塔機(jī)起升機(jī)構(gòu)試驗(yàn)臺(tái)結(jié)構(gòu)固有特性與動(dòng)態(tài)響應(yīng)計(jì)算

【摘 要】 本文基于有限單元法，對(duì)塔機(jī)起升機(jī)構(gòu)試驗(yàn)臺(tái)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了固有特性及動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析。方法為：通過建立結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)有限元計(jì)算模型，利用模態(tài)分析方法得到系統(tǒng)的前10階固有頻率和固有振型，再利用完全法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行諧響應(yīng)分析。并且，因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)中存在著突然起升工況，本文作了瞬態(tài)響應(yīng)分析。

【關(guān)鍵詞】 塔式起重機(jī) 起升機(jī)構(gòu)試驗(yàn)臺(tái) 固有特性及動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析

【DOI編碼】 10.3969/j.issn.1674-4977.2016.04.021

1 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)有限元計(jì)算模型

有限元法是解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析問題的最有效工具，動(dòng)力學(xué)問題的有限元法是把分析對(duì)象離散為有限個(gè)單元組合體。先進(jìn)行每個(gè)單元的特性分析，包括進(jìn)行單元?jiǎng)偠染仃嚒①|(zhì)量矩陣和阻尼矩陣的計(jì)算，再把各個(gè)單元的特性矩陣組集起來，組成總質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣，然后形成結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程，最后利用相關(guān)算法進(jìn)行求解。

將單元?jiǎng)偠染仃嚒①|(zhì)量矩陣和阻尼矩陣進(jìn)行組集，得到總體剛度矩陣K、總質(zhì)量矩陣M、總阻尼矩陣C。對(duì)于整個(gè)結(jié)構(gòu)，由達(dá)朗貝爾原理，得到：

[Mδ+Cδ+Kδ=F] （1-1）

該式就是有限元法求解動(dòng)力學(xué)問題的基本方程式。在求解之前，還要用靜力學(xué)方法進(jìn)行邊界條件處理。

2 固有頻率和固有振型求解

2.1 求解固有頻率和固有振型的方法

機(jī)械結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)方程為：[Mu（t）+Ku（t）=0] （1-2）

其通解為：[u=φsinω（t-t0）] （1-3）

其中，[φ]是n階向量，[ω]是振動(dòng)圓頻率，[t]是時(shí)間變量，[t0]是由初始條件確定的時(shí)間常數(shù)。

將公式（1-3）代入公式（1-2）得到如下廣義特征值問題：[K-ω2Mφ=0] （1-4）

上述方程成立的條件為：[det（K-ω2M）=0] （1-5）

求解以上方程可以得到n個(gè)特征解，即，[（ω12，φ1）]，[（ω22，φ2）]…，[（ωn2，φn）]，其中，特征值[ω1]，[ω2]，…，[ωn]代表系統(tǒng)的n個(gè)固有頻率。特征向量[φ1]，[φ2]，…，[φn]代表系統(tǒng)的n個(gè)固有頻率對(duì)應(yīng)的固有振型。

結(jié)構(gòu)振動(dòng)的固有頻率和固有振型求解是振動(dòng)模態(tài)分析的關(guān)鍵問題。求解固有頻率和固有振型的方法有振型截?cái)喾ā⒕仃嚹娴ā⒗锲澐āV義雅可比法等。實(shí)際的物體為連續(xù)體，對(duì)于連續(xù)體結(jié)構(gòu)，其特征值有無限多個(gè)。在有限元中，結(jié)構(gòu)被離散為小的單元，固有頻率的階次也是有限的，但是對(duì)于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，單元數(shù)目是數(shù)以萬計(jì)的，特征方程的階次也會(huì)很高，通常采用振型截?cái)喾ㄖ挥?jì)算結(jié)構(gòu)低階模態(tài)。

2.2 試驗(yàn)結(jié)構(gòu)固有特性分析

對(duì)試驗(yàn)結(jié)構(gòu)進(jìn)行固有特性分析，定義系統(tǒng)阻尼為比例阻尼，比例阻尼的計(jì)算采用下列公式：

[C=αM+βK] （1-6）

式中

[α=π（ωn2ζ1-ωn1ζ2）ωn1ωn215（ω2n2-ω2n1）] （1-7）

[β=π（ωn2ζ2-ωn1ζ1）ωn1ωn215（ω2n2-ω2n1）] （1-8）

其中，[ωn1]和[ωn2]分別為第一階和第二階臨界轉(zhuǎn)速（r/min），[ζ1]和[ζ2]分別為對(duì)應(yīng)的第一和第二階模態(tài)阻尼比。

表1 結(jié)構(gòu)的前10階固有頻率

通過分析可知，系統(tǒng)的前10階固有頻率中，有8階是塔身的彎曲振動(dòng)，說明系統(tǒng)的振動(dòng)主要來源于塔身結(jié)構(gòu)，為了降低振動(dòng)，必須加大塔身結(jié)構(gòu)的剛度，在施工過程中，可以通過安裝附著架的形式來對(duì)塔機(jī)的塔身進(jìn)行加固，即每一節(jié)塔身與相應(yīng)的建筑物連接來提高起重機(jī)剛度。

結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析分為結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)分析和結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)響應(yīng)分析。動(dòng)力學(xué)響應(yīng)問題求解過程為在一個(gè)隨時(shí)間變化力的作用下，求出作為時(shí)間函數(shù)的位移、速度和加速度。求解方法最常見的為直接積分法和振型疊加法。直接積分法是將時(shí)間的積分區(qū)間進(jìn)行里離散化，計(jì)算每一段時(shí)刻的位移數(shù)值。振型疊加法的計(jì)算效率要高于直接疊加法，但是振型疊加法適合有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)，不考慮初始的自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)的伴隨振動(dòng)問題。

3 諧響應(yīng)分析

諧響應(yīng)分析是用于確定線性結(jié)構(gòu)在承受一個(gè)或者多個(gè)隨時(shí)間按簡(jiǎn)諧規(guī)律變化的載荷時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的一種技術(shù)，分析過程中只計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)，不考慮激勵(lì)在初始時(shí)使系統(tǒng)產(chǎn)生的自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)的伴隨振動(dòng)。諧響應(yīng)分析可以得到結(jié)構(gòu)在不同頻率下的響應(yīng)曲線。諧響應(yīng)屬于線性分析，任何非線性特性都將被忽略，但在分析中可以包含非對(duì)稱系統(tǒng)矩陣。

ANSYS軟件中的諧響應(yīng)分析方法包括：完整法（FULL）、縮減法（REDUCED）和模態(tài)疊加法（MODE SUPERPOS’n）。完整法為缺省方法，采用完整的結(jié)構(gòu)矩陣，并且允許非對(duì)稱矩陣存在，允許定義各種類型的載荷，不可以添加預(yù)應(yīng)力；縮減法使用縮減矩陣，需要選擇主自由度，根據(jù)主自由度得到近似的質(zhì)量和剛度矩陣，允許施加單元載荷，可以添加預(yù)應(yīng)力；模態(tài)疊加法需要先進(jìn)行模態(tài)分析，然后使用模態(tài)疊加原理進(jìn)行求解，可以添加預(yù)應(yīng)力，不能添加非零位移。這三種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，對(duì)比如表2所示。

表2 諧響應(yīng)分析中三種方法對(duì)比

諧響應(yīng)分析可以預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的持續(xù)動(dòng)力特性，可以判斷系統(tǒng)在何種激勵(lì)頻率下會(huì)共振或失效，從而避免這種激勵(lì)的產(chǎn)生概率已達(dá)到減振降噪等有害效果。本文采用完全法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行諧響應(yīng)分析，加載求解的過程如下：

（1）定義求解類型。在ANSYS中求解類型選擇Harmonic，求解方法選擇Full方法。

（2）設(shè)置載荷子步。利用HARFRQ命令設(shè)定頻率范圍為0.01-10Hz，NSUBST命令設(shè)定時(shí)間步長(zhǎng)為200步，即每個(gè)0.05Hz采樣一次。KBC命令設(shè)定載荷步采樣類型為漸變類型。

（3）施加集中載荷。施加吊重載荷。

（4）添加α阻尼和β阻尼。采用ALPHAD和BETAD命令添加比例阻尼。

（5）求解并進(jìn)入后處理查看結(jié)果。

例如，吊重12.5噸時(shí)，有靜態(tài)分析得知，最大位移發(fā)生于臂架兩端，最大應(yīng)力發(fā)生在拉桿和臂架連接處。圖1和圖2，為某一載荷步下的位移云圖和應(yīng)力云圖。

圖1 某一激振頻率下結(jié)構(gòu)的位移云圖

圖2 某一激振頻率下結(jié)構(gòu)的應(yīng)力云圖

進(jìn)行諧響應(yīng)分析后，可以得到結(jié)構(gòu)每一位置處的應(yīng)力位移頻響曲線。圖3為受到最大應(yīng)力位置處的應(yīng)力頻響曲線，圖4為臂架兩端的位移頻響曲線。

圖3 載荷為12.5T時(shí)臂架和拉桿連接處應(yīng)力的頻響曲線圖

圖4 載荷為12.5T時(shí)的臂架兩端位移的頻響曲線圖

通過諧響應(yīng)分析可以發(fā)現(xiàn)激振頻率為6.1Hz時(shí)臂架兩端的位移響應(yīng)最大，系統(tǒng)相近的固有頻率為第7階固有頻率6.7Hz，固有振型為整體沿著軸向振動(dòng)，因?yàn)橄到y(tǒng)阻尼的存在，所以激振頻率略小。諧響應(yīng)分析特別適合于寬頻的激振例如風(fēng)載的分析。

再例如，圖5-8分別表示了載重為25T和共同起吊載重為30T的應(yīng)力和位移頻響曲線，均在6.1Hz左右響應(yīng)達(dá)到最大，但是由于阻尼的存在，得到的結(jié)果比靜態(tài)分析結(jié)果略小。

圖5 載荷為25T時(shí)最大應(yīng)力的頻響曲線

圖6 載荷為25T時(shí)的最大位移的頻響曲線

圖7 載荷為30T時(shí)最大應(yīng)力的頻響曲線

圖8 載荷為30T時(shí)的最大位移的頻響曲線

4 瞬態(tài)響應(yīng)分析

瞬態(tài)響應(yīng)分析是用于確定可以承受任意時(shí)間變化載荷時(shí)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的一種方法，可以分析穩(wěn)態(tài)載荷、瞬態(tài)載荷和簡(jiǎn)諧載荷的隨意組合作用下的結(jié)構(gòu)位移、應(yīng)變、應(yīng)力和力響應(yīng)等等。瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)和諧響應(yīng)分析不同，可以分析系統(tǒng)初始的非穩(wěn)態(tài)振動(dòng)過程，也可以考慮材料、接觸、幾何非線性等各種非線性行為。

瞬態(tài)計(jì)算方法與諧響應(yīng)一樣有三種，即完全法、縮減法及模態(tài)疊加法。不過瞬態(tài)響應(yīng)中載荷更為復(fù)雜，一般都是時(shí)間的函數(shù)，ANSYS中有線性漸變方式Ramped法和突變方式Stepped法兩種載荷變化方式。ANSYS中一般依據(jù)載荷變化方式將整個(gè)時(shí)間歷程劃分成多個(gè)載荷步（Loadstep），每個(gè)載荷步代表載荷發(fā)生一次突變或漸變階段，在每個(gè)載荷步內(nèi)還可以劃分多個(gè)子步（SubStep），經(jīng)過多個(gè)子步的求解實(shí)現(xiàn)一個(gè)載荷步的求解，通過多個(gè)載荷步的求解實(shí)現(xiàn)整個(gè)時(shí)間歷程響應(yīng)計(jì)算。

對(duì)于塔式起重機(jī)，貨物突然離地上升的動(dòng)載過程可以分為三個(gè)階段。

（1）起升機(jī)構(gòu)開動(dòng)并加速，松弛的鋼絲繩被拉直，但并沒有張緊，這時(shí)金屬結(jié)構(gòu)并未受載。

（2）起升機(jī)構(gòu)繼續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)，鋼絲繩張緊，張力逐漸增大，當(dāng)鋼絲繩的張力稍大于吊重時(shí)，貨物離地上升，第二階段結(jié)束。這時(shí)第二階段受力為鋼絲繩的張力，假定起升機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)速度保持不變，第二階段的動(dòng)力學(xué)模型為：

[Mδ+Cδ+Kδ=F（t）] [0≤t≤t1] （1-9）

[F（t）=（0，0，…，-kvt）T] （1-10）

初始條件為：

[X（0）=0]，[X（0）=0] （1-11）

（3）貨物離地上升后，系統(tǒng)在第二階段時(shí)的初始條件下做自由振動(dòng)。需要指出的是這時(shí)觀察貨物的坐標(biāo)系是相對(duì)的，即此坐標(biāo)以上升速度V上升。因此，在初始條件中，吊重有一個(gè)向下的初速度V。第三階段的動(dòng)力學(xué)模型為：

[Mδ+Cδ+Kδ=0] [t≥t1] （1-12）

初始條件為：

[X（t1）=（x1（t1），x2（t1），…，-V）T] （1-13）

[X（t1）=（x1（t1）-xs1，x2（t1）-xs2，…，xn（t1）-xsn）T] （1-14）

靜態(tài)分析中可以用集中力載荷來模擬吊重，但是動(dòng)態(tài)分析由于其復(fù)雜性，不能直接用集中力來表示，由于吊重是靠鋼絲繩與起升機(jī)構(gòu)相連，因此，在ANSYS中使用彈簧阻尼單元（COMBIN14單元）來模擬吊重，用集中質(zhì)量單元（MASS21單元）來模擬吊重，如圖9所示為軟件中建立的鋼絲繩和吊重。

由于第二階段中吊重不存在，而第三階段才起作用，在ANSYS中可以用生死單元來解決此類問題。對(duì)應(yīng)的命令為EKILL/EALIVE，在第二階段中模擬吊重的單元將被“殺死”；在第三階段模擬吊重將被重新激活，由于這兩個(gè)命令均不能寫入載荷步，因此需要用循環(huán)編程的方式來定義。需要指出的是，在“殺死”或者激活生死單元之前，需要定義瞬態(tài)求解算法為完全牛頓-拉普森選項(xiàng)。

在進(jìn)行瞬態(tài)分析時(shí)，需要對(duì)下列選項(xiàng)進(jìn)行設(shè)置：

（1）定義求解類型。采用完全瞬態(tài)分析方法。

（2）定義求解參數(shù)。DELTIM命令可以定義時(shí)間步長(zhǎng)大小；KBC命令定義載荷步施加方式是階躍還是遞增；OLGEOM定義是否考慮大變形效應(yīng)；OUTRES定義寫入文件的數(shù)據(jù)類型。

（3）定義初始條件并施加載荷。IC命令可以定義節(jié)點(diǎn)初始位移和速度；EKILL/EALIVE定義生死單元；F命令施加載荷。

（4）求解及后處理。瞬態(tài)響應(yīng)可以得到系統(tǒng)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移與應(yīng)力隨時(shí)間的變化曲線。

統(tǒng)阻尼的存在，運(yùn)行時(shí)間在10s后開始穩(wěn)定，平均值為2cm。這可以看出，復(fù)雜結(jié)構(gòu)如果只是用動(dòng)態(tài)載荷系數(shù)法來進(jìn)行設(shè)計(jì)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，必須進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性的相關(guān)試驗(yàn)。圖11為最大應(yīng)力位置（臂架與拉桿連接處）的應(yīng)力響應(yīng)圖。

當(dāng)?shù)踔剌d荷為25T時(shí)，得到的臂架末端的位移響應(yīng)曲線和最大應(yīng)力位置的應(yīng)力響應(yīng)曲線，如圖12和13所示。

當(dāng)兩個(gè)吊點(diǎn)同時(shí)起吊30T重物時(shí)，得到的臂架末端的位移響應(yīng)曲線和最大應(yīng)力位置的應(yīng)力響應(yīng)曲線，如圖14和15所示。

5 結(jié)論

首先，在系統(tǒng)的前10階模態(tài)振型中，有8階是塔身的彎曲振動(dòng)，說明塔身的剛度需要加強(qiáng)。

其次，諧響應(yīng)分析適合風(fēng)載或其他激勵(lì)是寬頻的情況，通過諧響應(yīng)得到了系統(tǒng)在三種工況下的最大應(yīng)力和最大位移的頻響曲線，激振頻率是6.1Hz左右時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)達(dá)到最大，最大位移發(fā)生在臂架末端處，值為32mm；最大應(yīng)力發(fā)生在臂架和拉桿連接處，值為136MPa，均未超過許用值，激振頻率處發(fā)生的形變和與之接近的固有頻率處的固有振型相吻合。

最后，瞬態(tài)響應(yīng)分析了吊重突然起升時(shí)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問題，由于阻尼的存在結(jié)構(gòu)在經(jīng)過一段時(shí)間的振蕩后趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定后的值與靜態(tài)分析得到的結(jié)果相差無幾。但是瞬態(tài)過程中最大結(jié)果為穩(wěn)定結(jié)果的數(shù)倍，這說明，對(duì)于臂架類的起重機(jī)需要進(jìn)行瞬態(tài)響應(yīng)分析。