關(guān)于三角剖分的簡(jiǎn)單分析

■張堯 馬聰 劉翔

（遼寧省地質(zhì)勘查院遼寧大連116100）

關(guān)于三角剖分的簡(jiǎn)單分析

■張堯 馬聰 劉翔

（遼寧省地質(zhì)勘查院遼寧大連116100）

在物探的工作過(guò)程中，為了繪制等值線(xiàn)圖，必須對(duì)實(shí)測(cè)的離散數(shù)據(jù)進(jìn)行網(wǎng)格化。由于受到了客觀要求，我們工作中繪制的等值線(xiàn)圖所使用的網(wǎng)格化方法均為三角形剖分法。在長(zhǎng)期使用三角剖分的繪圖工作過(guò)程中遇到了種種現(xiàn)象，如：所繪等值線(xiàn)與手繪等值線(xiàn)相似性較大；所繪等值線(xiàn)圓滑程度不理想；所繪等值線(xiàn)容易出現(xiàn)順線(xiàn)的趨勢(shì)等。現(xiàn)本人試圖對(duì)以上現(xiàn)象進(jìn)行簡(jiǎn)單分析，并將一些感想寫(xiě)下來(lái)。

三角剖分網(wǎng)格化物探

本人所在二級(jí)單位主要使用mapgis及GeoIPAS作為繪圖軟件繪制物探的等值線(xiàn)圖。以上兩種軟件分別提供了數(shù)種不同的網(wǎng)格化方法，為了與三角剖分做比較，現(xiàn)列舉幾種主要的加以描述：

克里格方法是根據(jù)相鄰變量的值,利用變差函數(shù)所揭示的區(qū)域化變量的內(nèi)在聯(lián)系來(lái)估計(jì)空間變量數(shù)值。該方法總是盡可能地去描述原數(shù)據(jù)所隱含的趨勢(shì)特征,以區(qū)域化變量理論為基礎(chǔ),以變差函數(shù)為主要工具,在保證研究對(duì)象的估計(jì)值滿(mǎn)足無(wú)偏性條件和最小方差條件的前提下求得估計(jì)值[1]。

最小曲率法采用迭代的方法逐次求取網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù),其插值面類(lèi)似一個(gè)薄的、線(xiàn)性—彈性形變板,該“板”經(jīng)過(guò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn),且每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)具有最小曲率。在盡可能體現(xiàn)原數(shù)據(jù)的同時(shí),最小曲率法產(chǎn)生盡可能的光滑曲面,繪制的圖件比較美觀。

徑向基函數(shù)法,是多個(gè)數(shù)據(jù)插值方法組合的一種多形式網(wǎng)格化方法。其基函數(shù)是由單個(gè)變量的函數(shù)構(gòu)成的,通過(guò)選擇不同的基本函數(shù)來(lái)定義不同的加權(quán)方法,進(jìn)行不同方式的網(wǎng)格化。所有徑向基函數(shù)插值法都是準(zhǔn)確的插值器,它們都能盡量適應(yīng)數(shù)據(jù)。

三角形剖分法是一種嚴(yán)格的插值方法,使用最佳的Delaunay三角形,通過(guò)直線(xiàn)連接各數(shù)據(jù)點(diǎn)形成一系列三角形,并且所有的三角形互不相交,每個(gè)三角形內(nèi)的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)值由該三角平面決定。由于采用所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)去構(gòu)造三角形,因而原數(shù)據(jù)能得到很好的體現(xiàn),給定三角形內(nèi)的全部節(jié)點(diǎn)都要受到該三角形的表面限制。最佳三角形的選取原則為：三角形三個(gè)內(nèi)角盡量都是銳角，三條邊長(zhǎng)度盡量相等，最小角最大化。因此最適合三角剖分的離散數(shù)據(jù)排列方式如圖1所示，即連成的三角形均是等邊三角形。

各種網(wǎng)格化方法原理及切入點(diǎn)雖然各異，但最終目的相同，都是為了做成連續(xù)的曲面，盡量真實(shí)的反應(yīng)實(shí)際的地球物理場(chǎng)狀況。各種網(wǎng)格化方法決定待插值結(jié)果的因素我認(rèn)為有以下幾點(diǎn)（待補(bǔ)充）

（1）插值所使用的數(shù)學(xué)模型。這是決定不同網(wǎng)格化方法的直接因素，采用不同的插值方法對(duì)最終結(jié)果的精度及曲線(xiàn)的圓滑程度等都有直接影響。為了盡量達(dá)到更高的精度，一些網(wǎng)格化方法使用較為繁瑣而復(fù)雜的函數(shù)，所繪制等值線(xiàn)圓滑而細(xì)膩。相對(duì)而言，三角剖分采用的差值方法相當(dāng)于兩個(gè)線(xiàn)性插值的疊帶（如果待插點(diǎn)位于三角形邊上則插值方法僅為線(xiàn)性插值），函數(shù)非常簡(jiǎn)單，因此所繪制的等值線(xiàn)不夠圓滑，較為生硬。Mapgis在以TIN成圖的過(guò)程中可以對(duì)曲線(xiàn)做一定程度的圓滑處理，這是在網(wǎng)格已經(jīng)生成之后所做的，應(yīng)屬拋開(kāi)插值單獨(dú)做圓滑處理，是為了盡量扼制局部的曲率突變，而非考慮實(shí)際地球物理場(chǎng)的規(guī)律，處理程度若較大會(huì)使精度大幅下降，有時(shí)甚至出現(xiàn)等值線(xiàn)交叉的情形。

圖1 三角剖分最理想的網(wǎng)度

（2）待插值與參與插值原始數(shù)據(jù)的距離。以此為切入點(diǎn)的網(wǎng)格化方法稱(chēng)為距離法，由此將過(guò)程細(xì)化復(fù)雜化而衍生出一系列方法。各種網(wǎng)格化方法均或多或少受距離影響，即待插點(diǎn)越接近原始數(shù)據(jù)，則其結(jié)果越受之控制。三角剖分顯然也受距離影響，如圖2所示：A、B、C為圍成三角形的三個(gè)原始數(shù)據(jù)，D點(diǎn)為待插點(diǎn)。若其余條件未變而使C點(diǎn)處于如圖2-2位置，D點(diǎn)與C點(diǎn)間的距離減少，相較圖2-1,D點(diǎn)的結(jié)果更受C點(diǎn)控制。

圖2

（3）參與每一待插點(diǎn)的插值過(guò)程的原始數(shù)據(jù)范圍。參與單一待插點(diǎn)差值的原始數(shù)據(jù)范圍越小，越能突出局部細(xì)節(jié)，范圍越大則越突出區(qū)域特征而扼制局部細(xì)節(jié)。范圍過(guò)大則生成曲面過(guò)于平緩、細(xì)節(jié)大量流失，范圍過(guò)小則不能連成完整曲面。一些網(wǎng)格化方法可以自由選擇圈定原始數(shù)據(jù)范圍，可以使結(jié)果細(xì)節(jié)完善或反映區(qū)域信息，與之相比三角剖分網(wǎng)格不能脫離最佳三角形，已進(jìn)行最優(yōu)選而得到唯一結(jié)果（除非最佳三角形不只一種可能性），參與單點(diǎn)插值的原始數(shù)據(jù)只能為2-3個(gè)，所繪等值線(xiàn)為唯一結(jié)果。

綜上所述我認(rèn)為三角剖分相較于其他網(wǎng)格化方法是一種簡(jiǎn)單、直接、結(jié)果唯一的插值方法，當(dāng)精度要求不高時(shí)算是一種比較好的網(wǎng)格化方法。現(xiàn)試圖對(duì)前文所述現(xiàn)象加以解釋?zhuān)?/p>

所繪等值線(xiàn)與手繪等值線(xiàn)相似性較大，我認(rèn)為造成這種現(xiàn)象的原因在于兩者均有以下特征：1.尊重原始數(shù)據(jù)。三角剖分由于采用線(xiàn)性插值，因此不會(huì)產(chǎn)生高于原始數(shù)據(jù)最高值及低于原始數(shù)據(jù)最低值的點(diǎn)，曲面極大值與極小值與原始數(shù)據(jù)的位置與數(shù)值均保持完全一致；2.原始數(shù)據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)之間的差值分配按照線(xiàn)性分配；3.圓滑方式相似。單憑人力在有限的原始數(shù)據(jù)中不能發(fā)現(xiàn)最能反映客觀地球物理場(chǎng)的規(guī)律，因此手繪的圓滑處理出于一定程度上的合理以及美觀的目的，與前文三角剖分的圓滑方式類(lèi)似。

所繪等值線(xiàn)圓滑程度不理想，前文已經(jīng)提到是由于三角剖分使用線(xiàn)性函數(shù)插值，不再闡述。

所繪等值線(xiàn)容易出現(xiàn)順線(xiàn)的趨勢(shì)，這是由于我們的物探工作所采用的網(wǎng)度都是線(xiàn)距大于點(diǎn)距，形成的最佳三角形最短邊是第二短邊的1/2.5或1/5，并不十分理想。如圖3-1所示，A、B、C為三個(gè)實(shí)測(cè)點(diǎn)，其中A、B為同一條線(xiàn)上相鄰測(cè)點(diǎn)，A、C為相鄰線(xiàn)上同一測(cè)點(diǎn)。以A、B、C構(gòu)成最佳三角形，其對(duì)應(yīng)的三條邊分別為a、b、c，由于三個(gè)點(diǎn)均為實(shí)測(cè)點(diǎn)，其對(duì)代插點(diǎn)的控制能力相同。在c，a上分別取點(diǎn)D、E，令BD=BE=r，D點(diǎn)的插值結(jié)果受A、B點(diǎn)的數(shù)據(jù)的控制，E點(diǎn)的插值結(jié)果受B、C控制。現(xiàn)不斷變化r值觀察D、E的受控情況：當(dāng)r趨于0時(shí)，D、E均只受B控制，受控制程度相同；隨著r不斷變大，D、E受B的控制不斷減小并分別漸漸開(kāi)始受A、C的控制，總的受控程度均漸漸降低。由于AD

圖3

圖4

[1]劉兆平，楊進(jìn)，武煒.地球物理數(shù)據(jù)網(wǎng)格化方法的選取 [J].物探與化探，2010，34（1）93-9

P631[文獻(xiàn)碼]B

1000-405X（2016）-6-84-2