破解天體運(yùn)動(dòng)問題的“金三角”

天體運(yùn)動(dòng)問題是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一。近幾年對(duì)這類題目考查的頻率很高，無論是全國卷，還是獨(dú)立命題省市的高考卷，幾乎年年必考，但年年各不相同，真可謂是千變?nèi)f化。其實(shí)這些題在解法上有驚人的相似之處。下面總結(jié)一下這類問題的解題方法。

一、常用公式總結(jié)

天體運(yùn)動(dòng)問題中公式看似有很多，但仔細(xì)歸納起來就三個(gè)。

①F=F

當(dāng)天體在高空運(yùn)行時(shí)，設(shè)天體質(zhì)量為m，環(huán)繞的中心天體質(zhì)量為M，軌道半徑為r，則有F=G；

當(dāng)天體在星球表面近地環(huán)繞運(yùn)行時(shí)，設(shè)天體質(zhì)量為m，星球質(zhì)量為M，星球半徑為R，則有F=G。

圓周運(yùn)動(dòng)的向心力公式又有多種表達(dá)形式，

即F=ma=m=mωr=mr。

當(dāng)天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，中心天體對(duì)它的萬有引力提供所需的向心力，所以有F=F。綜合以上兩種力的表達(dá)式，F(xiàn)=F就有8種具體形式。

例如G=ma，G=m，G=mr等。

②F=mg

如果不考慮星球的自轉(zhuǎn)，天體m在星球表面時(shí)F=mg，設(shè)星球質(zhì)量為M，半徑為R，其表面的重力加速度為g，則有G=mg；

天體在星球高空時(shí)，設(shè)距球心r處的重力加速度為g′，則有G=mg′。

③mg=F

當(dāng)天體在星球表面近地環(huán)繞運(yùn)行時(shí)，也可以看成繞行天體的重力提供所需的向心力，設(shè)繞行天體的質(zhì)量為m，星球表面的重力加速度為g，則有mg=F；

當(dāng)天體在高空環(huán)繞運(yùn)行時(shí)，天體所在軌道的重力加速度為g′，則有mg′=F。

又因?yàn)橹亓貢r(shí)為mg，高空時(shí)為mg′，向心力又有四種表達(dá)式，因此mg=F也有8種具體形式。

如果把以上公式總結(jié)一下，可以用右圖的三角形表示。這個(gè)三角形表示的公式幾乎可以求解所有的天體運(yùn)動(dòng)問題，所以我們稱之為“金三角”。

二、天體運(yùn)動(dòng)問題歸類例析

1.星球半徑問題

例1 （2015年海南卷）若在某行星和地球上相對(duì)于各自水平地面附近相同的高度處、以相同的速率平拋一物體，它們?cè)谒椒较蜻\(yùn)動(dòng)的距離之比為2∶。已知該行星質(zhì)量約為地球的7倍，地球的半徑為R，由此可知，該行星的半徑為（ ）。

A.R？搖 ？搖B.R？搖 ？搖C.2R？搖 ？搖D.R

解析 設(shè)行星表面的重力加速度為g′，水平方向運(yùn)動(dòng)的距離為x′，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t′，在行星表面根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)公式得x′=vt′，h=g′t′，

解得g′=。

同理，在地球表面上有g(shù)=，

兩式相比得==。

在地球表面上有G=mg，

在行星表面上有G=mg′，

以上兩式相比得=·=×=2。所以答案為C。

點(diǎn)評(píng) 本題先用平拋運(yùn)動(dòng)公式求出重力加速度之比，然后用兩個(gè)“金三角”中的②式相比求解。

2.軌道半徑問題

例2 地球同步衛(wèi)星到地心的距離r可用地球質(zhì)量M、地球自轉(zhuǎn)周期T與引力常量G表示為r= 。

解析 根據(jù)萬有引力定律及圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)G=mr，可得r=。

點(diǎn)評(píng) 本題是用“金三角”中的①式直接求解的。

3.質(zhì)量問題

例3 （2015年江蘇卷）過去幾千年來，人類對(duì)行星的認(rèn)識(shí)與研究僅限于太陽系內(nèi)，行星“51pegb”的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕。行星“51pegb”繞其中心恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運(yùn)動(dòng)半徑的。該中心恒星與太陽的質(zhì)量比約為（ ）。

A.1/10 ？搖B.1 ？搖C.5？搖 D.10

解析 行星“51pegb”繞其中心恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

則有G=m′r′，

地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有G=mr，

兩式相比得==≈1.04，

所以答案為B。

點(diǎn)評(píng) 本題是用兩個(gè)“金三角”中的①式相比來求解的。

4.密度問題

例4 （2014年廣東卷）如圖所示，飛行器P繞某星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星球相對(duì)飛行器的張角為θ，下列說法正確的是（ ）。

A.軌道半徑越大，周期越長

B.軌道半徑越大，速度越大

C.若測得周期和張角，可得到星球的平均密度

D.若測得周期和軌道半徑，可得到星球的平均密度

解析 飛行器P繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，有G=mr （1），

解得T=2π，可知半徑越大則周期越大，所以選項(xiàng)A正確；

再根據(jù)G=m，解得v=，可知軌道半徑越大則環(huán)繞速度越小，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

又由（1）式還可解得M=，如果知道張角θ，則該星球半徑為R=rsin，再根據(jù) ρ==，若測得周期，則可得到星球的平均密度，所以選項(xiàng)C正確；

而選項(xiàng)D因無法計(jì)算星球半徑，從而無法求出星球的平均密度，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。答案為AC。

點(diǎn)評(píng) 本題是用“金三角”中的①式和幾何關(guān)系來求解的。

5.向心加速度問題

例5 “嫦娥”一號(hào)和“嫦娥”二號(hào)衛(wèi)星相繼完成了對(duì)月球的環(huán)繞飛行，標(biāo)志著我國探月工程的第一階段已經(jīng)完成。設(shè)“嫦娥”二號(hào)衛(wèi)星環(huán)繞月球的運(yùn)動(dòng)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它距月球表面的高度為h，已知月球的質(zhì)量為M、半徑為R，引力常量為G，則“嫦娥”二號(hào)衛(wèi)星繞月球運(yùn)動(dòng)的向心加速度a= 。

解析 “嫦娥”二號(hào)衛(wèi)星環(huán)繞月球?yàn)閯蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，有G=ma，解得a=。

點(diǎn)評(píng) 本題是用“金三角”中的①式直接來求解的。

6.線速度問題

例6 （2015年全國卷）我國發(fā)射的“嫦娥”三號(hào)登月探測器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圓軌道上繞月運(yùn)行；然后經(jīng)過一系列過程，再在離月面4 m高處做一次懸停（可認(rèn)為是相對(duì)于月球靜止）；最后關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，探測器自由下落。已知探測器的質(zhì)量約為1.3×10 kg，地球質(zhì)量約為月球的81倍，地球半徑約為月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大約為9.8 m/s2，則此探測器（ ）。

A.在著陸前的瞬間，速度大小約為8.9 m/s

B.懸停時(shí)受到的反沖作用力約為2×10 N

C.從離開近月圓軌道到著陸這段時(shí)間內(nèi)，機(jī)械能守恒

D.在近月圓軌道上運(yùn)行的線速度小于人造衛(wèi)星在近地圓軌道上運(yùn)行的線速度

解析 設(shè)月球表面附近重力加速度為g′，在月球表面有G=mg′，

在地球表面附近有G=mg，

兩式相比并代入數(shù)據(jù)得g′=g=g，

著陸前的瞬間速度v==≈3.6 m/s，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

根據(jù)平衡條件得反沖力F=mg′≈2×10 N，所以選項(xiàng)B正確；

因?yàn)殡x開近月軌道時(shí)有一個(gè)懸停過程，相當(dāng)于“剎車”，推動(dòng)力做了負(fù)功，所以機(jī)械能不守恒，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

人造衛(wèi)星在近地圓軌道上運(yùn)行時(shí)有mg=，解得v=，

“嫦娥”三號(hào)在近月圓軌道運(yùn)行時(shí)有mg′=，解得v′==R，

所以v′

點(diǎn)評(píng) 本題先用“金三角”中的②式求出月球表面附近的重力加速度，然后再用兩個(gè)“金三角”中的③式求解。