輸入受限的網絡Euler-Lagrange系統有限時間一致性

袁利毫, 羅禮勇,2, 昝英飛, 李新飛

(1.哈爾濱工程大學 船舶工程學院, 黑龍江 哈爾濱 150001； 2.黑龍江大學 數學科學學院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

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輸入受限的網絡Euler-Lagrange系統有限時間一致性

袁利毫1, 羅禮勇1,2, 昝英飛1, 李新飛1

(1.哈爾濱工程大學 船舶工程學院, 黑龍江 哈爾濱 150001； 2.黑龍江大學 數學科學學院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

摘要：針對網絡Euler-Lagrange系統的有限時間協調一致性問題，考慮控制力矩有界和速度信息不可測的實際情況。基于有限時間控制技術，利用雙曲正切函數，設計出了網絡Euler-Lagrange系統分布式有限時間一致性控制算法。利用代數圖論、Lyapunov穩定性理論和齊次性理論，證明了設計出的控制算法能夠使得所有智能體的位置和速度在有限時間內達到一致,并且滿足控制力矩有界的條件。最后數值仿真結果表明在控制力矩有界和速度信息不可獲取的情況下，所設計出控制算法的有效性和可行性。

關鍵詞：Euler-Lagrange系統；有限時間；速度信息不可測；一致性算法

由于Euler-Lagrange方程能夠建模大量的機械系統,如操作機械臂[1-4]、水下機器人[5-9]等。對網絡Euler-Lagrange系統(NELS)協調控制的研究有著重要的理論價值和實際意義。Liu等[10]在切換拓撲結構中,利用分布式自適應控制方法研究了含通信時延的NELS的一致性。Min等[11-12]分別考慮了參數不確定的NELS分布式自適應協調一致性問題和帶耦合時滯的多Lagrange系統的狀態一致性。在有向通信拓撲結構中,Liu等[13]研究了一組參數不確定的NELS自適應一致性，設計了三種情況下系統的分布式自適應協調一致算法。Yang等[14]研究了NELS的魯棒同步跟蹤控制問題,針對系統的低耦合不確定性問題提出了一種新的分布式滑模控制方案。Liu等[15]研究了NELS編隊跟蹤控制,同時針對了外界噪聲干擾和執行器故障兩種情況,設計的控制方案保證了跟隨者狀態跟蹤到領航者。

與漸近收斂相比較,有限時間收斂具有更好的收斂性能,能夠使系統具有快速、精確跟蹤等優點。Liu等[16]在無向拓撲結構中考慮了無領航者的NELS一致性,設計的分布式控制算法保證系統狀態在有限時間里達到一致。Aldana等[17]在無向拓撲結構中研究了用Euler-Lagrange方程描述的異質機器人的一致性問題,同時考慮了是否存在領航者的兩種情況。Yu等[18]采用終端滑模控制方案,研究了機械臂有限時間協調跟蹤控制。Su等[19]考慮了由Lagrange方程建模的機器人系統分布式有限時間協調跟蹤控制問題。

本文針對控制力矩有界的NELS分布式有限時輸出反饋控制問題進行了研究，提出了NELS的分布式有限時間一致性算法。與文獻[16]相比較，本文的創新點在于：1) 論文在速度不可測的情況下，通過構造動態濾波器來實現無需速度信息的網絡Euler-Lagrange系統有限時間一致性；2) 設計的控制算法在控制力矩先驗有界時，能夠使得系統在有限時間里達到一致。

1非線性控制方法

1.1 網絡Euler-Lagrange系統模型

假設第i個智能體Lagrange系統的動力學模型由如下Euler-Lagrange方程建模：

(1)

式(1)有下面兩個重要的性質：

(2)

1.2代數圖論

利用圖論基礎知識來表示n個智能體之間的信息交。假設圖G={v,ε}是含有n個節點的通信拓撲結構圖,v={v1,v2,…,vn}為節點集,ε={e1,e2,…,en}為邊集。 若(vi,vj)∈ε表示頂點vj能夠獲取頂點vi的信息,同時把vj稱作vi的子節點,vi叫做vj的父節點。在無向拓撲結構圖中(vi,vj)∈ε等價于(vj,vi)∈ε。圖G是連通的,若滿足條件使得G中任意兩個頂點之間都有一條邊能夠將其連接。設A=[aij]∈Rm×m為圖G的加權鄰接矩陣,其元素aij定義為：當(vi,vj)∈ε時,aij>0,否則aij=0。

1.3非線性穩定性定理

定義1[4]考慮如下系統

(3)

式中：f:U0→Rm,f(x)=[f1(x)f2(x) …fm(x)]T是一個連續的向量場函數。設(r1,r2,…,rm)∈Rm，其中rp>0,p=1,2,…,m,若對任意的ε>0,滿足fp(εr1x1,εr2x2,…,εrmxm)=εk+rpfp(x),?x∈Rm成立,則稱f(x)關于(r1,r2,…,rm)是齊次度為k∈R的齊次函數。如果f(x)是齊次的,則有系統(3)是齊次的。

引理2[21]考慮如下系統

(4)

(5)

1.4符號定義

為了方便，對x=[x1…xn]∈Rm，0<α<1，首先定義sig(x)α=[|x1|αsgn(x1)…|x1|αsgn(x1)]，其中sgn(·)為符號函數。

2控制算法設計

考慮系統式(1),針對速度不可測問題,設計控制力矩有界的分布式一致性算法τi,使得系統在有限時間里,滿足如下控制目標：

(6)

式中：ξi為輔助變量，用于估測速度，t大于T,且T為一大于零的固定數。

為實現系統(1)的有限時間一致性,設計如下分布式有限時間一致性算法：

(7)

(8)

其中，對任意的y→0時，有tanh(y)=cly+o(y)，cl為正常數，l=1,2，o(y)為y的高階無窮小量，ki、λi是大于零的常數,aij是鄰接矩陣A的(i,j)位置元素，α1=α2/(2-α2)。

證明 1)證明系統(1)在控制算法(7)、(8)作用下的全局漸近穩定性，選取如下Lyapunov函數：

(9)

計算V對時間t求導，將式(7)、(8)代入式(9)整理可得:

(10)

(11)

2)為證明系統(1)在(7)、(8)局部有限時間穩定,首先定義:

于是,系統(1)在算法(7)～(8)下可以改寫成如下形式：

(12)

其中：

同樣,通過選取如下Lyapunov函數：

tanh(sig(s)α1)ds

(13)

接下來推導

(14)

(15)

3)證明所有控制力矩都有界，對任意常數c>0和向量x∈Rm，有‖tanh(cx)‖≤1,則控制力矩的界‖τi‖。因此,如果,則有‖τi‖≤τMi。

注1針對系統(1),當系統能夠獲取自身速度信息時，可設計如下分布式有限時間一致性算法：

(16)

式中:kpi、kdi為正實數，0<α1<1,α1=α2/(2-α2)。

注2在分布式有限時間一致性算法(7)、(8)中當α1=α2=1時,可得到如下漸近收斂的控制算法：

(17)

(18)

其中,ki、λi與算法(7)、(8)中定義相同。

3數值仿真

為了檢驗系統(1)在算法(7)、(8)下的有效性，基于MATLAB/Simulink環境，搭建數值仿真模

型來進行仿真驗證。考慮由4個機械臂組成的系統，其相互間的通信拓撲結構如圖1所示。

假設4個機械臂具有如下Euler-Lagrange方程建模的動力學模型：

式中：

cos(q2-αe)+J1+J2

g1=(m1l1+m2l1)gcos(q1)+m2l2gcos(q1+q2)

g2=m2l2gcos(q1+q2)

其中，機械臂連桿質量為m1=1.2、m2=1.5,兩連桿間長度為l1=1.0、l2=0.8,其接點到質心距離為lc1=0.6、lc2=0.7,兩連桿之間的轉動慣量為J1=0.35、J2=0.4、g=9.8m/s2、αe=30°。選取ki=3、λi=5、α1=2/3、α2=4/5。

圖1　4個機械臂間的拓撲結構圖Fig.1　The topology associated with four manipulators

仿真結果如圖2～4所示。圖2與圖3分別表示各機械臂的位置和速度變化曲線，從圖2、圖3可以看出在有限時間里四個機械臂的位置和速度均能達到一致。圖4表示控制力矩隨時間的變化曲線，從圖4中看出控制力矩的上界τi=10。數值仿真結果與理論相一致，表明了提出的控制算法的正確性。

(a) q(1)組位置變化曲線　　　　　　　　　　　　　(b) q(2)組位置變化曲線圖2　4個機械臂之間的兩組位置變化Fig.2　Two groups of positions for the four manipulators

(a) q(1)組速度變化曲線　　　　　　　　　　　　　(b) q(2)組速度變化曲線圖3　4個機械臂之間的兩組速度變化Fig.3　Two group of the velocity for the four manipulators

(a) q(1)組控制力矩變化曲線　　　　　　　　　　　　　(b) q(2)組控制力矩變化曲線圖4　4個控制力矩兩組變化曲線Fig.4　Two groups time history curves for the four controller

4結論

1)基于齊次性理論，給出了NELS全局有限時間穩定的充分條件，通過利用飽和函數和構造動態濾波器實現了控制力矩有界和速度信息不可測的NELS有限時間一致性。

2)數值仿真結果表明了NELS建模的各機械臂位置和速度都在有限時間內達到一致，控制力矩存在上界，表明了NELS分布式有限時間控制算法的有效性和可行性。

3)進一步考慮外界干擾等實際情況，利用滑模控制等方法研究基于Euler-Lagrange方程建模的水下多機器人系統編隊協調控制問題。

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Finite-time consensus control for networked Euler-Lagrange systems with input saturations

YUAN Lihao1, LUO Liyong1,2, ZAN Yingfei1, LI Xinfei1

(1. School of Shipbuilding Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China; 2. School of Mathematical Science, Heilongjiang University, Harbin 150001, China)

Abstract：This article focuses on the finite-time coordinated consensus problem for networked Euler-Lagrange systems with control torque constraints and the velocity is not available for feedback. Based on the finite-time control technology, by using hyperbolic tangent function, a velocity-free distributed finite-time consensus algorithm is designed for velocity is not measurable and the control inputs are regarded as a priori bounded. Rigorous proof shows that the positions and velocities of all agents can be achieved consensus in finite-time and the control scheme satisfies the control torque constraints requirement with the algebraic graph theory, homogeneous method and Lyapunov stability theory. Finally, numerical simulation validates the effectiveness and feasibility of the proposed method with control torque constraints and without velocity measurements.

Keywords：Euler-Lagrange systems; finite-time; without velocity measurements; consensus algorithm

中圖分類號：TP273

文獻標志碼：A

文章編號：1006-7043(2016)02-0157-06

doi:10.11990/jheu.201512037

作者簡介：袁利毫(1982-), 男, 講師, 博士.通信作者：袁利毫, E-mail：yuanlihao82@163.com.

基金項目：國家科技重大專項資助項目(20112X05027).

收稿日期：2015-12-11.網絡出版日期：2016-01-25.

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160125.1638.002.html