淺談基本不等式與最大（小）值

一、教學內容分析

本節課是《普通高中課程標準實驗教科書·數學（5）必修》（北京師范大學出版社）第三章第三節（3.2）《基本不等式與最大（小）值》。根據教學大綱和我所任教的學生的實際情況，我將《基本不等式與最大（小）值》劃分為兩節課（基本不等式求最大（小）值，基本不等式求最大（小）值的實際應用），這是第一節課“基本不等式與最大（小）值”。利用基本不等式求函數或代數式的最值是常見的數學命題，是進一步對基本不等式的運用，同時也加深對函數的值域方法求解的拓展，而且在高考和實際生活中有著廣泛的應用，所以重點研究。

二、學生學習情況分析

基本不等式與最大（小）值是在學生系統學習了基本不等式，基本掌握了基本不等式的基礎上進行研究的，是學生對基本不等式的第一次應用。教材在之前的學習中給出了兩個實際例子（定長的鐵絲制作矩形面積最大和定面積的矩形求最小的周長），已經讓學生感受到基本不等式的實際背景，這兩個例子在實際生活中是很常見的最優問題。

三、教學目標

根據任教班級學生的實際情況，本節課我確定的教學目標是：

掌握用基本不等式求函數（代數式）最值的方法，會靈活地創造基本不等式條件求最值

通過創設基本不等式條件的過程，讓學生加深理解，體驗創造的樂趣，激發積極探索精神。

四、教學重點與難點

教學重點：基本不等式與最大（小）值。

教學難點：如何變形，拼湊定值、靈活應用，創設條件求函數（代數式）的最值;多次使用不等式等號要同時成立、不能使用基本不等式要轉移到利用單調性求函數值域。

五、教學過程

（一）創設情景，復習導入，提出問題（約3分鐘）

1.利用函數單調性求函數的最值

①y=x（2-x），（0lt;xlt;2）;

②

師：求函數值域的一般方法是什么？以上兩題求法是否一樣呢？

生：第一小題直接利用一元二次函數性質在某區間上求值域;第二小題利用函數的單調性求值域，這樣就可以把函數的最值求出來了。

另生：兩題可以統一到都用函數單調性求最值

引導學生回憶和拓展

【學情預設：學生可能說零散的性質，一部分同學可能淡忘了關于對號函數的性質】

師：對于對號型函數的性質，是否還能回憶起來如：，特別是單調性分界點的把握即

【設計意圖：復習回憶對號函數，對于后面利用命題求函數的值域具有很好的指導性作用;而且為當使用兩個命題失效時具有很好的啟發作用。數形結合思想，讓學生直觀掌握性質，激發學生學習新知的興趣和欲望。】

（二）導入新課（約3分鐘）

不等式 ≥（agt;0，bgt;0）是解決最大（小）值問題的有力工具.

引例：你可以把一段16cm長的細鐵絲彎成形狀不同的矩形，如邊長為4cm的正方形;長5cm寬3cm的矩形;長6cm寬2cm的矩形……，你會發現邊長為4cm的那個正方形的面積最大.

在面積為16cm2的所有不同形狀的矩形中，邊長為4cm的那個正方形的周長最小.

【學情預設：學生經過預習，回答總結這個問題不難，需要注意的是如何把語言文字轉化為數學符號，同時也有利于兩個命題的引出和識記】

這表明，x，y都為正數時，下面的命題成立：

（1）若x+y=s（和為定值），則當x=y時，積xy取得最大值;

（2）若xy=p（積為定值），則當x=y時，和x+y取得最小值2.

師：使用以上兩個命題，需要注意哪些方面

生：結合課本P91右邊藍色區域說明，得到一正，二定，三相等即：“正”很容易理解，“定值”就是“和定乘積有最大值，積定和就最小值”，“相等”就是使得等號成立求的最值時，變量是否存在。

師：剛才這個小組總結的很好，很全面。還要強調的是對于命題中x，y字母使用時候可以是單項式，也可以是多項式。

【設計意圖：讓學生從整個思維上有個先覺認識，熟悉命題使用條件，特別是如何更好地創造定值條件，去求最值，擴大使用范圍。】

（三）推進新課

通過例題及練習加深對命題的理解、掌握。

1.命題（1）（約6分鐘）

【學情預設：學生盡管理解了兩個命題但是在使用的時候仍然是難以很好很順利的求解，必須通過例題練習加以掌握】

例1 設x，y為正實數，且2x+5y=20，求u=lgx+lgy的最大值.

引導：很明顯是使用命題（1），注意命題中字母是單項式，而且所求轉化為u=lgx+lgy=lg（xy）。由2x+5y=20定值易得10xy的最大值，那易得xy的最大值了。

解：因為xgt;y，ygt;0，得20=2x+5y≥ .

即xy≤10.當且僅當2x=5y時，等號成立，因此有解得x=5，y=2.當x=5，y=2時，xy有最大值10.u=lgx+lgy=lgxy≤lg10=1.所以，當x=5，y=2時，u=lgx+lgy有最大值1.

【設計意圖：熟悉使用命題（1）解決最大值問題，板書規范解題步驟，規范解題】

（四）歸納小結（小組總結，教師點撥）（約5-10分鐘）

分組討論本節課主要知識內容，方法，分別找一組總結內容、一組總結解題方法、一組解題特別需要強調的，注意一組討論回答，其他組給予補充，小組量化加分提高積極性。

1.內容：基本上是和定求乘積最大，積定求和最小;一正，二定，三相等。

2.方法：數形結合，轉化化歸，類比，拼湊思想化為定值運用兩個命題。

3.特別強調：命題失效時轉而利用函數單調性判斷;多次使用不等式時候要同時成立。

（五）布置作業（約2分鐘）

P92練習1

P94習題3-3A組第1、2、3題

課堂作業

若0lt;xlt;2，求函數y=的最大值，并求相應的x值.試問0lt;xlt; 時

原函數有沒有最大值？0lt;x≤1時，有沒有最大值？若有，請你求出來;若沒有，請你說明理由.

求的最小值;③求的最大值。

六、教學反思

1.本節課的教學重點是利用基本不等式的兩個命題求解函數最值題，其中所給函數表達式進行合理變形及正確利用基本不等式的三要素是解題的關鍵，同時教案正是圍繞以上重點和關鍵來組織實施教學的，準確體現了課標要求重要的是讓學生體會到對最值的研究方法，以便能將其遷移到其他函數的研究中去，教師可以真正做到“授之以漁”而非“授之以魚”。

2.在教學過程中不斷向學生滲透數學思想方法，讓學生在活動中感受數學思想方法之美、體會數學思想方法之重要，部分學生還能自覺得運用這些數學思想方法去分析、思考問題。