船體曲面的一種光順重構法

董楓, 陳順懷

(武漢理工大學 交通學院， 湖北 武漢 430063)

?

船體曲面的一種光順重構法

董楓, 陳順懷

(武漢理工大學 交通學院， 湖北 武漢 430063)

摘要：為了在船舶CAD/CAM/CAE中使用更加精確和光順的船體模型，基于船體型值數據，通過插值或逼近的方式得到常規站線以及廣義站線的NURBS表達式。在得到了這些曲線以后，通過等數弧長均分的方式在這些曲線上取數目相同的數據點，構成所謂的廣義型值點，對這些廣義型值點進行插值重構來得到一致化的常規站線以及廣義站線，這些曲線共同構成生成船體曲面的截面曲線。將這些截面曲線取為曲面的u向等參數線，采用改進的曲面放樣方法得到整個船體曲面。結果表明：重構的船體曲面能夠具有較好的擬合精度和光順性。

關鍵詞：插值；逼近；重構；廣義站線；等數弧長均分；改進放樣

船體曲線曲面生成技術是計算機輔助船舶設計CASD領域最活躍最的學科分支之一，是實現船舶數字化造型的關鍵技術之一，它可以輔助進行船舶總體性能計算、適航性計算、流體力學分析、結構設計和船舶的生產設計。船體曲面通常是非常復雜的幾何曲面，特別是在艏艉區域具有雙向曲度，因此如何快速精確的表達船體曲面一直是困擾很多造船工作者的難題，也是他們一直努力的目標。

船體曲線曲面生成是船舶設計制造重要的技術基礎，自從國際標準化組織(ISO)正式將NURBS作為定義工業產品幾何形狀的唯一數學方法[1]，曲線曲面幾何造型實現了表達形式的統一。國內外學者對船體曲線曲面生成算法原理進行了大量研究，David F. Rogers[2]首次提出采用B樣條曲線和曲面來表達船體；Nam[3]在船體曲面設計過程中運用NURBS方法表達；Le T-H等[4]采用遺傳算法，以數據點和曲面的最近距離作為適應度函數來擬合曲面；WANG Hu等[5]通過迭代的方式使得曲面在兩個參數方向各自具有相同的控制頂點數和節點矢量，然后得到整個船體曲面。周超駿等[6]采用B樣條構造船體曲面；林焰等[7-10]對船體曲面的NURBS表達和設計進行了系列研究；陳賓康等[11-12]對NURBS 在船舶設計中的應用進行了相關研究。

在目前的船舶設計過程中，設計人員工作的出發點大多是船體型值點，所關心的是船體型值。但是，船體曲面的重構需要用到的是NURBS 曲線、曲面的控制頂點。基于NURBS的船體曲面重構解決的是NURBS曲面的“反算”問題，即根據已知船體曲面上的一些型值點，構造出NURBS曲面，且保證曲面通過或逼近這些型值點。

本文以NURBS為船體曲線曲面的數學表達工具，采取由點—線—面的方式來獲得整個船體曲面，其中點為現有型值點，線為通過本文方法所構造的廣義站線，面則為最終通過改進放樣法得到的船體曲面。研究表明，本方法能夠根據有限的離散型值獲得較為精確和光順的船體曲面，利于對船體進行后續的CAD/CAE/CAM處理。

1船體NURBS曲線的插值和逼近

本文中NURBS曲線曲面均采用齊次坐標表示[13]， 次數取為三次和雙三次。

1.1曲線插值

可以將NURBS曲線的插值視為簡單的插值四維帶權型值點的問題，即求解出插值帶權型值點的非有理B樣條曲線的帶權控制頂點，它和傳統的B樣條插值方法一致，然后取其在的超平面ω=1上的投影，便得到所求的NURBS曲線的控制頂點。

(1)

(2)

4)曲線的分段連接點分別依次與NURBS曲線定義域內的節點一一對應，因此按照式(1)可建立插值方程組，目前該方程組中僅包含n0+1個方程，而未知控制頂點為n0+3個，因此還需要添加2個邊界條件使方程組封閉。常用的邊界條件包括端切矢條件、自由端條件、拋物線條件、非節點條件等[14]。結合邊界條件將方程組寫成矩陣形式，以自由端邊界條件為例：

P=ND

(3)

式中：

注意N中的元素大部分值為零，每一行只有4個為非零值，求解式(3)便可以得到相應的帶權控制頂點：

(4)

圖1　插值橫剖線Fig.1　Interpolation sectional curve

1.2曲線逼近

事實上往往由于測量誤差、錄入錯誤等原因，很多情況下得到的型值點都不是百分百準確的。以此作為后續工作的基礎，會使誤差得以保留、傳遞，因此，應該對型值點進行處理，降低誤差，即采用逼近而非插值的方式得到曲線往往更有效。

圖2　逼近流程Fig.2　Process of approximation

具體的插值反算過程如下：

(5)

3)此時需要尋找一條三次NURBS曲線：

(6)

滿足：

剩下的型值點則以最小二乘的方式的逼近，即

(7)

式中：f為一個包含napp-1個變量D1,D2,…,Dnpp-1的標量函數。應用標準的線性最小二乘擬合技術，欲使f最小，則其關于未知變量Dl的導數為零，即

對上式進行簡單變換可得

(8)

式(8)為關于未知控制頂點的線性方程，由于l=1,2,…,napp-1，因此便得到一個包含napp-1個變量和napp-1的方程的方程組。寫成矩陣形式為

(9)

式中：

(10)

(11)

5)計算求得的逼近曲線與型值點之間的偏差，可以用最大歐幾里得范數距離來表達：

(12)

如果ξ≤ε，則輸出結果，如果ξ>ε，則取napp=napp+1然后轉到第3)步繼續執行。

圖3為某常規單體船和某雙艉船的艉部逼近橫剖線。圖3(a)和(b)曲線與型值點的最大相對誤差分別為0.24%和0.18%。

圖3　逼近橫剖線Fig.3　Approximation sectional curve

對于實際應用中具體是采用插值還是逼近一方面要考慮型值點的精度，另一方面要考慮型值點的個數。如果型值點不存在測量誤差或錄入誤差且每個橫截面的型值點數量不多并分析較為均勻，建議采用插值方法，否則作者建議采用逼近的方法。插值能保證精度但是控制頂點數相對較多，而逼近能夠保證在規定誤差范圍內的情況下進行數據壓縮，設計者可根據具體情況進行選擇。

圖4為某船型艏輪廓線的插值和逼近NURBS曲線對比。型值點數為12個，圖4(a)插值曲線的控制頂點為14個，曲線精確通過每個型值點，圖4(b)逼近曲線的控制頂點個數為10個，曲線與型值點的最大相對誤差為0.17%。從圖中可知，對于型值點較多且分布不太均勻的型值點，逼近曲線要比插值曲線光順。因此對于允許存在一定誤差的情況下，逼近曲線的效果要優于插值曲線。

圖4　插值和逼近生成的艏輪廓線對比Fig.4　Comparison of stem contour generated by interpolation and approximation

2廣義站的構造和曲線重構

2.1構造廣義站線

顯然，常規的站線無法構成完整表達船體曲面的設計截面，還需要艏艉輪廓線和反應艏艉曲率變化特征的特征曲線，本文以縱向設計法為基礎，將船體的艏艉輪廓線和反映艏艉曲率變化特征的特征曲線統稱為廣義站線，本節將主要介紹這些廣義站線的構造方法。

艏艉輪廓線的構造相對簡單，只要根據中縱剖線上的型值點插值或逼近即可得到，而反映艏艉曲率變化特征的特征曲線的構造則相對復雜，首先這些特征曲線往往并非平面曲線，如圖5中左列所示，平面廣義站線通常無法準確反映艏艉部的曲率變化與過渡，因此本文采用三維空間曲線作為廣義站線，以便于較好的反映艏艉曲面的走勢，如圖5中右列虛線所示，這些曲線便是所謂的廣義站線。

由于僅根據常規站線無法獲得空間廣義站線的信息，所以要借助于水線或縱剖線，由于水線相對縱剖線更符合一般的設計思路，因此本文主要借助水線來構造廣義站線，具體的構造方法如下：

1)根據型值點，依照第1節提出的插值或逼近方法，得到各條常規橫剖站線和水線的NURBS表達式。

2)確定廣義站線的縱向范圍：以艏部為例：對于不包含球艏的簡單船型，如圖5中最上面一行圖所示，可以將離艏輪廓線最近的站線作為艏部廣義站線的左邊界，對于帶球艏的船型，如圖5中最下面一行圖所示，此時球艏和船體曲面主體的過渡部分存在雙向曲度，通常需要相對較長的縱向范圍且較多的廣義站線，因此將離艏輪廓線次近的站線作為艏部廣義站線的左邊界。艉部廣義站線縱向范圍的確定方式則與艏部類似，如圖5中中間一行圖所示。

圖5　插值和逼近生成的艏輪廓線對比Fig.5　Comparison of stem contour generated by interpolation and approximation

3)為了獲得構造廣義站線的廣義型值點，需要在步2)確定的縱向范圍內對每條水線進行等數分割，分割的方式可以是等弧長分割也可以是其他不等弧長分割例如等比分割、指數分割等[15]。本文采取等弧長的等數分割來構造廣義型值點，弧長計算表達式如下：

(13)

4)根據第1節提出的方法，對廣義型值點進行插值或逼近得到廣義站線。

將艏艉廣義站線縱向范圍內的空間廣義站線取代該范圍內的常規站線，配合艏艉輪廓線以及艏艉空間廣義站線之間的中間常規站線，共同構成了后續生成船體曲面的截面曲線。圖6為本方法構造的帶球艏和球艉船型的艏艉部廣義站線。

圖6　艏艉處的廣義站線Fig.6　The generalized station of stem and stern

2.2基于等數弧長均分的曲線重構

大量控制頂點的引入使得經典的曲面放樣算法很難直接應用到實際的CAD系統中，因此本文提出一種新的一致化處理方法：首先對各條截面曲線(包括常規站線和廣義站線)進行等數弧長均分采樣以獲得廣義型值點，然后采用相同次數和節點矢量的一組相容的的NURBS曲線來插值采樣點，從而對截面曲線進行一致化的重構。經過該處理過程，各條重構的截面曲線便具有相同的次數、控制頂點數和節點矢量，這樣不僅構造了一致化的截面曲線，同時大大減少了控制頂點的冗余，從而為后續的放樣曲面過程提供了良好的基礎。注意此處采用等數弧長均分的方式采樣和2.1節中對水線進行等數弧長均分的目的是不一樣的，后者是為了獲得足夠數量的廣義站線以反映曲面在艏艉的走勢，而前者是為了構造一致化的截面曲線。

具體的截面曲線一致化重構過程如下：

1)對各截面曲線進行等數弧長均分，設重構前的原截面曲線為

(14)

2)對各條截面曲線的廣義型值點進行NURBS插值，次數取為三次，節點矢量則取準均勻節點矢量：

(15)

3)采用1.1節敘述的插值方法對廣義型值點進行插值，得到重構后的一致化截面曲線：

(16)

4)計算重構曲線與原截面曲線之間的偏差，同樣用最大歐幾里得范數距離來表達：

如果ξ≤ε，則輸出結果，如果ξ>ε，則取m=m+1然后轉到第2)步繼續執行。

圖7為一游艇重構前和重構后的船體曲線對比。

注：虛線為重構前的原截面曲線，實線為重構后的船體曲線。圖7　游艇截面曲線的重構Fig.7　Reconstruction of a yacht′s cross-section curve

從圖中可知重構曲線幾乎跟原曲線重合，相對誤差為ε=0.05%，弧長等分數為7，而且滿足后續生成曲面的一致化要求。

3船體NURBS曲面的重構

不同的船型，外型有不同的特點。船體外型的傳統描述與表達是船舶型線圖和型值表。經過實船的NURBS描述已證明，僅通過船舶型線圖和型值表是不能夠得到光順的船體曲面，原因是船舶型線圖的站線、水線均太稀疏，不足以來表達光順的船體曲面。而船體曲面造型包含了一條船的完整的形狀信息，它的信息量較船舶型線圖或肋骨型線圖更完整、全面。

本節的目的便是通過上節重構的截面曲線(包括廣義站線和常規站線)來構造船體曲面，采用的曲面生成方法為改進的放樣曲面(loftingsurface)方法[16]，該方法將截面曲線定義為參數曲面的等參數線并插值通過這些截面曲線。由于重構后的各截面曲線已經滿足一致化要求，因此可直接跳過對曲線的預處理過程而直接進行曲面生成，將截面曲線的參數方向取為u向，不失一般性，設共有q+1條截面曲線：

(17)

(18)

(19)

對v向的各行截面曲線控制頂點采用累加弦長參數化方法計算其對應的v向參數值，取各個對應控制頂點參數值的平均值作為統一的v向參數值vs[13]：

(20)

minFi=Ei+Bi=

(21)

求解出上述的優化問題(21)，便可以得到船體曲面的控制頂點，然后根據NURBS曲面的表達式(2)得到船體曲面。

圖8和圖9分別為按照本文提出的船體曲面重構方法得到的船體曲面，圖8為一簡單船型，圖9為帶球艏和球艉的復雜船型，從結果可知該重構方法得出的船體曲面具有較好的精度和光順性。

圖8　簡單船型的NURBS曲面重構Fig.8　NURBS surface reconstruction of simple hull

圖9　復雜船型的NURBS曲面重構Fig.9　NURBS surface reconstruction of complex hull

4結論

以插值和逼近方式擬合型值為基礎，引入廣義站線來構造船體曲面的截面曲線，通過改進的曲面放樣法構造了船體曲面，研究表明：

1)廣義站線相對傳統站線能夠更好的體現出船體曲面在艏艉處的曲率變化和過渡，也為后續的船體曲面重構提供了更為合理的截面曲線；

2)基于等數弧長均分的曲線重構能夠在精度范圍內很好的擬合船體型線，而且具有良好的數據壓縮效果，避免了控制頂點冗余；

3)改進放樣法所構造的船體曲面具有較高的擬合精度和光順性，有效避免了后期大量的人工干預和手動光順處理；

4)由于曲面重構的過程考慮的是兩個參數方向曲線的光順性，并未從曲面整體來考慮，今后的工作需要對這方面內容進行改進。

參考文獻：

[1]ISO. ISO 10303, STEP application handbook[S]. New York: SCRA, 2001.

[2]ROGERS D F. B-Spline curves and surfaces for ship hull design[C]//Proceedings SNAME, SCHAD′77, First International Symposium on Computer Aided Hull Surface Definition. Annapolis, Maryland, 1977: 26-27.

[3]NAM J H, PARSONS M G. A parametric approach for initial hull form modeling using NURBS representation[J]. Journal of ship production, 2000, 16(2): 76-89.

[4]LE T H, KIM D J, MIN K C, et al. B-spline surface fitting

using genetic algorithm[J]. Journal of the society of naval architects of Korea, 2009, 46(1): 87-95.

[5]WANG Hu, ZOU Zaojian. Geometry modeling of ship hull based on non-uniform B-spline[J]. Journal of Shanghai Jiao Tong university: science, 2008, 13(2): 189-192.

[6]周超駿, 劉鼎元, 曹沅. 船體數學線型設計-B樣條曲面法[J]. 上海交通大學學報, 1985, 19(3): 1-10, 109.

ZHOU Chaojun, LIU Dingyuan, CAO Yuan. Mathematical design of hull lines with B-spline surfaces[J]. Journal of Shanghai Jiao Tong university, 1985, 19(3): 1-10, 109.

[7]林焰, 紀卓尚, 戴寅生. 船體B樣條曲面的數學描述及計算機方法[J]. 中國造船, 1996(4): 83-86.

LIN Yan, JI Zhuoshang, DAI Yinsheng. Mathematical description and computer method for B-spline hull surface[J]. Shipbuilding of China, 1996(4): 83-86.

[8]陸叢紅. 基于NURBS表達的船舶初步設計關鍵技術研究[D]. 大連: 大連理工大學, 2006: 23-47.

LU Conghong. Key technologies in preliminary ship design based on NURBS representation[D]. Dalian: Dalian University of Technology, 2006: 23-47.

[9]張明霞, 紀卓尚, 林焰. 面向計算的船體曲面NURBS造型[J]. 船舶工程, 2001, (5): 11-12, 40.

ZHANG Mingxia, JI Zhuoshang, LIN Yan. Calculation-oriented ship hull surface NURBS modeling[J]. Ship engineering, 2001, (5): 11-12, 40.

[10]仵大偉, 林焰, 紀卓尚. 船體曲面的NURBS 表達與設計[J]. 大連理工大學學報, 2002, 42(5): 569-573.

WU Dawei, LIN Yan, JI Zhuoshang. Ship hull surface′s NURBS representation and design[J]. Journal of Dalian university of technology, 2002, 42(5): 569-573.

[11]趙成璧, 鄒早建. 基于 NURBS 的船舶型線設計程序EHULL[J]. 武漢造船, 2001 (1): 28-31.

ZHAO Chengbi, ZOU Zaojian. Ship line design package EHULL based on NURBS[J]. Wuhan shipbuilding, 2001 (1): 28-31.

[12]陳紹平, 陳賓康. 基于NURBS 曲線的雙艉船型線設計研究[J]. 中國造船, 2001, 42(2): 7-11.

CHEN Shaoping, CHEN Binkang. Hull line design for twin stern ship based on NURBS curve[J]. Shipbuilding of China, 2001, 42(2): 7-11.

[13]PIEGL L, TILLER W. The NURBS book[M]. 2nd ed. Berlin: Heidelberg: Springer, 1997: 52-77.

[14]施法中. 計算機輔助幾何設計與非均勻有理B樣條[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001: 24-28.

[15]閆秋蓮, 楊啟. 基于NURBS的船體曲面重構[J]. 船舶工程, 2006, 28(5): 5-9.

YAN Qiulian, YANG Qi. Ship hull surface reconstruction on the basis of NURBS modeling[J]. Ship engineering, 2006, 28(5): 5-9.

[16]董楓. 船體曲面特征參數化設計技術研究[D]. 武漢: 武漢理工大學, 2012: 36-45.

DONG Feng. Study on characteristic parametric design of ship hull surface technology[D]. Wuhan: Wuhan university of technology, 2012: 36-45.

A fair reconstruction method of hull surface

DONG Feng，CHEN Shunhuai

(School of Transportation, Wuhan University of Technology, Wuhan 430063, China)

Abstract：In order to use more accurate and fair hull model in ship CAD/CAM/CAE system, based on the hull offset data, the NURBS representation of the conventional station ordinates and generalized station ordinates are obtained by interpolation or approximation method. After obtaining these curves, the same number of data points is sampled from these curves by dividing its arc length equally, so as to form generalized offset points. By interpolation of these generalized offset points, compatible conventional station ordinates and generalized station ordinates are reconstructed, and these curves together constitute the cross-section curves of the hull surface. These cross-section curves are taken as u-direction isoparametric curves of hull surface. By using improved surface lofting method, the whole hull surface is gotten. From the results, it can be seen that the reconstructed hull surface has good fitting accuracy and fairness.

Keywords：interpolation; approximation; reconstruction; generalized station; dividing arc length equally; improved lofting

中圖分類號：U662.2

文獻標志碼：A

文章編號：1006-7043(2016)02-0198-07

doi:10.11990/jheu.201410069

作者簡介：董楓(1989-)， 男，博士研究生；陳順懷(1966-)，男，教授，博士生導師.通信作者：董楓，E-mail: dfisgood@163.com.

基金項目：國家自然科學基金重點資助項目(51039006).

收稿日期：2014-10-27.網絡出版日期：2015-12-15.

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20151215.1517.032.html