采用協方差矩陣稀疏表示的DOA估計方法

趙永紅,張林讓,劉 楠,解 虎

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室,陜西西安 710071)

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采用協方差矩陣稀疏表示的DOA估計方法

趙永紅,張林讓,劉 楠,解 虎

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室,陜西西安 710071)

摘要:針對L1-SRACV算法在低快拍時波達方向估計性能嚴重下降的問題,分析其原因并提出一種基于快速極大似然算法的波達方向估計新方法.首先利用快速極大似然算法估計協方差矩陣,以解決由于快拍數較低引起協方差矩陣小特征值不穩定的問題.然后建立了基于快速極大似然算法的稀疏模型進行波達方向估計.最后,為了進一步提高算法在快拍數較小時的性能,選擇剔除協方差矩陣的對角元素,并對建立的波達方向估計模型進行了修改.仿真結果表明,所提算法相對于L1-SRACV算法具有高的估計精度和檢測概率,尤其是在快拍數較小時仍能獲得高的估計精度.

關鍵詞:稀疏表示;波達方向估計;高分辨;協方差矩陣;相關信號;快速極大似然算法

波達方向(Directional of Arrival,DOA)估計是陣列信號處理的熱點問題.傳統方法包括普通波束形成、Capon方法[1]、子空間類方法[2-3]和最大似然方法.子空間類方法能實現超分辨,但只適用于非相干信號,對相干信號而言,必須先進行去相關處理,而最大似然方法可以處理相干信號,但算法的性能易受參數初始化準確度的影響,而且計算復雜度比較高.

近年來,學者們將稀疏重構的思想應用到DOA估計中,提出了大量基于稀疏表示的DOA估計方法[4-6],相對于傳統的DOA估計方法,這些方法具有更高的估計精度和角度分辨能力.文獻[4]將稀疏重構的思想應用于加權子空間擬合(Weighted Subspace Fitting,WSF)問題,使WSF問題的求解不再依賴于初始值的選取.文獻[5]提出了JLZA算法,采用混合l2,0范數進行DOA估計,以解決l1范數約束會導致在目標角度間隔較近時產生的估計偏差.文獻[6]提出了SPICE方法,該方法基于協方差匹配技術,通過協方差矩陣的稀疏迭代進行DOA估計,具有很高的估計精度.文獻[7]提出了一種加權迭代最小范數(FOCUSS)方法,并將其應用在DOA估計中,但該方法僅適用于單次快拍,之后經過學者們的改進,文獻[8]提出了多快拍FOCUSS算法.文獻[9]提出了一種新的基于協方差矩陣稀疏表示的聯合波達方向估計方法,該方法僅利用協方差矩陣的部分信息進行DOA估計方法,并且不需要已知噪聲功率.

多快拍的聯合估計可以有效提高算法的抗噪性能和估計精度,現有的多快拍聯合估計方法,包括基于直接數據域的多快拍聯合估計和基于協方差矩陣的聯合估計.文獻[10]提出了基于稀疏信號重構的稀疏陣列的DOA估計方法,該方法有很高的估計精度,且計算量較小,但是該方法不能直接處理相關信號.文獻[11]針對多快拍提出了L1-SVD方法,該方法直接作用于多快拍獲得的數據,通過奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD)方法降低算法的計算量,并將其成功應用于窄帶信號和寬帶信號的DOA估計中,但該方法在低信噪比時性能急劇下降.文獻[12]基于奇異值分解,提出了多幀聯合欠定系統正則化聚焦求解算法(SVD-RMFOCUSS),并將其成功應用于DOA估計,該方法能準確估計出目標的方位,且計算量小,但需要確定正則化參數,當正則化參數選擇不準確時,算法可能會失效.文獻[13]提出了基于協方差矩陣稀疏表示的DOA估計方法(L1-SRACV),該方法可以處理相關信號,并且不需要確定正則化參數,但該算法的性能在快拍數較小時嚴重下降.

針對現有的基于協方差矩陣稀疏表示DOA估計方法在快拍數較小時性能嚴重下降的問題,基于快速極大似然(Fast Maximum Likelihood,FML)[14]算法,提出一種改進的基于協方差矩陣稀疏表示的DOA估計方法.該方法通過FML穩定協方差矩陣的小特征值,使算法的穩健性得到提升,并且做了進一步處理,削弱了噪聲的影響,從而使算法能夠獲得更高的角度分辨能力和估計精度,尤其是在快拍數較小時也能獲得很高的估計精度.

1 信號模型

其中,s(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T,表示陣列接收的目標信號矢量,(·)T表示轉置運算;n(t)是陣列接收的噪聲矢量,服從零均值的復高斯分布,噪聲功率為σ2;A(θ)表示陣列流形矩陣,A(θ)= [ a(θ1),a(θ2),…,a(θK) ],a(θk)= [ 1,exp(-j2πf d21sinθkc),…,exp(-j2πfdM1sinθkc) ]T,為第k個信號的導向矢量,f是信號的載

以線陣為例,假設該陣列由M個陣元構成,以第1個陣元為參考陣元,其他陣元與參考陣元的間距依次為d21,d31,…,dM1,空間遠場存在K個窄帶信號,其入射方向θ=[θ1,θ2,…,θK],則陣列的接收信號可以表示為波頻率,c表示電磁波的傳播速度.假設信號與噪聲是不相關的,則陣列接收數據的協方差矩陣為

其中,E(·)和(·)H分別表示取期望運算和共軛轉置運算,IM表示M×M的單位陣,Rs=E [ s(t)sH(t)],是信號協方差矩陣.

其中,(·)*表示復共軛運算,xm(t)表示第m個陣元在t時刻的接收數據,gm是Q×1維的系數向量,在超完備基矩陣()下是稀疏的,當且僅當=θk時,對應位置的值非零,其余位置為0,em是M×1的列向量,除了第m個元素為1外,其它值都為0.將rm,m=1,2,…,M寫成矩陣的形式R=[r1,r2,…,rM],便可得到

2 基于協方差矩陣稀疏重構的殘差約束模型

2.1 協方差矩陣的殘差約束模型

度量一個向量稀疏性的最直接的標準就是計算向量中非零元素的個數,即l0范數,但是基于l0范數約束的優化問題是一個NP-hard問題,最常用的方式是用l1范數代替l0范數,這樣使得問題轉化為一個凸優化問題,并且可以得到全局最優點.那么基于式(4)的DOA估計問題可以轉化成如下的約束問題:

其中,vec(·)表示矩陣的向量化,As N(μ,C)表示近似服從均值為μ,協方差矩陣為C的多維正態分布,?表示克羅內克(Kronecker)積.用代替R,將會導致式(5)的等式約束不再成立,因而稀疏解向量[g1,g2,…,gQ]T的求解轉換成如下的殘差約束模型[13]:

其中,Asχ2(M2)表示近似服從自由度為M2的χ2分布,η的確定是由式(7)以高概率成立為前提的.

2.2 分析協方差矩陣小特征值對殘差約束模型的影響

顯然,(U*?U)(U*?U)H=I,(UT?UH)(UT?UH)H=I,可知(U*?U)和(UT?UH)都是酉矩陣,又(UT?UH)=(U*?U)H,可以將式(9)寫成

根據矩陣特征分解的惟一性,可知(U*?U)和(Λ?Λ)分別是矩陣^W的特征矩陣和對角矩陣,因此可以看出,矩陣^W的特征值由協方差矩陣估計值^R的特征值克羅內克積決定,將其代入式(8),可得

根據酉矩陣的性質可知

3 采用協方差矩陣稀疏表示的DOA估計方法

3.1 快速極大似然算法

假定協方差矩陣R可以分解成如下形式:

其中,R0是一個半正定Hermitian矩陣,IM是M階單位陣,σ2是噪聲功率.則協方差矩陣R可以通過快速極大似然來估計[14],其表達式為

其中,Λ=diag(λ1,λ2,…,λ^K,^σ2,^σ2,…,^σ2),是一個M×M的對角矩陣是特征值大于的個數是噪聲功率,通常是已知的或者通過足夠長的時間快拍估計得到,λ1,λ2,…,λ^K是采樣協方差矩陣的大特征值,Φ= [Φ1,Φ2,…,ΦM],Φ1,Φ2,…,ΦM是采樣協方差矩陣的單位特征向量.通過式(14),可以看出FML算法的特點是將協方差矩陣小特征值固定在噪聲功率處,從而避免了由于快拍數有限而導致小特征值的不穩定.

3.2 采用協方差矩陣的DOA估計方法

其中,J1=[e2,e3,…,eM]T,Ji=[e1,…,ei-1,ei+1,…,eM]T,i=2,3,…,M-1,JM=[e1,e2,…,eM-1]T,則可以將用于DOA估計的式(15)轉化為

通過分析可知,文中算法在推導的過程中并未涉及協方差矩陣R秩的問題,也沒有假設信號是不相關的,因此,該算法不但可以處理非相關信號,而且也適用于具有任意相關性的信號,并且不需要任何去相關處理.另外,文中采用FM L方法估計協方差矩陣R,從而達到穩定協方差矩陣R小特征值的目的,同時選擇剔除協方差矩陣中含有噪聲的元素,提高算法的穩健性,并且使算法在快拍數較小時仍能得到高的估計精度.因此理論上,相對于L1-SRACV算法,文中算法能獲得更高的角度分辨能力和估計精度,并且能適用于快拍數較小的情況.

4 仿真實驗

為了驗證文中算法的性能,采用仿真數據進行分析.實驗中,采用九陣元的均勻線陣,陣元間距為半波長,初始角度的劃分為將空間域范圍-90°～90°,以1°為間隔,劃分為181份.

實驗1 假設空間遠場存在兩個目標,來波方向為[2°,11°],陣列的每個通道噪聲均為零均值的復高斯白噪聲,且各個通道的噪聲互不相關,信噪比為-6 dB,同時假定信號和噪聲是不相關的,平穩快拍數L=300.圖1和圖2分別給出了信號在不相關和相干(衰落系數0.8+0.9j)情況下得到的稀疏空域譜,通過對比可以看出,信號的相干性幾乎對文中算法的DOA估計不產生影響,因而通過實驗證明了文中算法同樣適用于相干信號,并且不需要任何額外的去相關處理.

圖1 空域譜(不相干信號)

圖2 空域譜(相干信號)

圖3給出了兩個不同信號在來波方向為[2°,11°]時的檢測概率,快拍數L=300,圖中每個點均由200次蒙特卡洛實驗給出估計結果.在每次實驗中,若估計所得角度與真實角度相差的絕對值之和小于2°,則定義該次實驗為一次正確檢測;否則,認為檢測失敗.可以看出,采用文中建立的DOA估計模型,算法的檢測概率得到明顯的改善,尤其是在信噪比較低時,所提算法的檢測概率相對于L1-SRACV有較大的提升,且優于L1-SVD算法.?

圖3 檢測概率隨信噪比的變化曲線

圖4 檢測概率隨角度差的變化曲線

實驗2 考察文中算法在不同角度間隔下的檢測概率,以此來評估所提算法的角度分辨能力.圖4給出了幾種算法在不同角度間隔下的檢測概率,信噪比為-6 dB,蒙特卡洛次數為200,實驗中假設一個信號固定在θ1=2°,另一個信號的角度θ2=θ1+Δθ,其中角度間隔Δθ=2°～28°,步長為2°.可以看出,通過FML算法穩定協方差矩陣小特征值后,算法的角度分辨能力確實得到提升,如圖4所示,在角度間隔較小時,文中算法的角度分辨能力明顯優于L1-SRACV方法和L1-SVD方法的.

實驗3 在實驗中,主要驗證文中算法在DOA估計精度方面的性能,其衡量標準采用均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE),定義為

其中,H為均方根誤差的平均次數,小于等于蒙特卡洛次數,K表示目標個數,^θk,h為第h次有效實驗對第k個目標的估計角度,θk為第k個目標的真實角度.假設空間遠場兩窄帶信號的來波方向分別為[-16.67°,42.83°],采用文獻[10]所提的網格逐步精細化方法來降低角度劃分柵格對測角精度的影響,迭代次數為2,精細化比例為1/3.圖5給出了DOA估計的RMSE隨信噪比的變化情況,其中信噪比為-10～10 dB,步長為2 dB,快拍數為300,蒙特卡洛次數為100.可以看出,相對于L1-SRACV方法,文中算法明顯地提升了低信噪比情況下的估計精度.在高信噪比情況下,文中算法的估計精度與L1-SRACV方法的估計精度相接近,且都優于L1-SVD的.圖6展示了DOA估計的RMSE隨快拍數的變化情況,其中快拍數為50～200,信噪比為10 dB,蒙特卡洛次數為100.可以看出,在快拍數較多時,文中算法和L1-SRACV方法的估計精度都很高,但當快拍數較小時,L1-SRACV方法的估計精度嚴重下降,而文中算法仍然可以得到很高的估計精度.

圖5 RMSE隨信噪比的變化曲線

圖6 RMSE隨快拍數的變化曲線

5 結束語

在L1-SRACV算法的基礎上,提出了一種改進的DOA估計方法.采用快速極大似然算法估計協方差矩陣,穩定了協方差矩陣的小特征值,從而提高算法在低快拍下的穩健性.為了進一步提高算法的性能,選擇剔除協方差矩陣中的對角元素,使所提算法能獲得高的估計精度和角度分辨能力,并且適用于低快拍的情況,實驗仿真結果驗證了文中算法的有效性.

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(編輯:王 瑞)

DOA estimation method based on the covariance matrix sparse representation

ZH AO Yonghong,ZHANG Linrang,LIU Nan,XIE Hu
(National Key Lab.of Radar Signal Processing,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

Abstract:The performance of the L1-norm-based sparse representation of array covariance vectors(L1-SRACV)algorithm significantly degrades with the number of samples decreasing.This paper analyzes the essential cause of this performance degradation and proposes a new direction of arrival(DOA)estimation method based on the fast maximum likelihood(FML)algorithm.Firstly,the FML algorithm is employed to estimate the covariance matrix,which attenuates the instability of the small eigenvalues of the covariance matrix.Then the sparse representation model based on the FML is formulated for DOA estimation and finally,optimized by removing the diagonal elements of the covariance matrix to obtain better performance.Simulation results indicate that our method outperforms the L1-SRACV with a higher accuracy and detection possibility,particularly under small samples support.

Key Words:sparse representation;DOA estimation;high-resolution;covariance matrix;correlative signal;fast maximum likelihood algorithm

作者簡介:趙永紅(1989-),女,西安電子科技大學博士研究生,E-mail:zhaoyh_2014@163.com.

基金項目:中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(JB140213)

收稿日期:2014-10-27 網絡出版時間:2015-05-21

doi:10.3969/j.issn.1001-2400.2016.02.011

中圖分類號:TN957.51

文獻標識碼:A

文章編號:1001-2400(2016)02-0058-06

網絡出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150521.0902.008.html