公鐵聯(lián)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)的樞紐選址模型及算法

李孟良，王喜富，孫全欣,王 德

(1.北京交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，北京 100044;2.鐵道黨校 鐵路企業(yè)管理教研部，北京 100088)

公鐵聯(lián)運(yùn)是指貨物運(yùn)輸過程中采用公路和鐵路兩種運(yùn)輸方式相結(jié)合，將貨物從供應(yīng)地運(yùn)送到需求地的運(yùn)輸組織形式，與傳統(tǒng)單一運(yùn)輸方式相比，公鐵聯(lián)運(yùn)具有全程性、通用性、簡(jiǎn)便性、代理性和協(xié)同性的特點(diǎn)，可以降低運(yùn)輸成本、節(jié)約運(yùn)雜費(fèi)用和提高運(yùn)輸服務(wù)質(zhì)量[1]。公鐵聯(lián)運(yùn)樞紐選址具有多式聯(lián)運(yùn)樞紐選址的特點(diǎn)，與單運(yùn)輸方式設(shè)施選址問題相比，公鐵聯(lián)運(yùn)樞紐選址需要考慮公路與鐵路運(yùn)輸模式選擇、銜接以及中轉(zhuǎn)費(fèi)用等差異，由于鐵路運(yùn)輸自身存在時(shí)刻表限制，因此在選址過程中服務(wù)時(shí)間也是一個(gè)重要考慮因素。選擇公鐵聯(lián)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)中重要城市節(jié)點(diǎn)作為樞紐，承擔(dān)貨物裝卸、搬運(yùn)、中轉(zhuǎn)、倉儲(chǔ)、換裝以及信息服務(wù)等功能，經(jīng)營(yíng)人將分散在各區(qū)域小批量貨流集中到樞紐站，組成大批貨流后，通過合適的運(yùn)輸方式和轉(zhuǎn)載工具，將貨物按需分配。建立合理的貨運(yùn)樞紐不僅能提高整個(gè)網(wǎng)絡(luò)服務(wù)效率，降低運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)總成本，還可以節(jié)能減排，緩解交通壓力，實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)運(yùn)輸系統(tǒng)的有效利用，達(dá)到更好地利用現(xiàn)有設(shè)施能力的目的，對(duì)交通運(yùn)輸方式的可持續(xù)發(fā)展具有重要意義。

國(guó)外學(xué)者對(duì)多式聯(lián)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)樞紐選址研究較多，Racunica和Wynter[2]介紹鐵路網(wǎng)絡(luò)樞紐概念，基于增加列車頻率、降低人力成本和提高設(shè)備周轉(zhuǎn)率建立鐵路樞紐選址費(fèi)用模型，通過減少?zèng)Q策變量，采用啟發(fā)式迭代方法求解。模型局限于解決單一鐵路網(wǎng)絡(luò)樞紐選址問題，只考慮樞紐運(yùn)營(yíng)費(fèi)用。Limbourg和Jourquin[3]研究與本文相似的公鐵聯(lián)運(yùn)樞紐選址問題，通過優(yōu)化公路樞紐位置及合理分配鐵路貨流降低運(yùn)輸費(fèi)用，提出啟發(fā)式方法求解，但缺少考慮樞紐選址固定成本和服務(wù)時(shí)間限制。Ishfaq和Sox[4]研究公鐵聯(lián)運(yùn)物流網(wǎng)絡(luò)樞紐選址和路徑分配問題，模型考慮運(yùn)輸費(fèi)用、轉(zhuǎn)運(yùn)成本、固定選址成本和服務(wù)時(shí)間限制，采用拉格朗日松弛和禁忌搜索算法求解模型。王雷等[5]基于Benders分解算法解決無容量限制多分配樞紐選址問題，該算法把選址問題分為樞紐選址和路徑分配兩個(gè)子問題進(jìn)行求解，目標(biāo)函數(shù)只考慮樞紐設(shè)置成本和網(wǎng)絡(luò)運(yùn)營(yíng)成本，側(cè)重介紹Benders分解算法。傅少川等[6]通過對(duì)比多分配多樞紐和單分配多樞紐軸輻式物流網(wǎng)絡(luò)建立單一運(yùn)輸費(fèi)用模型，得出單分配多樞紐軸輻式網(wǎng)絡(luò)更具有現(xiàn)實(shí)意義，采用改進(jìn)的禁忌搜索智能算法進(jìn)行求解。崔小燕等[7]針對(duì)無容量限制單分配軸輻式物流網(wǎng)絡(luò)，設(shè)計(jì)基于運(yùn)輸費(fèi)用最小的選址模型，重點(diǎn)介紹蟻群求解算法，沒有考慮樞紐建設(shè)固定成本和運(yùn)輸時(shí)間限制影響，局限于公路運(yùn)輸方式的選址問題。本文和以上文獻(xiàn)都以選址費(fèi)用最小為目標(biāo)函數(shù)，但本文綜合考慮上述文獻(xiàn)缺失的樞紐選址影響因素。

本文主要研究公鐵聯(lián)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)貨運(yùn)樞紐選址模型及算法設(shè)計(jì)，創(chuàng)新點(diǎn)在于：

(1)同時(shí)考慮樞紐間運(yùn)輸費(fèi)用、樞紐固定運(yùn)營(yíng)成本、非樞紐之間直接運(yùn)輸產(chǎn)生的費(fèi)用、樞紐處轉(zhuǎn)運(yùn)費(fèi)用以及運(yùn)輸時(shí)間限制，使模型更加符合實(shí)際情況；

(2)采用改進(jìn)的禁忌搜索算法求解多分配p-樞紐中位公鐵聯(lián)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)樞紐選址模型。

1 問題描述

公鐵聯(lián)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)樞紐選址問題對(duì)降低運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)物流費(fèi)用極具重要性[1,8]，如何選擇公路與鐵路組成的物理網(wǎng)絡(luò)中關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)作為公路樞紐、鐵路樞紐或者公鐵聯(lián)運(yùn)樞紐將是本文研究的重要問題。本文研究的商品為綜合類商品，沒有詳細(xì)區(qū)分具體類別。設(shè)計(jì)公鐵聯(lián)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)圖如圖1所示。

圖1 公鐵聯(lián)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)圖

公鐵聯(lián)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)包括樞紐點(diǎn)、非樞紐點(diǎn)以及具有流量和時(shí)間權(quán)重的有向連接。其中k和k′分別是城市節(jié)點(diǎn)AA可能建設(shè)的公路樞紐和鐵路樞紐，m和m′是城市節(jié)點(diǎn)BB可能建設(shè)的鐵路樞紐和公路樞紐，城市間都有公路和鐵路連接。貨物從供應(yīng)地經(jīng)過樞紐中轉(zhuǎn)再到需求地過程中需要經(jīng)過集散貨運(yùn)輸，存在7種運(yùn)輸組織形式可供選擇：路徑①貨物直接通過公路運(yùn)輸方式從供應(yīng)地Oi運(yùn)輸?shù)叫枨蟮谼j，沒有經(jīng)過樞紐中轉(zhuǎn)；路徑②和⑥貨物經(jīng)過單個(gè)公路樞紐k或單個(gè)鐵路樞紐k′，通過公路運(yùn)輸，并在樞紐處進(jìn)行中轉(zhuǎn)；路徑③貨物通過兩個(gè)公路樞紐k和m′，全程采用公路運(yùn)輸方式；路徑⑤貨物通過兩個(gè)鐵路樞紐k′和m運(yùn)輸，在兩個(gè)鐵路樞紐之間采用鐵路運(yùn)輸方式，從供應(yīng)地到第一個(gè)鐵路樞紐k′以及從第二個(gè)鐵路樞紐m到達(dá)需求地均采用公路運(yùn)輸方式；路徑④貨物從供應(yīng)地依次通過公路樞紐k和鐵路樞紐m到達(dá)需求地，路徑⑦貨物從供應(yīng)地先后通過鐵路樞紐k′和公路樞紐m′到達(dá)需求地，這兩種組織形式均采用公路運(yùn)輸。與文獻(xiàn)[8]相比，本文所提出的模型在目標(biāo)函數(shù)選址費(fèi)用方面考慮的更加全面，優(yōu)越性主要體現(xiàn)在考慮非樞紐間直接運(yùn)輸費(fèi)用、樞紐處轉(zhuǎn)運(yùn)費(fèi)用以及運(yùn)輸時(shí)間限制方面，既有模型在這方面考慮的不夠具體。

2 公鐵聯(lián)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)的樞紐選址模型建立

本文考慮樞紐間運(yùn)輸費(fèi)用、樞紐固定運(yùn)營(yíng)成本、非樞紐間直接運(yùn)輸費(fèi)用、樞紐處轉(zhuǎn)運(yùn)費(fèi)用以及運(yùn)輸時(shí)間限制等影響因素，建立公鐵聯(lián)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)總費(fèi)用最小的樞紐選址模型。模型建立需要做三個(gè)假設(shè)：

(1)假設(shè)貨物由供應(yīng)地到需求地至多經(jīng)過兩個(gè)樞紐轉(zhuǎn)運(yùn)；

(2)貨物從供應(yīng)地運(yùn)輸?shù)降谝粋€(gè)樞紐以及由最后一個(gè)樞紐配送到需求地均采用公路運(yùn)輸；

(3)同一城市最多只能建設(shè)一種類型的樞紐。

2.1 符號(hào)及參數(shù)

公鐵聯(lián)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)樞紐選址模型參數(shù)設(shè)置為

N：城市節(jié)點(diǎn)數(shù)；

i：供應(yīng)城市節(jié)點(diǎn)；

j：需求城市節(jié)點(diǎn)；

k,m：樞紐節(jié)點(diǎn)；

P：備選樞紐個(gè)數(shù)；

M：一個(gè)足夠大的正數(shù)；

S：運(yùn)輸方式集合{0,1}，s∈S,s=0表示公路運(yùn)輸，s=1表示鐵路運(yùn)輸；

fij：供應(yīng)城市i到需求城市j的貨運(yùn)量；

Fk：城市k選為樞紐的固定運(yùn)營(yíng)費(fèi)用，包括人力、設(shè)備、租賃和資金占用費(fèi)用等；

α：成本折扣系數(shù),0≤α≤1，可以實(shí)現(xiàn)貨物流在跨樞紐運(yùn)輸時(shí)產(chǎn)生的成本節(jié)約，抵消建設(shè)樞紐的固定成本投資和運(yùn)營(yíng)費(fèi)用，給經(jīng)營(yíng)者帶來額外收益；

βs：樞紐間運(yùn)輸方式為s的時(shí)間延遲因子，βs≥1，解決樞紐處中轉(zhuǎn)時(shí)間對(duì)模型的影響，更符合實(shí)際情況；

C(k,m,s)：貨物在樞紐(k,m)間由運(yùn)輸方式s產(chǎn)生的運(yùn)輸成本；

Tij：供應(yīng)城市i到需求城市j的服務(wù)時(shí)間限制。

0-1決策變量：

yk：城市k是否為樞紐；

2.2 模型構(gòu)建

(1)

s.t.

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

目標(biāo)函數(shù)(1)以運(yùn)輸過程中總費(fèi)用最小為目標(biāo)，總費(fèi)用包括第一項(xiàng)公路直接運(yùn)輸費(fèi)用、第二項(xiàng)和第三項(xiàng)通過樞紐對(duì)(k,m)運(yùn)輸費(fèi)用、第四項(xiàng)樞紐固定運(yùn)營(yíng)成本以及轉(zhuǎn)運(yùn)費(fèi)用；式(2)建設(shè)樞紐個(gè)數(shù)為p；式(3)和式(4)表示只有節(jié)點(diǎn)k,m建設(shè)為樞紐時(shí)，才有基于該樞紐的運(yùn)輸路徑選擇；式(5)表示OD對(duì)之間運(yùn)輸模式選擇約束，兩者之間只能選擇一種最優(yōu)的運(yùn)輸路線；式(6)表示只有節(jié)點(diǎn)k選為樞紐才能選擇是否需要轉(zhuǎn)運(yùn)；式(7)和式(8)分別表示樞紐對(duì)(k,m)由公路運(yùn)輸和鐵路運(yùn)輸產(chǎn)生的費(fèi)用成本；式(9)表示OD對(duì)之間運(yùn)輸時(shí)間不能大于最遲到達(dá)時(shí)間約束限制；式(10)表示決策變量為(0,1)變量。

3 模型求解算法

公鐵聯(lián)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)樞紐選址問題屬于NP-hard問題，文獻(xiàn)[9]提出用禁忌搜索算法解決此類問題，并找到誤差小于1%的最優(yōu)解。本文采用改進(jìn)的禁忌搜索(TS)算法，通過設(shè)置禁忌表來禁忌過去的操作，利用特設(shè)準(zhǔn)則來解禁一些優(yōu)良狀態(tài)，在一定程度上接受劣解，使其在搜索過程中跳出局部最優(yōu)解，實(shí)現(xiàn)全局優(yōu)化。具體求解思路和求解步驟如下。

3.1 禁忌搜索算法求解思路

禁忌搜索算法求解思路：首先按照隨機(jī)方法產(chǎn)生一個(gè)初始解yk作為當(dāng)前解，采用鄰域優(yōu)先的搜索方法，將樞紐和非樞紐之間成對(duì)交換作為鄰域搜索方向，并在當(dāng)前解的鄰域中搜索若干個(gè)解，取其中最優(yōu)解作為新的當(dāng)前解。使用禁忌表記錄已搜索的局部最優(yōu)解的歷史信息，從而避免迂回搜索。為了能逃離局部最優(yōu)解，算法必須接受劣解，一旦接受劣解，迭代就可能陷入循環(huán)。算法將最近接受的一些移動(dòng)放在禁忌表中，在以后的迭代中加以禁止，以此避免循環(huán)，即只有不在禁忌表中的較好解，才被接受作為下一次迭代的初始解。隨著迭代的進(jìn)行，禁忌表不斷更新，經(jīng)過給定迭代次數(shù)后，最早進(jìn)入禁忌表的移動(dòng)就從禁忌表中解禁退出。當(dāng)隨機(jī)產(chǎn)生初始解次數(shù)達(dá)到給定的次數(shù)后，禁忌搜索終止，輸出最優(yōu)解。

禁忌搜索算法參數(shù)設(shè)定

(1)解的表示

(2)初始解產(chǎn)生

(3)鄰域構(gòu)建及候選解集選擇

通過樞紐節(jié)點(diǎn)和非樞紐節(jié)點(diǎn)之間成對(duì)交換作為鄰域搜索方向，根據(jù)評(píng)價(jià)函數(shù)的優(yōu)劣構(gòu)造候選解，本文評(píng)價(jià)函數(shù)越小，候選解替代當(dāng)前解的概率越大。

(4)評(píng)價(jià)函數(shù)構(gòu)建

本文將模型中目標(biāo)函數(shù)作為評(píng)價(jià)函數(shù)，評(píng)價(jià)值minZ越小越好。

(5)禁忌表和禁忌長(zhǎng)度

(6)特赦及停止準(zhǔn)則

特設(shè)準(zhǔn)則：采用評(píng)價(jià)函數(shù)值的特赦準(zhǔn)則，候選解中所有解為禁忌解時(shí)，則解禁最好解。

停止準(zhǔn)則：采用最大迭代次數(shù)Nmaxiter=10n。

3.2 禁忌搜索算法求解步驟

禁忌搜索算法包括全局多樣化搜索和區(qū)域強(qiáng)化搜索兩階段[10]。第一階段確定樞紐位置，第二階段進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)路徑分配。具體求解步驟如下：

步驟2判斷第一階段Rcount

步驟4禁忌表中除新加入OD對(duì)外，原有OD對(duì)(q,r)進(jìn)行l(wèi)ength(q,r)=length(q,r)-1操作，如果length(q,r)=0，則(q,r)離開禁忌表。

步驟5判斷所有可能移動(dòng)是否在禁忌表中，如果滿足，進(jìn)一步判斷是否滿足特赦準(zhǔn)則，本文采用的特設(shè)準(zhǔn)則為候選解的適配值優(yōu)于歷史最優(yōu)值，否則更新Tabu_list、當(dāng)前解；如果節(jié)點(diǎn)頻率大于給定的閾值(Freqlimit)，則在初始解中踢出該節(jié)點(diǎn)，置空Tabu_list，并更新當(dāng)前解、初始解；如果nodefrequency≤Freqlimit，直接置空Tabulist，令當(dāng)前解=初始解，返回步驟1。

步驟6當(dāng)隨機(jī)產(chǎn)生初始解次數(shù)Rcount達(dá)到Mcount后，禁忌搜索終止，輸出最優(yōu)解

4 算例分析

4.1 數(shù)據(jù)描述

本文基于Rardin and Uzsoy[11]中算例構(gòu)建，數(shù)據(jù)滿足公路單位貨運(yùn)成本高于鐵路，鐵路樞紐中轉(zhuǎn)時(shí)間大于公路樞紐中轉(zhuǎn)時(shí)間。選取20個(gè)城市節(jié)點(diǎn)作為算例，具體空間分布情況如圖2所示。

圖2 20個(gè)城市空間分布

表1 城市節(jié)點(diǎn)之間的貨流量

表2 影響因子設(shè)計(jì)[12]

4.2 結(jié)果與分析

(1)模型有效性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證禁忌搜索算法求解模型的有效性，影響因子分別取表2集合中第一個(gè)元素，通過MATLAB編程將程序運(yùn)行20次，選取最優(yōu)一次計(jì)算過程，其收斂情況如圖3所示。

圖3 禁忌搜索算法收斂?jī)?yōu)化曲線

圖3中取最大迭代次數(shù)為100次，收斂曲線在35代附近開始趨于收斂，說明禁忌搜索算法初始收斂快，后期精度改善相對(duì)緩慢。最優(yōu)解和運(yùn)行時(shí)間如圖4所示。

圖4 最優(yōu)解與運(yùn)行時(shí)間對(duì)比

由圖4可以分析出目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值集中在1 297 445，沒有出現(xiàn)明顯波動(dòng)，說明模型的正確性和穩(wěn)定性；求解時(shí)間分布在[384.6 s,570.9 s]之間，平均時(shí)間為474.1 s，說明禁忌搜索算法可以在較短的時(shí)間得到最優(yōu)解。禁忌搜索算法與Lingo分支定界算法性能比較見表3。

表3 TS與Lingo結(jié)果對(duì)比

通過數(shù)據(jù)分析得到TS最優(yōu)值為1 295 502，與Lingo分支定界精確解僅相差0.15%，TS與Lingo求解間隙最大為0.68%，最小為0.15%，但TS求最優(yōu)解的時(shí)間僅是Lingo的22.5%，兩種求解方法得到最佳樞紐位置均為[1,3,5,14,17,18]。但Lingo在求解大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)時(shí)存在數(shù)據(jù)容易溢出、運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)的局限性，例如當(dāng)P=9時(shí)，Lingo的運(yùn)行時(shí)間超過3 600 s，仍未得到滿意的解，而禁忌搜索算法完全可以在較短時(shí)間內(nèi)找到滿意解，并且具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性和收斂能力。

(2)成本折扣系數(shù)和公鐵單位成本比對(duì)選址結(jié)果影響分析

公鐵聯(lián)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)貨物流的規(guī)模擴(kuò)大時(shí)，運(yùn)輸總成本隨著運(yùn)量的增加呈現(xiàn)非線性緩慢增加，單位運(yùn)輸成本隨之降低。通過成本折扣系數(shù)α可以實(shí)現(xiàn)貨物流在跨樞紐運(yùn)輸時(shí)產(chǎn)生的成本節(jié)約，抵消建設(shè)樞紐的固定成本投資和運(yùn)營(yíng)費(fèi)用，給經(jīng)營(yíng)者帶來額外收益，成本折扣系數(shù)和公鐵單位成本比的大小直接影響選址結(jié)果。成本折扣系數(shù)α={0.5,0.7,0.9}和公鐵單位運(yùn)輸成本CR={1.2,1.4,1.6}情況下對(duì)選址結(jié)果的影響如圖5所示。

圖5 成本折扣系數(shù)和公鐵單位成本比對(duì)選址結(jié)果的影響

圖5(a)表示成本折扣系數(shù)與公鐵單位成本比對(duì)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的影響。在CR一定情況下，最優(yōu)值隨α增加而增大，這是因?yàn)榭鐦屑~城市間運(yùn)輸成本折扣系數(shù)越大，所需要運(yùn)輸費(fèi)用越高，α=1取極值情況下，樞紐間運(yùn)輸成本相當(dāng)于直接運(yùn)輸，沒有產(chǎn)生折扣，此時(shí)運(yùn)輸費(fèi)用最大；圖5(b)表明樞紐間折扣系數(shù)α越大，公鐵聯(lián)運(yùn)最佳樞紐平均數(shù)越小，當(dāng)公鐵單位成本比為1.2時(shí)，折扣系數(shù)α由0.5增加到0.9，最佳樞紐平均值則由8.2降低到3.5，減少了57.3%，當(dāng)公鐵單位成本比為1.6時(shí)，最佳樞紐的平均值則由8.5減少到3.1，降低了65.9%，說明成本折扣系數(shù)對(duì)最佳樞紐平均值的影響程度遠(yuǎn)大于公鐵單位成本比對(duì)最佳樞紐平均值的影響；圖5(c)表明公鐵單位成本比和成本折扣系數(shù)對(duì)單一公路樞紐所占比例的影響趨勢(shì)與圖5(d)相反；圖5(d)表明在α一定情況下，公鐵聯(lián)運(yùn)樞紐所占比例隨著公鐵單位成本比的增加而增大，在CR一定情況下，公鐵聯(lián)運(yùn)樞紐所占比例隨著成本折扣系數(shù)的增大而減小，進(jìn)一步證明結(jié)果符合實(shí)際情況。

綜上所述，公鐵聯(lián)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)中鐵路運(yùn)輸成本低所帶來的效益完全可以被成本折扣系數(shù)的規(guī)模效應(yīng)所抵消，因此，在公鐵聯(lián)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)中，選擇合適的樞紐位置及樞紐類型將會(huì)減少整個(gè)運(yùn)輸過程中的總費(fèi)用。

5 結(jié)束語

本文考慮樞紐間運(yùn)輸費(fèi)用、樞紐固定運(yùn)營(yíng)成本、非樞紐間直接運(yùn)輸費(fèi)用、樞紐處轉(zhuǎn)運(yùn)費(fèi)用以及運(yùn)輸時(shí)間限制等多種影響因素，建立無容量限制多分配p-樞紐中位選址模型，運(yùn)用改進(jìn)的禁忌搜索元啟發(fā)式算法進(jìn)行求解，研究公鐵聯(lián)運(yùn)樞紐選址問題，并通過算例分析及算法比較驗(yàn)證本文所提模型和算法可以有效用來解決公鐵聯(lián)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)的樞紐選址問題。本文所提方法對(duì)公鐵聯(lián)運(yùn)樞紐選址具有一定借鑒意義，同時(shí)還可以擴(kuò)展到公路水路聯(lián)運(yùn)、鐵路水路聯(lián)運(yùn)、鐵路公路水路聯(lián)運(yùn)和公路航班聯(lián)運(yùn)，以及在考慮樞紐容量限制情況下如何設(shè)計(jì)模型更加符合實(shí)際情況。

參考文獻(xiàn)：

[1]石小法. 貨運(yùn)交通系統(tǒng)[M]. 上海:同濟(jì)大學(xué)出版社, 2013：23-30.

[2]RACUNICA I, WYNTER L. Optimal Location of Intermodal Freight Hubs[J]. Transportation Research Part B, 2005, 39(5): 453-477.

[3]LIMBOURG S. Jourquin B Optimal Rail-road Container Terminal Locations on the European Network[J]. Transportation Research E, 2009, 45(4):551-563.

[4]RAFAY Ishfaq, CHARLES R Sox.Hub Location-allocation in Intermodal Logistic Networks[J]. European Journal of Operational Research, 2011, 210:213-230.

[5]王雷，吳薇薇.Benders分解算法在多分配樞紐選址問題的應(yīng)用[J].信息技術(shù),2012,5(7):1-10.

WANG Lei, WU Weiwei. Benders Decomposition Algorithm for Multi-distribution Hub Location Problem[J].Information Technology, 2012,5(7):1-10.

[6]傅少川，胡夢(mèng)飛，唐方成.禁忌搜索算法在單分配多樞紐軸輻式物流網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用[J].中國(guó)管理科學(xué), 2012, 20(3): 145-151.

FU Shaochuan, HU Mengfei, TANG Fangcheng. The Optimization of Hub and Spoke Logistics Network Design Based on Tabu Search Algorithm[J]. Chinese Journal of Management Science,2012, 20(3): 145-151.

[7]崔小燕，李旭宏，毛海軍，等. 無容量約束單分配軸-輻式物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)[J]. 交通運(yùn)輸系統(tǒng)工程與信息, 2010, 10(5): 175-181.

CUI Xiaoyan, LI Xuhong, MAO Haijun, et al. Design of Uncapacitated Hub-and-Spoke Logistics Networks with Single Allocation [J]. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology, 2010,10(5):175-181.

[8]RAFAY Ishfaq, CHARLES R Sox. Intermodal Logistics: The Interplay of Financial, Operational and Service Issues [J]. Transportation Research Part E, 2010, 46: 926-949.

[9]SKORIN Kapov D,SKORIN Kapov J,O'Kelly ME. Tight Linear Programming Relaxations of Uncapacitated P-hub Median Problems[J]. European Journal of Operational Research, 1996, 94(3): 582-593.

[10]汪定偉，王俊偉，王洪峰，等. 智能優(yōu)化方法[M]. 北京：高等教育出版社，2007：81-110.

[11]RARDIN R L, UZSOY R. Experimental Evaluation of Heuristic Optimization Algorithms: A tutorial[J]. Journal of Heuristics, 2001, 7: 261-304.

[12]SLACK, B. Intermodal Transportation in North America and the Development of Inland Load Centers[J]. Professional Geographer, 1990, 42(1): 72-83.