換元法在解題中的應用

文湖南省郴州市嘉禾縣第一中學　李石勇

?

換元法在解題中的應用

文湖南省郴州市嘉禾縣第一中學李石勇

換元法是一種非常重要的數學方法，可以通過變換研究對象將問題移至新對象的知識背景中，將非標準型問題標準化，不熟悉的問題熟悉化，復雜的問題簡單化。

例1求函數y=sinxcosx+sinx+cosx的最值。

當t=- 1時，ymin=- 1，當時，

點評：sinxcosx是二次式，sinx+cosx是一次式，令t=sinx+cosx，變形后可化為二次函數在閉區間上的最值問題，使問題迎刃而解。

解：令t=x- 1，x∈[5，10 ]，則t∈[4，9 ]，得

總結：分式函數，若分子二次，分母一次，則用換元法將分母整體換元并拆開，轉化成形如，即值域為，u∈D型函數求值域；同理，若分母二次，分子一次，則用換元法將分子整體換元并同除分子，轉化成形如為常數型函數求值域。