一種低旁瓣方向圖修正的MIMO雷達波形設計方法

李奕蓉,胡捍英

(解放軍信息工程大學導航與空天目標工程學院,河南鄭州 450000)

?

一種低旁瓣方向圖修正的MIMO雷達波形設計方法

李奕蓉,胡捍英

(解放軍信息工程大學導航與空天目標工程學院,河南鄭州 450000)

摘要:在多輸入多輸出雷達波形設計中,降低發射方向圖旁瓣能夠抑制旁瓣雜波和虛假目標能量,提高接收信噪比,從而改善角度估計性能.鑒于此,提出一種基于低旁瓣方向圖修正的多輸入多輸出雷達波形設計方法.該方法在采用半正定松弛技術求解得到發射信號相關矩陣的基礎上,通過改變信號相關矩陣的非對角線元素,建立低旁瓣方向圖修正模型,對方向圖旁瓣進行抑制.最后,根據修正后的信號相關矩陣獲得波束加權矩陣,并采用ESPRIT算法進行到達角估計.同時,還對所提方法的可行性進行了分析.仿真結果表明,所提方法能夠有效地降低方向圖旁瓣,提高角度估計精度和角度分辨率.

關鍵詞:多輸入多輸出雷達;到達角估計;波形設計;低旁瓣;發射方向圖

波形分集[1-3]能力是多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)雷達區別于其他體制雷達的一個重要特性,尤其是對集中式多輸入多輸出雷達[4-5]來說,通過靈活地設計發射信號,可以提高參數估計精度和檢測概率等多方面的性能.現有的多輸入多輸出雷達大多發射正交波形[6-7],發射功率在空間全向均勻分布,有利于在雷達探測初始階段進行全空檢測.但是,發射正交波形會導致接收信噪比降低.以角度估計為例,當空間目標位置較近時,若依然采用正交波形,將會導致目標范圍內信號獲得的功率較小,極大地影響接收端角度估計性能.因此,近年來以提高多輸入多輸出雷達參數估計精度為目的的部分相關波形設計方法得到了廣泛研究.

為了方便接收端進行匹配濾波,現有的部分相關波形設計大多是通過設計波束加權矩陣對正交信號進行加權,形成滿足要求的發射波束.針對單基地多輸入多輸出雷達,文獻[8]以最小化到達角(Direction Of Arrival,DOA)估計的克拉美羅界(Cramer-Rao Bound,CRB)為目標建立優化模型,并進行求解.但是,該方法并沒有考慮信號的旋轉不變性,若要使用避免譜峰搜索的基于旋轉不變特性的信號參數估計(Estimating Signal Parameters via Rotational Invariant Technique,ESPRIT)算法,必須保證接收陣列為均勻線陣.文獻[9]將信號的旋轉不變性考慮到加權矩陣的優化模型中,利用凸優化方法求解加權矩陣,能夠在接收端采用ESPRIT算法進行到達角估計,解除了接收陣列為均勻線陣的限制,避免了譜峰搜索帶來的高復雜度.但是,該方法不能保證每個陣元的發射功率相等,降低了雷達的總發射功率,進而降低了探測距離.文獻[10]在文獻[9]的基礎上,同時考慮每個陣元發射功率相等、方向圖匹配性能以及接收信號的旋轉不變性,建立波束加權矩陣的優化模型,到達角估計性能優于文獻[9].但是,該方法并沒有對方向圖旁瓣進行額外限制,導致得到的方向圖旁瓣較高,接收信噪比降低,到達角估計性能依然受到限制.

針對上述問題,筆者提出一種基于低旁瓣方向圖修正的多輸入多輸出雷達波形設計方法,用于進一步提高多輸入多輸出雷達到達角估計性能.首先,根據文獻[10]的模型,建立波束加權矩陣的基本優化模型;然后,采用半正定松弛技術將該非凸優化問題松弛為凸優化問題,求解得到發射信號相關矩陣;緊接著,為了解決文獻[10]設計信號形成的發射方向圖旁瓣較高的問題,提出一種低旁瓣方向圖修正方法,通過修正發射信號相關矩陣的非對角線元素,有效地降低了方向圖旁瓣,提高了接收信噪比;最后,將信號相關矩陣轉換為波束加權矩陣,并采用ESPRIT算法進行角度估計.

1 多輸入多輸出雷達模型

1.1 信號模型

假設單基地多輸入多輸出雷達有M個發射陣元,N個接收陣元,陣元之間集中式放置.其中,發射陣列為均勻線陣,陣元間距為d.令?(t)=[?1(t),…,?K(t)]T,為t時刻的K×1維窄帶發射信號向量,K為發射波束個數(K＜M,適當減少發射波束個數可提高每個波束的發射功率).假設各陣元發射信號相互正交.為了將能量有效地集中于空間感興趣的區域內,引入M×K維波束加權矩陣W=[w1,…,wk]來對發射信號進行處理,經過加權處理后的發射信號為

則發射信號的設計等效于波束加權矩陣W的優化.

發射方向圖反映了空間能量分布情況,其表達式為

設一個脈沖內的發射總功率為E,則t時刻到達空間θ處的信號為

假設感興趣的區域內共存在L個互不相關的目標,則經目標反射并于t時刻到達接收陣列的第τ個回波脈沖為

其中,αl(τ)為第τ個脈沖在目標l上的散射系數,b(θl)為第l個目標的接收導向矢量,z(t,τ)為噪聲項.由于?(t)中各信號具備正交性,因此,在接收端利用?k(t)對r(t,τ)進行匹配濾波后的信號可以表示為

1.2 到達角估計的克拉美羅界

由式(6)中的接收信號模型,引入波束加權矩陣W后到達角估計的克拉美羅界可以表示為[9]

1.3 波束加權矩陣W的基本優化模型

為了在接收端采用不需要譜峰搜索的ESPRIT算法進行角度估計,同時放寬對接收陣列陣型的要求,接收端信號應滿足旋轉不變性.假設發射波束K為偶數,則滿足信號旋轉不變性的波束加權矩陣W的結構[]為

其中,Pd(θq)為期望方向圖,θq∈[-π/2,π/2],Q為角度細分的網格數.式中約束條件C1及C2表示發射方向圖與期望方向圖匹配;C3表示每個陣元的發射功率相等,用于保證雷達向全空域發射總功率最大.式(10)為非凸優化問題[10],不容易獲得最優解.

2 基于低旁瓣方向圖修正的多輸入多輸出雷達波形設計方法

筆者提出了一種基于低旁瓣方向圖修正的多輸入多輸出雷達波形設計方法:首先,將式(10)松弛為凸優化問題,求解發射信號相關矩陣;然后,建立低旁瓣方向圖修正模型,對信號相關矩陣的非對角線元素進行修正,抑制發射方向圖旁瓣,以改善接收信噪比,提高到達角估計性能.

2.1 發射信號相關矩陣的求解

式(10)為非凸優化問題,應該將其轉換為凸優化問題來求解.構造矩陣Ai,滿足

則根據矩陣跡的性質,可得

定義X=wwH,雖然X的定義與真正的發射信號相關矩陣Rψ有所區別,但兩者具有等效性(2.3節對此進行了說明),因此也將X稱為發射信號相關矩陣.引入X后,式(10)將轉換為對X進行優化.但是,注意到X必須滿足rank(X)=1,這個限制條件是非凸的,會導致整個優化問題難以求解.因此,筆者采用半正定松弛(Semi-Definite Relaxation,SDR)技術[11]對該條件進行松弛,則式(10)中關于w的優化問題可以轉化為對發射信號相關矩陣X的優化:

式(14)為半正定規劃(Semi-Definite Programming,SDP)問題,可利用Matlab凸優化工具箱來有效求解.但是,由于上述方法在優化過程中沒有對方向圖旁瓣進行額外限制,將導致設計得到的方向圖旁瓣較高,影響接收信噪比.為了提高接收信噪比,應對其旁瓣進行抑制.接下來建立低旁瓣方向圖修正模型.

2.2 低旁瓣方向圖修正模型

文獻[12]給出了一種信號相關矩陣Rψ的優化模型來降低方向圖旁瓣.而對筆者來說,根據式(14)僅能求解出X,因此,參照文獻[12]的模型,采用對X的非對角線元素進行修正的方法來降低方向圖旁瓣.定義方向圖修正矩陣為B,其對角線元素為零,以最小化發射方向圖的旁瓣值為目標建立的優化模型為

其中,Ω表示旁瓣區域,定義為主瓣以外的區域.約束條件C1表示積分旁瓣最小化,C2保證信號相關矩陣的對角線元素不變,C3保證了修正后的X依然是Hermitian矩陣,C4保證修正后的矩陣仍為半正定矩陣.α為一預先給定的參數,用于調節發射方向圖主瓣失真和旁瓣降低程度.式(15)也是一個半正定規劃問題,可利用Matlab凸優化工具箱來求解.

根據上述模型獲得修正矩陣B的最優解后,則最終的信號相關矩陣可以表示為X=X-B.根據X= wwH,采用隨機化方法[11]求解波束加權向量w.在求解得到w后,即可由式(9)構造滿足信號旋轉不變性的波束加權矩陣W,至此完成發射信號的設計.發射信號設計完成后,即可在接收端采用ESPRIT算法(具體實現可參照文獻[9])進行到達角估計.

2.3 算法可行性分析

旁瓣抑制可通過改變方向圖的空間分布特性來實現.由式(2)可知,發射信號相關矩陣Rψ決定了發射方向圖的空間分布特性,理論上應通過修正Rψ來抑制旁瓣.但是,Rψ只能由式(14)得到的X間接求解,求解復雜度較高,并且筆者最終需要的波束加權矩陣W也是由X求解得到的.因此,從這幾方面考慮,相比于Rψ,通過修正X來抑制方向圖旁瓣顯得更為合理.但是,必須保證X與Rψ形成的方向圖具有相同的空間分布特性,才能使得修正X能夠達到與修正Rψ一樣的旁瓣抑制效果.接下來對此進行證明.

定理1 X與Rψ形成的方向圖具有相同的空間分布特性.

設X和X1對應的方向圖分別為PX(θ)和PX1(θ),令a(θ)中c=2dλ,則由式(2)可得

其中,Re(·)表示取實部.信號相關矩陣Rψ= WWH= X+X1,由式(18)可知,Rψ對應的發射方向圖P(θ)= 2PX(θ),說明X形成的方向圖與Rψ形成的方向圖具有相同的空間分布特性,只不過在幅度上有兩倍的差別.

當k＞2時,證明過程與k=2時的類似,在此不再贅述.定理得證.

基于以上分析,通過修正X來建立低旁瓣方向圖修正模型是合理的.由于X與Rψ在反映方向圖空間分布特性上具有上述的等效性,因此,筆者也將X稱為發射信號相關矩陣.接下來給出建立模型時,只對X中非對角線元素進行修正的原因.

由式(14)中的約束條件C3可知,在進行低旁瓣方向圖修正時,應該保持X的對角線元素不變,以滿足對每個陣元發射功率的限制.而X的非對角線元素直接影響方向圖的空間分布特性,因此應該對X的非對角線元素進行修正.接下來對此進行證明.

定理2 X的非對角線元素直接影響方向圖的空間分布特性.

證明 令M×M維矩陣X0的對角線元素與X保持一致,其余元素設為零.X0對應的方向圖是全向的,記為P0(θ)=aH(θ)X0a(θ).定義方向圖的空間分布的非均勻性γ,用于反映X形成的方向圖相對于全向方向圖的分布特性,γ的定義式為

其中,X-X0中只包含X的非對角元素,其余均為零.式(19)說明X的非對角線元素直接決定了γ的大小,即方向圖的空間分布特性.定理得證.

由上述定理可知,通過修正X的非對角線元素,可以改變發射方向圖的空間分布特性,實現旁瓣抑制.同時,當發射方向圖總功率一定時,由于主瓣分配的功率遠大于旁瓣,因此旁瓣功率分配的改變不會對主瓣形狀造成大的失真[12].

以上分析說明了筆者所提算法的可行性.接下來對筆者提出算法的性能進行仿真及分析.

3 仿真及性能分析

假設單基地多輸入多輸出雷達發射陣列為均勻線陣,陣元數M=10,陣元間距為λ/2;接收陣元數N=10,接收陣列為直線陣,陣元位置隨機分布在[0,4.5λ]的范圍內.發射總功率E=M,發射波束個數K=2,發射陣元發射信號?(t)為已知的正交信號.感興趣的方向為[-10°,10°],α=15/M.噪聲服從零均值、方差為σ2z的復高斯分布,目標散射系數服從零均值、方差為σ2α的復高斯分布.選擇正交波形和文獻[10]中設計的波形作為對比算法.

3.1 方向圖旁瓣抑制效果

圖1為正交波形、文獻[10]中的設計波形以及筆者進行低旁瓣方向圖修正后的波形所形成的發射方向圖.可以看到,正交波形所形成方向圖在空間全向分布.文獻[10]和筆者設計所形成的方向圖均能夠將能量聚集在感興趣的區域內.由于筆者提出的算法采用了低旁瓣方向圖修正法,相比于文獻[10]中設計的方向圖,旁瓣值得到了有效降低,尤其是離主瓣較近的第一副瓣值顯著降低了,但是主瓣形狀略有失真.旁瓣值(尤其是第一副瓣值)的降低能夠抑制旁瓣雜波和虛假目標能量,一方面可以減小其對主瓣內信號的干擾,另一方面可以使能量集中在主瓣區域內,進而提高接收信噪比.

圖1 發射方向圖　

圖2 克拉美羅界隨信噪比變化曲線

圖3 均方根誤差隨信噪比變化曲線　

圖4 角度分辨的成功概率隨信噪比變化曲線

3.2 到達角估計性能

假設感興趣的方向內存在兩個目標,其方位角分別為θ1=6°和θ2=7°,快拍數為50,在接收端均采用ESPRIT算法進行到達角估計,進行500次蒙特卡洛試驗.圖2～圖4分別給出了3種方法到達角估計的克拉美羅界、均方根誤差(Root-Mean-Square Error,RMSE)以及角度分辨的成功概率隨信噪比變化的情況.由圖可知,正交波形多輸入多輸出雷達的角度估計性能最差,這主要是因為正交波形多輸入多輸出雷達形成全向方向圖,使得大部分能量浪費在感興趣的區域之外,造成接收信噪比降低.另一方面,筆者提出的算法和文獻[10]中的算法僅采用K(K＜M)個發射波束,使得在總功率一定的條件下,每個波束的發射功率增大,同時,筆者提出的算法和文獻[10]中的算法還將能量聚集于感興趣的區域內,因此到達角估計性能優于正交波形多輸入多輸出雷達.而筆者提出的算法由于采用了低旁瓣方向圖修正方法,能夠進一步降低旁瓣雜波和虛假目標對主瓣內信號的干擾,減少能量在非感興趣區域(旁瓣區域)的耗散,提高了接收信噪比,從而使得到達角估計精度和角度分辨率相對于文獻[10]中的能夠得到進一步提高.

4 總 結

針對單基地多輸入多輸出雷達提出了一種基于低旁瓣方向圖修正的波形設計方法,用于改善到達角估計性能.首先,獲得發射信號相關矩陣;然后,利用低旁瓣方向圖修正方法,對信號相關矩陣的非對角線元素進行修正,達到降低方向圖旁瓣的目的.仿真結果表明,筆者提出的方法能夠有效地降低方向圖旁瓣,使能量集中在感興趣區域內,提高接收信噪比,改善角度估計精度和角度分辨率.但是,由于筆者在構造波束加權矩陣時,采用對偶的方法來滿足信號的旋轉不變性,要求發射波束必須為偶數.在后續研究中,可以對如何構造既滿足旋轉不變性,又不受波束數量限制的波束加權矩陣進行研究.

參考文獻:

[1]JIU B,LIU H,FENG D,et al.Minimax Robust Transmission Waveform and Receiving Filter Design for Extended Target Detection with Imprecise Prior Knowledge[J].Signal Processing,2012,92(1):210-218.

[2]HUA G,ABEYSEKERA SS.MIMO Radar Transmit Beampattern Design with Ripple and Transition Band Control[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2013,61(11):2963-2974.

[3]王旭,周生華,劉宏偉,等.一種空時聯合優化的MIMO雷達波形設計方法[J].西安電子科技大學學報,2014,41 (3):41-49.WANG Xu,ZHOU Shenghua,LIU Hongwei,et al.Waveform Design Method for MIMO Radar Based on Joint Spatial and Temporal Optimization[J].Journal of Xidian University,2014,41(3):41-49.

[4]LI J,STOICA P.MIMO Radar with Colocated Antennas:Review of Some Recent Work[J].IEEE Signal Processing Magazine,2007,24(5):106-114.

[5]KALOGERIAS D,PETROPULU A.Matrix Completion in Colocated MIMO Radar:Recoverability,Bounds& Theoretical Guarantees[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2014,62(2):309-321.

[6]HE H,STOICA P,LI J.Designing Unimodular Sequence Sets with Good Correlations-including an Application to MIMO Radar[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2009,57(11):4391-4405.

[7]SONG X,ZHOU S,WILLETT P.Reducing the Waveform Cross Correlation of MIMO Radar with Space-time Coding [J].IEEE Transactions on Signal Processing,2010,58(8):4213-4224.

[8]TANG Y H,MA X F,SHENG W X,et al.Transmit Beamforming for DOA Estimation Based on Cramer-Rao Bound Optimization in Subarray MIMO Radar[J].Signal Processing,2014,101(1):42-51.

[9]HASSANIEN A,VOROBYOV S A.Transmit Energy Focusing for DOA Estimation in MIMO Radar with Colocated Antennas[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2011,59(6):2669-2682.

[10]KHABBAZIBASMENJ A,HASSANIEN A,VOROBYOV S A,et al.Efficient Transmit Beamspace Design for Searchfree Based DOA Estimation in MIMO Radar[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2014,62(6):1490-1500.

[11]LUO Z Q,MA W K,SO A M C,et al.Semidefinite Relaxation of Quadratic Optimization Problems[J].IEEE Signal Processing Magazine,2010,27(3):20-34.

[12]羅濤,關永峰,劉宏偉,等.低旁瓣MIMO雷達發射方向圖設計[J].電子與信息學報,2013,35(12):2815-2822.LUO Tao,GUAN Yongfeng,LIU Hongwei,et al.Low Sidelobe Transmit Pattern Design for MIMO Radar[J].Journal of Electronics&Information Technology,2013,35(12):2815-2822.

(編輯:郭 華)

簡 訊

日前,中國電子學會第二十一屆青年學術年會在我校召開.會議邀請了東南大學信息科學與工程學院副院長崔鐵軍教授、中科院上海生命科學研究院李澄宇研究員、我校高新波教授和電子科技大學物理電子學院副院長肖紹球教授等4位電子信息領域著名專家,分別作了題為《電磁超材料·從等效媒質到現場可編程》、《工作記憶的動態神經環路》、《基于三元空間融合的模式識別新范式》和《寬角掃描平面相控陣天線研究》的學術報告.會議就天線、通信、機器人、計算機、控制科學、電子科學與技術領域的最新進展、發展趨勢以及在我國高新技術產業中的應用展開了交流與討論.

摘自《西電科大報》2015.11.14

MIMO radar waveform design method via low sidelobe beampattern modification

LI Yirong,HU Hanying
(Institute of Navigation and Space Target Engineering,Information Engineering Univ.,Zhengzhou 450000,China)

Abstract:In the design of the multiple-input multiple-output(MIMO)radar waveform,decreasing transmit beampattern sidelobes could reduce the energy of clutters and false targets from sidelobes and increase the received signal to noise ratio(SNR)so as to improve the angle estimation property.Motivated by this idea,a transmit waveform design method based on low sidelobe beampattern modification is proposed for MIMO radar.First,the transmit waveform cross-correlation matrix can be obtained by the semidefinite relaxation(SDR)technique.Then the essence of our method is to establish an optimization modification model to reduce the beampattern sidelobe by changing the non-diagonal elements of the waveform cross-correlation matrix.Finally,the corresponding transmit beamforming weight matrix is obtained by this modified matrix,and the ESPRIT algorithm is used for the direction of arrival(DOA) estimation.Meanwhile,the feasibility of our method is demonstrated.Simulation results show the superiorities of our method in sidelobe suppression,DOA estimation accuracy and angle resolution.

Key Words:multiple-input multiple-output radar;direction of arrival estimation;waveform design;low sidelobe;transmit beampattern

作者簡介:李奕蓉(1990-),女,解放軍信息工程大學碩士研究生,E-mail:liyirong131@163.com.

基金項目:國家科技重大專項資助項目(2011ZX03003-003-02)

收稿日期:2014-11-06 網絡出版時間:2015-05-21

doi:10.3969/j.issn.1001-2400.2016.02.023

中圖分類號:TN958

文獻標識碼:A

文章編號:1001-2400(2016)02-0132-07

網絡出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150521.0902.020.html