逆用導數運算法則，構造原函數巧解題

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逆用導數運算法則，構造原函數巧解題

◇云南楊峰

若題設中出現了與導數有關的不等式,往往很可能是根據導數的運算法則提前計算后而設計的,所以應多從這個角度考慮如何構造函數,以便順利解題.

1直接考慮導數運算法則構造函數

當00,則f(x)>0;當x<-1時,g(x)<0,則f(x)>0.

綜上,x的取值范圍是(-∞,-1)∪(0,1).

變式1已知f(x)是定義在(0,+∞)上的非負可導函數,且滿足xf′(x)+f(x)≤0.對任意正數a、b,若a

Aaf(b)≤bf(a)；Bbf(a)≤af(b)；

Caf(a)≤f(b)；Dbf(b)≤f(a)

變式2設f(x)是R上的奇函數,且f(-1)=0.當x>0時,(x2+1)f′(x)-2xf(x)<0,則不等式f(x)>0的解集為________.

答案(-∞,-1)∪(0,1).(過程略)

2結合y=ex考慮導數運算法則構造函數

Af(2)>e2f(0),f(100)>e100f(0);

Bf(2)e100f(0);

Cf(2)>e2f(0),f(100)

Df(2)

變式1設函數f(x)的定義域為R,且對任意x∈R,f′(x)+f(x)>0,則對任意正數a必有( ).

Af(a)>eaf(0);Bf(a)

變式2已知定義在R上的函數f(x),滿足3f(x)>f′(x)恒成立,且f(1)=e3(e為自然對數的底數),則下列結論正確的是().

Af(0)=1;Bf(0)<1;

Cf(2)e6

答案C.

綜上,構造函數是一種創新思維,對能力的要求較高,需要在解題實踐中不斷積累經驗,且學且悟.

(作者單位：云南大理市下關三中)