圓錐曲線中定點問題剖析

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圓錐曲線中定點問題剖析

◇福建陳龍

在高考的試卷中與圓錐曲線相關題目往往是壓軸題之一,是高考的難點問題.在圓錐曲線中有一類有關動直線過定點的問題往往是命題的熱點．這類問題與圓錐曲線中的其他類型問題不同,它不存在常規解法,只有比較籠統的解題思想，即定點問題必然是在變化中能夠表現出的不變量,也就是用變量表示問題中諸如直線方程、數量積、比例關系等表達式,從而能夠從表達式中分析出不受變量影響的某個點．但這種模糊的解題思想對于學生而言,就缺少了一個明確的抓手,在處理相關問題時,學生往往不知如何下手．因此，有必要對這類問題進行理論和實踐的全面剖析．

1理論剖析:解題思想解讀,歸納解題方法

圓錐曲線中有關定點的問題有很多種類,其中考查最多的一類是動弦過定點的問題,這類問題的解題思想很明確:將問題中的直線方程用某個變量表示出來,分析直線方程中不受變量影響的某個點,即為所求定點．解題的思想雖然很簡單,但突破這類問題有一個關鍵點,即變量的選擇．如何選擇變量及選擇什么樣的變量，會使題目的解題過程呈現不同的思路及解題方法．眾所周知,確定一條直線需要2個要素:斜率和一點或者直接知道2點,結合動弦過定點的解題思想,顯然這里為解題中變量的選擇提供了一定的思路,即在通常的處理過程中往往是從直線的斜率或點的坐標入手以其為中間變量,尋找不變量．而變量選擇的不同,也就為我們解決問題提供了2類不同的處理方式.

上述2種解題思想,雖然采用了不同的中間變量,但解題的思路其實是理出一脈,其實質為引進變化的參數來建立直線方程,換句話說即利用變量來書寫動弦所在直線方程,然后通過直線方程的變形,來確定方程中與參數無關的定量來得出定點．

2實踐操作:理論指導實踐,明確解題方向

根據解題思想,分析出的解決方法,然而理論的分析應當為實踐解題服務,以明確問題解決的方向,故而文章以一道調研試題為例,剖析上述理論在實踐中具體運用和注意事項．

∠OFA+∠OFB=180°．

(1) 求橢圓方程;

(2) 當A為橢圓與y軸正半軸的交點時,求直線方程;

(3) 對于動直線l,是否存在一定點,無論∠OFA如何變化直線l都經過此定點．

方法1以直線方程為突破.

圖1

方法2以點的坐標關系為突破.

圖2

設直線AF的方程為y=k(x+1),所以

y1=k(x1+1),-y2=k(x2+1),

所以

①

將直線AF：y=k(x+1)代入到橢圓方程可得

將x1+x2和x1x2代入式①可得x=-2,所以動直線恒過(-2,0)．

綜合分析上述實踐操作的過程,筆者認為動弦過定點的問題其本質上歸類到直線與圓錐曲線位置關系中,無論是利用直線方程化二元為一元,還是利用點的坐標之間的關系尋找不變量,其解決過程中均利用了根與系數的關系,因此,在解決此類問題時利用交軌法是解題的重要手段之一．

(作者單位：福建泉州培元中學)