追及問題中錯解分析

在運動學中，追及問題是比較容易出錯的，尤其在我們初學的時候，總是不經意間就陷入題目所設置的“陷阱”中。結合平時的學習，我們一起來探討一下關于追及過程中勻減速直線運動的問題。

一、追及和相遇

1.定義：指同一時刻到達同一位置。

2.兩個關系：一是相遇位置與各物體的初始位置之間存在一定的位移關系。若同地出發，則相遇時位移相等。二是相遇物體的運動時間也存在一定的關系：若物體甲、乙同時出發，運動時間相等；若甲比乙早出發Δt，則運動時間關系為t=t+Δt。

要使兩物體相遇，就必須同時滿足位移關系和運動時間關系。

3.一個條件：兩者速度相等，這往往是物體間能否追上、追不上或（兩者）距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點。

例1 甲、乙兩輛汽車在一條平直的公路上同向行駛，甲在前，乙在后，甲的速度為v=8 m/s，乙的速度為v=16 m/s，當兩車相距為L=8 m時，甲車突然以a=2 m/s的加速度做勻減速運動，同時乙車立即剎車，為了避免兩車相撞，乙車的加速度至少應為多少？

分析 解答本題時要注意相遇的條件：當乙車追上甲車時，若兩車的速度恰好相等，則乙車剎車時加速度為最小值。再根據位移關系求出時間，根據速度相等條件求出加速度。

解 設乙車剎車時加速度的最小值為a，當乙車追上甲車且兩車的速度恰好相等時，經過的時間為t，此時兩車的速度為v，

根據位移關系，有s-s=L ①，

對甲，根據運動學公式，

有s=vt-at ②，

對乙，根據運動學公式，

有s=vt-at？搖 ③，

又因為v=v-at ④，

v=v-at ⑤，

由①、②、③、④、⑤并代入數據，解得：a=6 m/s 。

乙車的加速度至少為6 m/s。

點評 本題是追及問題，關鍵是尋找臨界條件。

拓展1 對于例1，若L=16 m，其他條件不變，則乙車的加速度至少應為多少？

解答過程如例1，只需將L=8 m換成L=16 m，即可求得a=4 m/s，即乙車的加速度至少為4 m/s。

拓展2 對于例1，若L=32 m，其他條件不變，則乙車的加速度至少應為多少？

解答過程如例1，只需將L=8 m換成L=32 m，即可求得a=3 m/s，即乙車的加速度至少為3 m/s。

仔細分析不難發現，拓展2的答案不妥。結合拓展1分析可知，對甲而言，4 s時已經停了，對乙來說，則需要 s方能停止。究其原因，是出現了反向加速運動的情況，與實際情況不符，不符合題意。

對于拓展2的正確解答：

設乙車剎車時加速度的最小值為a。當乙車追上甲車速度恰好相等時，經過的時間為t，此時兩車的速度為v。

根據位移關系，

有s-s=L ①，

對甲，根據運動學公式，

有v=2as ？搖②，

對乙，根據運動學公式，

有v=2as ③，

聯立解得：a= m/s

根據圖像亦可得到同樣的結論。

分析 如圖，例1圖所示陰影部分的面積表示L=8 m，速度相等時剛好相遇，如果乙的加速度小些，則相遇時乙的速度仍大于甲的速度，不符合題意，即乙車的加速度至少為6 m/s。

拓展1圖所示陰影部分的面積表示L=16 m，速度相等且為零時剛好相遇，如果乙的加速度小些，則乙追上甲時乙的速度仍大于0，而此時甲剛好停止，不符合題意，即乙車的加速度至少為4 m/s。

拓展2圖所示陰影部分的面積表示L=32 m，甲的速度為0時乙不可能追上甲，因此必須當乙剛好追上甲時速度也是0才符合題意，即乙車的加速度至少為 m/s。

如何利用追及中的“兩關系、一條件”是避免錯誤的核心內容，被追及的物體做勻減速直線運動時一定要注意“停而復返”和“停而止”的問題，相信結合圖像分析能使我們更充分地理解。通過下面的例題，再來感受一下這一思想的巧妙之處。

例2 如圖，A、B兩物體相距為s=7 m，物體A在水平拉力和摩擦力的作用下，正以v=4 m/s的速度向右勻速運動。而物體B此時的速度v=10 m/s，方向向右，由于摩擦力的作用向右做勻減速運動，加速度為a=-2 m/s，那么物體A追上物體B所用的時間為（ ）。

A.7 s？搖 B.8 s？搖 C.9 s？搖 D.10 s

拓展 對于例2，若改“由于摩擦力的作用”為“在外力和摩擦力的作用下”，其他條件不變，則應選哪一項？

我們可以看到原題是“停而止”，而拓展則是“停而復返”，故答案分別為B和A。

通過這樣的學習我們以后的學習中一定要注意多角度、多方法、多情景、多拓展地分析和解決運動學類的題目。