塔機起升機構試驗臺結構固有特性與動態響應計算

【摘 要】 本文基于有限單元法，對塔機起升機構試驗臺結構進行了固有特性及動態響應分析。方法為：通過建立結構的動力學有限元計算模型，利用模態分析方法得到系統的前10階固有頻率和固有振型，再利用完全法對結構進行諧響應分析。并且，因為現實中存在著突然起升工況，本文作了瞬態響應分析。

【關鍵詞】 塔式起重機 起升機構試驗臺 固有特性及動態響應分析

【DOI編碼】 10.3969/j.issn.1674-4977.2016.04.021

1 結構動力學有限元計算模型

有限元法是解決復雜結構的動力學分析問題的最有效工具，動力學問題的有限元法是把分析對象離散為有限個單元組合體。先進行每個單元的特性分析，包括進行單元剛度矩陣、質量矩陣和阻尼矩陣的計算，再把各個單元的特性矩陣組集起來，組成總質量、剛度、阻尼矩陣，然后形成結構動力學方程，最后利用相關算法進行求解。

將單元剛度矩陣、質量矩陣和阻尼矩陣進行組集，得到總體剛度矩陣K、總質量矩陣M、總阻尼矩陣C。對于整個結構，由達朗貝爾原理，得到：

[Mδ+Cδ+Kδ=F] （1-1）

該式就是有限元法求解動力學問題的基本方程式。在求解之前，還要用靜力學方法進行邊界條件處理。

2 固有頻率和固有振型求解

2.1 求解固有頻率和固有振型的方法

機械結構的自由振動方程為：[Mu（t）+Ku（t）=0] （1-2）

其通解為：[u=φsinω（t-t0）] （1-3）

其中，[φ]是n階向量，[ω]是振動圓頻率，[t]是時間變量，[t0]是由初始條件確定的時間常數。

將公式（1-3）代入公式（1-2）得到如下廣義特征值問題：[K-ω2Mφ=0] （1-4）

上述方程成立的條件為：[det（K-ω2M）=0] （1-5）

求解以上方程可以得到n個特征解，即，[（ω12，φ1）]，[（ω22，φ2）]…，[（ωn2，φn）]，其中，特征值[ω1]，[ω2]，…，[ωn]代表系統的n個固有頻率。特征向量[φ1]，[φ2]，…，[φn]代表系統的n個固有頻率對應的固有振型。

結構振動的固有頻率和固有振型求解是振動模態分析的關鍵問題。求解固有頻率和固有振型的方法有振型截斷法、矩陣逆迭代法、里茲法、廣義雅可比法等。實際的物體為連續體，對于連續體結構，其特征值有無限多個。在有限元中，結構被離散為小的單元，固有頻率的階次也是有限的，但是對于大型復雜結構，單元數目是數以萬計的，特征方程的階次也會很高，通常采用振型截斷法只計算結構低階模態。

2.2 試驗結構固有特性分析

對試驗結構進行固有特性分析，定義系統阻尼為比例阻尼，比例阻尼的計算采用下列公式：

[C=αM+βK] （1-6）

式中

[α=π（ωn2ζ1-ωn1ζ2）ωn1ωn215（ω2n2-ω2n1）] （1-7）

[β=π（ωn2ζ2-ωn1ζ1）ωn1ωn215（ω2n2-ω2n1）] （1-8）

其中，[ωn1]和[ωn2]分別為第一階和第二階臨界轉速（r/min），[ζ1]和[ζ2]分別為對應的第一和第二階模態阻尼比。

表1 結構的前10階固有頻率

通過分析可知，系統的前10階固有頻率中，有8階是塔身的彎曲振動，說明系統的振動主要來源于塔身結構，為了降低振動，必須加大塔身結構的剛度，在施工過程中，可以通過安裝附著架的形式來對塔機的塔身進行加固，即每一節塔身與相應的建筑物連接來提高起重機剛度。

結構動力分析分為結構的瞬態響應分析和結構的基礎響應分析。動力學響應問題求解過程為在一個隨時間變化力的作用下，求出作為時間函數的位移、速度和加速度。求解方法最常見的為直接積分法和振型疊加法。直接積分法是將時間的積分區間進行里離散化，計算每一段時刻的位移數值。振型疊加法的計算效率要高于直接疊加法，但是振型疊加法適合有阻尼的強迫振動，不考慮初始的自由振動和強迫振動的伴隨振動問題。

3 諧響應分析

諧響應分析是用于確定線性結構在承受一個或者多個隨時間按簡諧規律變化的載荷時的穩態響應的一種技術，分析過程中只計算結構的穩態受迫振動，不考慮激勵在初始時使系統產生的自由振動和強迫振動的伴隨振動。諧響應分析可以得到結構在不同頻率下的響應曲線。諧響應屬于線性分析，任何非線性特性都將被忽略，但在分析中可以包含非對稱系統矩陣。

ANSYS軟件中的諧響應分析方法包括：完整法（FULL）、縮減法（REDUCED）和模態疊加法（MODE SUPERPOS’n）。完整法為缺省方法，采用完整的結構矩陣，并且允許非對稱矩陣存在，允許定義各種類型的載荷，不可以添加預應力；縮減法使用縮減矩陣，需要選擇主自由度，根據主自由度得到近似的質量和剛度矩陣，允許施加單元載荷，可以添加預應力；模態疊加法需要先進行模態分析，然后使用模態疊加原理進行求解，可以添加預應力，不能添加非零位移。這三種方法各有優缺點，對比如表2所示。

表2 諧響應分析中三種方法對比

諧響應分析可以預測結構的持續動力特性，可以判斷系統在何種激勵頻率下會共振或失效，從而避免這種激勵的產生概率已達到減振降噪等有害效果。本文采用完全法對結構進行諧響應分析，加載求解的過程如下：

（1）定義求解類型。在ANSYS中求解類型選擇Harmonic，求解方法選擇Full方法。

（2）設置載荷子步。利用HARFRQ命令設定頻率范圍為0.01-10Hz，NSUBST命令設定時間步長為200步，即每個0.05Hz采樣一次。KBC命令設定載荷步采樣類型為漸變類型。

（3）施加集中載荷。施加吊重載荷。

（4）添加α阻尼和β阻尼。采用ALPHAD和BETAD命令添加比例阻尼。

（5）求解并進入后處理查看結果。

例如，吊重12.5噸時，有靜態分析得知，最大位移發生于臂架兩端，最大應力發生在拉桿和臂架連接處。圖1和圖2，為某一載荷步下的位移云圖和應力云圖。

圖1 某一激振頻率下結構的位移云圖

圖2 某一激振頻率下結構的應力云圖

進行諧響應分析后，可以得到結構每一位置處的應力位移頻響曲線。圖3為受到最大應力位置處的應力頻響曲線，圖4為臂架兩端的位移頻響曲線。

圖3 載荷為12.5T時臂架和拉桿連接處應力的頻響曲線圖

圖4 載荷為12.5T時的臂架兩端位移的頻響曲線圖

通過諧響應分析可以發現激振頻率為6.1Hz時臂架兩端的位移響應最大，系統相近的固有頻率為第7階固有頻率6.7Hz，固有振型為整體沿著軸向振動，因為系統阻尼的存在，所以激振頻率略小。諧響應分析特別適合于寬頻的激振例如風載的分析。

再例如，圖5-8分別表示了載重為25T和共同起吊載重為30T的應力和位移頻響曲線，均在6.1Hz左右響應達到最大，但是由于阻尼的存在，得到的結果比靜態分析結果略小。

圖5 載荷為25T時最大應力的頻響曲線

圖6 載荷為25T時的最大位移的頻響曲線

圖7 載荷為30T時最大應力的頻響曲線

圖8 載荷為30T時的最大位移的頻響曲線

4 瞬態響應分析

瞬態響應分析是用于確定可以承受任意時間變化載荷時結構響應的一種方法，可以分析穩態載荷、瞬態載荷和簡諧載荷的隨意組合作用下的結構位移、應變、應力和力響應等等。瞬態動力學和諧響應分析不同，可以分析系統初始的非穩態振動過程，也可以考慮材料、接觸、幾何非線性等各種非線性行為。

瞬態計算方法與諧響應一樣有三種，即完全法、縮減法及模態疊加法。不過瞬態響應中載荷更為復雜，一般都是時間的函數，ANSYS中有線性漸變方式Ramped法和突變方式Stepped法兩種載荷變化方式。ANSYS中一般依據載荷變化方式將整個時間歷程劃分成多個載荷步（Loadstep），每個載荷步代表載荷發生一次突變或漸變階段，在每個載荷步內還可以劃分多個子步（SubStep），經過多個子步的求解實現一個載荷步的求解，通過多個載荷步的求解實現整個時間歷程響應計算。

對于塔式起重機，貨物突然離地上升的動載過程可以分為三個階段。

（1）起升機構開動并加速，松弛的鋼絲繩被拉直，但并沒有張緊，這時金屬結構并未受載。

（2）起升機構繼續運轉，鋼絲繩張緊，張力逐漸增大，當鋼絲繩的張力稍大于吊重時，貨物離地上升，第二階段結束。這時第二階段受力為鋼絲繩的張力，假定起升機構的運動速度保持不變，第二階段的動力學模型為：

[Mδ+Cδ+Kδ=F（t）] [0≤t≤t1] （1-9）

[F（t）=（0，0，…，-kvt）T] （1-10）

初始條件為：

[X（0）=0]，[X（0）=0] （1-11）

（3）貨物離地上升后，系統在第二階段時的初始條件下做自由振動。需要指出的是這時觀察貨物的坐標系是相對的，即此坐標以上升速度V上升。因此，在初始條件中，吊重有一個向下的初速度V。第三階段的動力學模型為：

[Mδ+Cδ+Kδ=0] [t≥t1] （1-12）

初始條件為：

[X（t1）=（x1（t1），x2（t1），…，-V）T] （1-13）

[X（t1）=（x1（t1）-xs1，x2（t1）-xs2，…，xn（t1）-xsn）T] （1-14）

靜態分析中可以用集中力載荷來模擬吊重，但是動態分析由于其復雜性，不能直接用集中力來表示，由于吊重是靠鋼絲繩與起升機構相連，因此，在ANSYS中使用彈簧阻尼單元（COMBIN14單元）來模擬吊重，用集中質量單元（MASS21單元）來模擬吊重，如圖9所示為軟件中建立的鋼絲繩和吊重。

由于第二階段中吊重不存在，而第三階段才起作用，在ANSYS中可以用生死單元來解決此類問題。對應的命令為EKILL/EALIVE，在第二階段中模擬吊重的單元將被“殺死”；在第三階段模擬吊重將被重新激活，由于這兩個命令均不能寫入載荷步，因此需要用循環編程的方式來定義。需要指出的是，在“殺死”或者激活生死單元之前，需要定義瞬態求解算法為完全牛頓-拉普森選項。

在進行瞬態分析時，需要對下列選項進行設置：

（1）定義求解類型。采用完全瞬態分析方法。

（2）定義求解參數。DELTIM命令可以定義時間步長大小；KBC命令定義載荷步施加方式是階躍還是遞增；OLGEOM定義是否考慮大變形效應；OUTRES定義寫入文件的數據類型。

（3）定義初始條件并施加載荷。IC命令可以定義節點初始位移和速度；EKILL/EALIVE定義生死單元；F命令施加載荷。

（4）求解及后處理。瞬態響應可以得到系統的每個節點的位移與應力隨時間的變化曲線。

統阻尼的存在，運行時間在10s后開始穩定，平均值為2cm。這可以看出，復雜結構如果只是用動態載荷系數法來進行設計是遠遠不夠的，必須進行動態特性的相關試驗。圖11為最大應力位置（臂架與拉桿連接處）的應力響應圖。

當吊重載荷為25T時，得到的臂架末端的位移響應曲線和最大應力位置的應力響應曲線，如圖12和13所示。

當兩個吊點同時起吊30T重物時，得到的臂架末端的位移響應曲線和最大應力位置的應力響應曲線，如圖14和15所示。

5 結論

首先，在系統的前10階模態振型中，有8階是塔身的彎曲振動，說明塔身的剛度需要加強。

其次，諧響應分析適合風載或其他激勵是寬頻的情況，通過諧響應得到了系統在三種工況下的最大應力和最大位移的頻響曲線，激振頻率是6.1Hz左右時，系統振動達到最大，最大位移發生在臂架末端處，值為32mm；最大應力發生在臂架和拉桿連接處，值為136MPa，均未超過許用值，激振頻率處發生的形變和與之接近的固有頻率處的固有振型相吻合。

最后，瞬態響應分析了吊重突然起升時結構的動態響應問題，由于阻尼的存在結構在經過一段時間的振蕩后趨于穩定，穩定后的值與靜態分析得到的結果相差無幾。但是瞬態過程中最大結果為穩定結果的數倍，這說明，對于臂架類的起重機需要進行瞬態響應分析。