分數階偏微分電報方程一種解法的數值驗證

楊云沖，徐忠昌

(海軍工程大學 理學院，武漢　430033)

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分數階偏微分電報方程一種解法的數值驗證

楊云沖，徐忠昌

(海軍工程大學 理學院，武漢430033)

摘要：對于二維分數階偏微分波動方程，前人通過差分格式離散的方法求出了數值解；為了進一步提高數值解的精度，減小誤差，采用了另一種差分格式；傳統的離散方式在所選擇的離散點處直接按分數階導數的定義離散，現在采取的方法是在所給相鄰兩個離散點連線的中點進行離散；為了證明此種差分格式是否有效，選取了一個數值算例進行編程計算。最終證明中點離散算法的數值解具有較高精度。

關鍵詞:分數階電報方程；數值解； 差分格式； 精度

Citation format:YANG Yun-chong, XU Zhong-chang.Numerical Test for a Solution to Fractional Telegraph Equation[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2016(3):155-157.

由于分數階微積分算子是擬微分算子，具有非局部性，因此分數階微積分算子成為研究非線性問題的一個強有力的工具。近幾十年來，許多研究者發現，分數階導數的模型比整數階導數的模型更能準確地描述具有記憶和遺傳性質的材料和傳送過程，故分數階計算具有廣泛的應用背景[1-5]。將研究帶阻尼項的時間空間分數階電報方程的數值解法，將使我們進一步了解電報傳輸過程中電流在不同位置與時間的關系，加深對類似模型的理解。在前人的研究中主要是潘有思用傳統的離散方法求解了不帶阻尼項的時間-空間分數階偏微分電報方程[6]，并且通過一個數值算例驗證了數值解的有效性，但是仍然存在一定誤差。圍繞計算結果的精確度能否進一步提高問題，本文在其基礎上加以改進，并應用在另外一類帶阻尼項的時間空間-分數階偏微分電報方程上。本文所討論的帶阻尼項的時間空間分數階電報方程的形式如下：

1差分格式

前人已經計算出此類方程中點處離散的差分格式，具體的內容簡述如下：

由陳景華的結論[7-8]可知時域上的分數階導數中點離散可寫成：

由空間上的離散位移公式[9-10]，對空間變量的分數階導數可以離散成：

以端點處的導數替代中點的導數可得：

令：

全部代入上式并考慮初始和端點條件，整理之后則方程可寫成如下形式：

其中：

Pz=Az-2Az-1-Az-2

2數值證明

2.1給定方程

假定求解的電報方程如下：

其中自由項的表達式為

已知方程的精確解析解為

u(x,t)=x(x-2)t2

2.2差分格式有效性的數值證明

首先在時間和空間上取相對應的步長h=0.02,τ=0.01進行離散，并且編程運算，計算出數值結果。并分別在t=0.3,x=1的情況下取對應坐標軸上等間距采樣點的數據制成表格和圖像，分別如表1和圖1，表2和圖2所示，與對應精確解做出比較，求出誤差。之后給出數值解與理論解的三維分布，如圖3所示，從而分析該差分格式的有效性。Matlab編程計算結果如下：

分析表格中的數據我們可以得到在t=0.3時，絕對誤差的最大值為0.000 6，相對誤差的最大值為1.084 1%，處于較小的范圍以內，同時由函數圖像可以看出數值解的分布趨勢和解函數的趨勢保持了很好的一致性。

表1　t=0.3時數值解與精確解的比較

圖1　t=0.3時的精確解與數值解

橫坐標t函數解精確解絕對誤差/%相對誤差/%0.1-0.009600953-0.010.0003990473.9904650.2-0.03945347-0.040.000546531.3663250.3-0.089356218-0.090.0006437820.7153130.4-0.159277599-0.160.0007224010.4515010.5-0.249200265-0.250.0007997350.3198940.6-0.359110928-0.360.0008890720.2469640.7-0.488997841-0.490.0010021590.2045220.8-0.638849948-0.640.0011500520.1796960.9-0.808656571-0.810.0013434290.1658551.0-0.998407298-1.000.0015927020.159270

分析表格中的數據可以得到在x=1時，絕對誤差的最大值為0.001 6，相對誤差的最大值為3.990 465%，處于較小的范圍以內，同時由函數圖像可以看出數值解的分布趨勢和解函數的趨勢的一致性很好。

圖2　x=1時的精確解與數值解

圖3　數值解與精確解的三維比較

綜合如上所有的計算數據表格和圖像，可以看出該差分格式的在取100個離散點的情況下平均相對誤差能控制在5‰左右，無論是在單個的二維平面或是在整體的三維立體圖像中數值解與精確解的分布大致吻合，說明數值解精確和形象直觀，最終證明此類差分格式在計算該型分數階偏微分波動方程時非常有效，可以處理實際問題。

3結束語

本文通過Matlab編程計算，驗證了中點離散法的數值解是有效的，能夠很好地反映數值解精確和形象直觀。但中點離散法的收斂速度和誤差能否進一步縮小將是未來的研究方向。

參考文獻：

[1]FRIENDRICH C.Relaxation Function of Rheological Constitutive Equations with Fractional Derivatives:Thermodynamical Constraints [J].Theological modeling:thermodynamic and statistical approaches.Casas-vasque J and Jou D,Berlin Springer,1991(9):320-330.

[2]GORENFLO R,MAINARDI F,MORETTI D,et al.Discrete Random Walk Models for Space-Time Fractional Diffusion[J].Chemical Physics,2002,284(7):521-541.

[3]METZLER R,KLAFTER J.The Random Walk’s Guide to Anomalous Diffusion:A Fractional Dynamics Approach[J].Phys.Rep.,2000,339:1-77.

[4]VALDES-PARADA F J,OCHOA-TAPIA J A,ALVAREZ-RAMIREZ J.Effective Medium Equation for Fractional Cattaneo’s Diffusion and Heterogeneous Reaction in Disordered Porous Media[J].Physica A,2006,369:318-328.

[5]HIFLER R.Applications of Fractional Calculus in Physics[M].Singapore:World Scientific,2000.

[6]潘有思.兩類分數階偏微分方程數值解法[D].哈爾濱：哈爾濱工業大學，2011:24.

[7]陳景華.時間和空間分數階偏微分方程[D].廈門:廈門大學，計算數學2007:61-63.

[8]SUN Z Z,WU X.A Fully Discrete Difference Scheme for A Diffusion-Wave System[J].Applied Numerical Mathematics,2006,56(5):193-209.

[9]AGRAWAL O.Formulation of Euler-Lagrange Equations for Fractional Variational Problems[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2002,272(1):368-379.

[10]MOMANI S.Non-perturbative analytical solutions of the space-and time-fractional Burgers equations.Chaos[J].Solutions and Fractional 2006(28):930-93.

(責任編輯唐定國)

Numerical Test for a Solution to Fractional Telegraph Equation

YANG Yun-chong, XU Zhong-chang

(College of Science, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

Abstract:For two-dimensional fractional telegraph equation, it’s numerical solution has already obtained based on difference approximation by predecessors.In order to promote accuracy, it obtained another form of difference approximation. Traditionally, people constructed a implicit difference approximation directly at the point discrete in the equation, while it operated at the position in the attachment middle of two close discrete points. Then in order to prove that the new method is practical, it was applied to a numerical example by programming and finally proved that the result of the new method is of high accuracy.

Key words:fractional telegraph equation; numerical solution; difference approximation; accuracy

文章編號：1006-0707(2016)03-0155-04

中圖分類號：O241.82

文獻標識碼：A

doi:10.11809/scbgxb2016.03.037

作者簡介：楊云沖(1991—)，男，碩士研究生，主要從事基礎理論與應用研究。

收稿日期：2015-08-23；修回日期：2015-10-10

本文引用格式：楊云沖，徐忠昌.分數階偏微分電報方程一種解法的數值驗證[J].兵器裝備工程學報，2016(3):155-157.

【基礎理論與應用研究】