利用空間向量證明“平行”與“垂直”

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利用空間向量證明“平行”與“垂直”

■左婷

用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個具體應用，體現了向量的工具性，這種方法可把復雜的推理證明轉化為空間向量的運算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現了由“形”轉“數”的轉化思想。本文就利用空間向量證明“平行”與“垂直”這一視角進行例析。

一、利用空間向量證明平行問題

圖1

圖2

例1如圖1所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點。求證：PB∥平面EFG。

證明:因為平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD為正方形，所以AB，AP，AD兩兩垂直。以A為坐標原點，建立如圖2所示的空間直角坐標系A-xyz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)。

規律方法:(1)恰當建立坐標系，準確表示各點與相關向量的坐標，是運用向量法證明平行和垂直的關鍵。

(2)證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數量積為零，或證直線的方向向量與平面內的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可。這樣就把幾何的證明問題轉化為向量運算。

二、利用空間向量證明垂直問題

圖3

例2如圖3，在三棱錐P-ABC中，AB=AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上。已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2。

(1)證明：AP⊥BC；

(2)若M是線段AP上一點，且AM=3。試證明：平面AMC⊥平面BMC。

圖4

規律方法:(1)利用已知的線面垂直關系構建空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算。其中靈活建系是解題的關鍵。

(2)其一，證明線線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直。其二，證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內不共線的兩個向量垂直即可，當然也可證直線的方向向量與平面法向量平行。其三，證明面面垂直：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個平面內的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可。

作者單位：江蘇省高郵市第一中學