求基本證券構成的最優投資策略.引入未定權益后，投資者有了一個新的投資對象，她/他可以選擇買入或者賣空一定單位的未定權益達到最大期望效用.在確定無差異價格的最優化問題中，對未定權益的投資數量是預先確定的，只是尋求基本證券構成的最優投資策略；而在確定公平價格的最優化問題中，對未定權益的投資數量也是一個決策變量，投資者是在尋求基本證券與未定權益構成的最優投資策略.

下面幾個命題將討論無差異價格的存在性及其性質.引入兩個量，它們將用于確定無差異價格的范圍.記

(14)

分別表示未定權益在t=1時刻所有可能狀態下的最差和最佳損益表現.

證明：根據最優化理論的最大值定理[15]，由效用函數u的連續性，規劃的最優值函數V+(b， h)和V-(b， h)都是b和h的連續函數.

對于h-(b)，對U-(θ1，θ2， b， h)使用相同的說明方法，

成立，這進一步推出

傳統的等價鞅測度定價是一個線性定價方法，不管是對未定權益買入還是賣出，也不管交易多少單位，其價格都是一樣的.在隨機區間損益市場中，由可接受狀態價格向量產生的定價結果也是線性的.無差異定價結果是非線性的，未定權益的無差異單價將隨著交易單位數的不同而發生變化[3].

命題4若b1>b2，則h+(b1)≤h+(b2)和h-(b1)≥h-(b2)成立.

證明：對b1>b2，存在正數0<μ<1使得b2=μb1.

由式(11)，對任何h，成立

V+(b2，h)≥μV+(b1，h)+(1-μ)W0

令h=h+(b2)并利用W0=V+(b2，h+(b2))=V+(b1，h+(b1))，可以得到

W0=V+(b2， h+(b2))≥

μV+(b1， h+(b2))+(1-μ)W0

這表明

V+(b1， h+(b2))≤W0=V+(b1， h+(b1))

利用V+(b，h)關于h的遞減性，則h+(b1)≤h+(b2)成立.

對于h-(b)關于b的遞增性，再次使用式(11)可以得到對任何h，

V-(b2， h)≥μV-(b1， h)+(1-μ)W0

因此W0=V-(b2，h-(b2))≥μV-(b1，h-(b2))+(1-μ)W0成立，即有

V-(b1， h-(b2))≤W0=V-(b1， h-(b1))

利用V-(b，h)關于h的遞增性，則h-(b1)≥h-(b2)成立.

命題4表明，在隨機區間損益市場模型下，無差異定價結果也表現出非線性的性質.當投資者購買更多單位未定權益時，期望支付更少的單價；而當投資者賣出更多單位未定權益時，期望獲得更多的單價.

下面將討論對給定的未定權益X，如何計算其無差異價格h+(b)，h-(b).在經典隨機金融市場模型下，最優期望效用值可以顯式表示.在隨機區間損益市場模型下，最優期望效用值不能顯式表示，因此不能得到無差異價格的顯式表達，但是利用數值計算方法，可以輕松地計算兩個無差異價格水平.命題3和4給出了無差異價格的范圍及其單調性，這使得采用最簡單的二分法就可以計算無差異價格.

對于特殊的效用函數u，可以直接計算兩個無差異價格水平，并得到具體表達式.在期望效用分析中，最常用的效用函數：對數效用u(x)=lnx，冪函數效用u(x)=xα， 0<α<1，指數效用u(x)=1-e-α x.

對于指數效用u(x)=1-e-α x，U(θ1， θ2)，U+(θ1， θ2，b，h)與U-(θ1， θ2，b，h)可以分別表示為

U(θ1， θ2)=1-U′(θ1， θ2)

U+(θ1， θ2，b，h)=1-exp(αb(1+r)h)·

U-(θ1， θ2，b，h)=1-exp(-αb(1+r)h)·

從而有

(15)

以上分析表明在指數效用情形下，未定權益的無差異價格水平可以有直接的表達式.

3算例

考慮一個二叉樹市場模型.兩個交易日為t=0， 1.假設存在兩個可能狀態ω1和ω2，發生概率分別為p=P(ω1)=7/12和P(ω2)=1-p=5/12.僅考慮兩個基本證券情形.第一種基本證券是債券，t=0時刻的價格為π0=1，為簡單起見，設無風險利率為r=0.第二種基本證券為股票，t=0時刻的價格為π1=2，t=1時刻兩個狀態下的隨機區間損益分別為S(ω1)=[3， 4]和S(ω2)=[1， 2].

投資者的效用函數為u=ln(x)，悲觀度為λ=3/4，初始財富為e=20.首先計算僅投資于基本證券市場所獲得的最大加權期望效用值，即下列規劃的最優值.

s.t.θ1≥0， θ2≥0

使用Matlab計算可知，規劃的最優值為W0=3.0699.

引入損益表現為X(ω1)=[4， 6]， X(ω2)=[3/2， 2]的未定權益.規劃(P2)和(P3)分別可以表示為

兩個規劃的最優值分別為V+(b，h)和V-(b，h).預先給出b值，使用二分法可以計算出不同b值所對應的無差異買入/賣出價格，結果如表1所示.

表1　X的無差異買入/賣出價格

4結語

本文將經典隨機金融市場模型中的無差異定價方法應用于隨機區間損益市場，對有隨機區間損益的未定權益進行了定價分析.基于加權期望效用模型，建立了隨機區間損益市場模型下的無差異價格概念.討論了無差異價格的存在性，證明了無差異價格的非線性性質.不同于隨機區間損益金融市場模型下的其他定價方法，未定權益的無差異價格將隨著交易的單位數發生變化.雖然在隨機區間損益市場中，對指數期望效用可以得到無差異價格的顯式表達，但是大多數效用函數情形下只能通過數值方法計算無差異價格.后續將研究無差異價格與風險度量之間的關聯.

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Indifference Prices of Contingent Claims in a Market of Securities with Random Interval Payoffs

YOUSu-rong，WEIKang

(College of Science， Donghua University， Shanghai 201620， China)

Abstract：Based on weighted expected utility maximization， definitions of indifference bid and ask prices to a contingent claim with interval payoff are proposed. Existence and properties of two prices are discussed. Applying the method of bisection， a simple binomial tree model is given as an example to calculate indifference prices.

Key words：contingent claim；random interval；expected utility；indifference pricing

中圖分類號：O 29；F 224

文獻標志碼：A

作者簡介：尤蘇蓉(1976—)，男，江蘇靖江人，副教授，博士，研究方向為金融數學.E-mail： sryou@dhu.edu.cn

基金項目：中央高校基本科研業務費專項資金資助項目

收稿日期：2014-11-10

文章編號：1671-0444(2016)01-0145-07