道砟級配的分形方法及對道床剪切性能影響

徐 旸， 高 亮，王 紅，楊國濤，趙云哲

(1.北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044；2.北京交通大學 北京市軌道交通線路安全與防災工程技術研究中心，北京 100044；3.中國鐵道科學研究院 鐵道建筑研究所，北京 100081；4.中國鐵路總公司 科技管理部，北京 100844)

鐵路有砟軌道是我國最主要的軌道形式之一，與無砟軌道相比，具有造價低廉、易維修、在不良地質和極端氣候條件下適應性強等優勢。有砟道床主要由一定級配的碎石道砟組成，研究[1]表明，散體道床的級配會對道砟顆粒間的相互作用及道床力學特性產生明顯影響。文獻[2]采用級配曲線區間形式對新建鐵路道砟顆粒的級配進行規定。隨著鐵路的開通運營，在循環荷載作用下，道砟顆粒不斷破碎、粉化并有外部粉塵入侵，這將引起小粒徑顆粒含量增大，道砟顆粒的級配結構改變[3]。文獻[4-6]研究表明，散體物料的級配結構特征(細小顆粒含量、級配的連續性等)變化是引起散體道床力學性能(累計變形率、道床阻力等)退化的主要原因。道床力學性能一旦退化，就會引發道床抗剪強度下降，產生道床縱向剛度不均勻分布甚至軌道斷面的幾何形位失穩，如不能及時養護維修，會導致線路不平順，威脅列車的行車安全。相關行業標準僅針對新建道床的道砟顆粒級配曲線進行了規定，在線路養護維修時，并未將道砟級配變化作為道床力學狀態的評估標準，無法為線路的養護維修工作提供科學指導。其主要原因，一是傳統級配曲線難以直觀、準確反映道砟級配的組成特征；二是由于散體道床顆粒間的相互作用較復雜，且道砟級配會隨著線路的運營發生改變，已有研究中道砟級配對道床力學性能影響規律的研究較少，無法通過道砟級配變化對道床的力學性能進行科學評估。

為解決上述問題，本文基于分維度概念，提出能同時適用于新建道床及運營后粉化道床級配的分形量化方法，并基于該方法設計了典型道砟級配。基于三維重建方法對復雜外形道砟顆粒進行精細化模擬，并在此基礎上建立道砟的直剪數值模型，研究典型級配道砟顆粒的剪切力學性能。得出道砟級配特征對道床剪切力學性能的影響規律，為道砟級配設計及道床搗固、清篩等日常養護維修作業提供科學指導和理論依據。

1 基于分維度的道砟級配分形方法

分維度概念最早由文獻[7-8]提出。文獻[9-11]將該方法應用于公路散體材料的級配分形研究，取得了較好效果。本文將這一概念引入鐵路道砟集料的級配研究中，基本方法如下。

設道砟級配中，每個道砟篩孔長度是一個空間點，根據分形理論有

S(d)=S0(d/dmax)-D

(1)

式中：S(d)為通過孔徑為d的道砟顆粒個數；S0為被分析道砟顆粒的總個數；dmax為道砟的最大篩孔邊長；D為道砟集料的級配分維度。基于道砟顆粒個數的道砟粒徑分布函數可以表示為

(2)

由于道砟顆粒形狀各不相同，處于同一粒徑范圍時，其質量可能存在較大差別，采用道砟顆粒個數作為自變量分析道砟集料的級配特征會引起較大誤差，且行業規范中以過篩質量作為基本量綱來規定道砟級配。因此，本文對式(2)進行優化。根據已有研究[9]，散體物料級配可由其質量分布函數表示。

(3)

式中：S(r)為集料中通過孔徑r道砟篩的道砟的質量分數；rmax為道砟篩的最大孔徑；rmin為道砟篩的最小孔徑。任意級配曲線可由rmax、rmin、D三個參數控制。以行業規范中特級道砟為例，其最小粒徑rmin為22.4 mm，最大粒徑rmax為63 mm。

鐵路碎石道砟是一種特殊的散體材料，文獻[12]研究表明，隨著荷載作用，道床會逐漸發生破碎粉化、外部粉塵入侵等現象，這將導致小于最小篩孔粒徑的顆粒含量逐漸增大。式(3)僅能反映新建道床的級配特性，難以考慮運營后線路道砟級配的改變。為解決這一問題，本文對式(3)進行改進，并在此基礎上提出適用于鐵路道砟的級配分形公式，即

(4)

式中：Y(r)為修正后道砟顆粒的過篩質量分數；C為粒徑小于最小道砟篩孔的顆粒質量占道砟顆粒總質量的比例。式(4)可用于分析劣化后的道砟級配特征，在確定級配區間的情況下，只需確定D、C兩參數即可表示任意道砟級配。為進一步研究這兩個參數對散體道床力學性能的影響規律，本文設計了兩組道砟級配曲線，分別如圖1、圖2所示。

圖1 不同級配分維度D下的道砟級配曲線

圖2 不同劣化階段道砟顆粒級配曲線

圖1主要研究不同級配分維度D對道床力學特性的影響規律，圖2重點研究由顆粒破碎粉化產生的小粒徑顆粒含量比例C對道床力學性能的影響，并驗證本文提出的優化公式(4)對劣化道砟的適用性。

兩組模型共9種級配曲線控制參數D、C的取值見表1。

表1 不同級配曲線的D、C取值

需要說明的是圖1的粒徑取值區間符合我國特級道砟的級配標準。圖2采用的最小控制粒徑rmin為10 mm。

2 精細化道砟離散單元直剪數值模型建立與驗證

道砟集料的抗剪性能是其主要力學性能之一。國內外學者主要采用直剪試驗及其離散元[13]數值模型研究道砟集料的剪切力學性能。如何通過數值仿真方法模擬真實道砟顆粒的復雜外形一直是國內外學者研究的難點和重點。文獻[14-15]通過道砟在三視角平面形成的投影對顆粒外形進行了重建，并采用改變道砟顆粒內摩擦角的方法研究道床臟污對道床力學性能的影響規律，認為臟污材料會明顯削弱散體道床的抗剪強度。這種基于三視角還原形成的道砟顆粒雖能一定程度上反映真實的顆粒外形，但在研究顆粒間面-面接觸時，難以考慮真實顆粒粗糙表面間的實際接觸情況。此外，由面-面夾角形成的尖銳棱角也會過高估計道砟顆粒間的棱角系數，與真實情況存在一定差異。

文獻[16-21]通過將若干球體單元隨機粘結模擬復雜的道砟顆粒形狀，這種方法雖然能較好模擬顆粒間的點接觸特性，但隨機生成的粘結球簇并未與真實道砟顆粒的形狀建立聯系，因此難以模擬顆粒間棱角特征及咬合力特性。

為彌補已有研究在道砟顆粒外形模擬方面的不足，本文基于雙平面鏡的五視角投影輪廓，重建道砟顆粒的三維外形。如圖3(a)所示，一枚道砟顆粒可在對向放置的雙平面鏡中形成2個經過一次反射與2個經過兩次反射的虛像，取同側原像與反射像的上、下公切線交點為該虛像的極點，則按照文獻[22]中的算法，可基于四個極點的相對位置與虛像的空間幾何位置，通過反向投影方式建立道砟顆粒的外包絡網格。本文采用MATLAB自編程序實現上述算法，并在此基礎上建立基于真實道砟顆粒外形的三維離散元精細化道砟單元，如圖3所示。

圖3 道砟顆粒的三維重構及精細化離散元模型

研究發現，構成道砟單元的球單元個數越多，道砟顆粒就可以模擬得越精細，但過多單元會引起計算量的增加，文獻[23]和本文多次數值試驗結果表明，當道砟外包絡網格填充率達到90%以上時，再增加球單元的數目對計算結果影響不大，因此本文采用這一標準控制道砟的模擬精度，即道砟顆粒約由60個球單元組成。

從鐵路特級道砟中任意選取700枚作為樣本，通過MATLAB自編道砟顆粒形狀的相似性分析程序，基于被分析道砟的棱角系數及針、片狀指數等關鍵形狀參量，對700枚道砟進行篩選，選取12枚道砟顆粒的形狀作為典型道砟顆粒外形，如圖4所示。

圖4 典型道砟顆粒離散元模型

為研究道砟級配對散體道床剪切力學性能的影響規律，本文建立了道砟的直剪數值模型。模型中道砟顆粒外形從12種典型顆粒形狀中隨機抽取，如圖5所示。

圖5 道砟直剪數值模型

圖5(a)為基于真實道砟顆粒三維外形的重建結果，圖5(b)為基于外形重建結果建立的精細化離散元道砟顆粒數值模型。本文建立的離散元直剪數值模型與室內試驗模型的原理及結構相同，如圖6(a)所示。顆粒間采用線彈性接觸模型。文獻[24-26]已對模型的相關力學參數進行了驗證，由于本文采用的道砟顆粒離散單元模型相比前期研究有了較大的改進，因此，本文對道砟顆粒的切、法向剛度這兩項關鍵參數進行了重新標定，并通過室內試驗，對模型進行了驗證。離散元模型的其他主要力學參數見表2。

圖6 道砟直剪儀器結構及實物圖

表2 離散元模型力學參數取值表

由于傳統直剪儀無法滿足鐵路碎石道砟大粒徑、高強度的要求，本文自主研發了一套專門適用于鐵路碎石道砟的直剪儀器，其結構及實物如圖6所示。

本文主要通過分析圖6(b)中剪切盒虛擬切平面上的作用力研究道床內部力學狀態。其中道床虛擬切平面的切向力與法向力可由式(5)、式(6)計算得出。

(5)

FN=GUB+N

(6)

式中：FS為虛擬切平面的總切向力；FDX為下半部分剪切盒各墻面的切向作用力；由于剪切盒的下半部分由5面墻體組成，取n=5；垂直于剪切方向的墻面取其法向力作為該墻面的FDX值，平行于剪切方向的墻面取其切向力作為該墻面的FDX值；FN為虛擬切平面的總法向力；GUB為上剪切盒中道砟的重力；N為作用于剪切盒頂面的外荷載。

在進行室內試驗時，下剪切盒保持固定，上剪切盒以v=0.05 mm/s 的速度水平移動，離散元模型中上剪切盒的移動速度與室內試驗保持一致。則切平面的面積隨時間t的變化關系為L(L-vt)，其中L=500 mm,為剪切盒的寬度，由此切平面的法向應力σn及切向應力σs可由式(7)及式(8)計算。

(7)

(8)

分別針對100 kPa、200 kPa、300 kPa三種頂面荷載作用下道砟的直剪性能進行室內試驗研究，并以此作為數值模型的標定依據。在模型驗證時，為保證數值模型的初始狀態與室內試驗一致，在室內試驗開展前對待測道砟集料進行篩分，其級配分布見表3。

表3 道砟集料級配過篩百分比

數值試驗中道砟顆粒級配分布即按照該比例進行生成。在進行數值試驗時，對直剪數值模型上頂板施加與室內試驗相同的頂面靜力荷載，待上頂板位移穩定后，開始水平直剪，其執行過程與前期室內試驗相同。數值仿真結果與試驗結果對比如圖7所示。

圖7 數值仿真結果與試驗結果對比

設置不同的道砟顆粒切、法向剛度，并將數值試驗結果與室內試驗結果對比，當所設置的切、法向剛度能夠較好擬合100 kPa的試驗結果時，采用數值模型對200 kPa及300 kPa兩種工況下的結果進行預測，只有當一套參數能同時擬合100 kPa的試驗結果并能較好預測200 kPa及300 kPa的試驗結果時，該套參數才能較好模擬道砟的真實力學狀態。經過嘗試，當道砟數值模型的法向接觸剛度為1.5×108N/m且切向接觸剛度為0.8×108N/m時得到如圖7所示的結果，由此認為該組參數能較好擬合道砟的力學性能。

3 分形級配對道砟剪力性能的影響研究

由于涉及道砟級配的研究[4，5，12]多是分析不同荷載次數條件下道砟級配曲線的變化，針對不同道砟顆粒級配對道床剪切力學性能影響規律的研究較少。因此本文采用驗證后的精細化道砟顆粒離散元直剪數值模型對第一章中基于分形量化方法建立的兩組共9種級配曲線在頂面荷載為200 kPa的剪切力學性能進行了數值試驗，得到的結果如圖8、圖9所示。

圖8 不同級配分維度道砟剪切應力

圖9 不同破碎粉化程度下道砟的剪切應力

表4給出了9種級配道砟集料的剪切力學特性。其中平均剪應力和最大剪切應力值能直接反映道砟集料的抗剪力學性能；最大剪脹位移能反映道砟集料在剪應力作用下的變形機理，該值通過直剪儀上頂板的相對垂向位移進行計算；平均配位數是反映道砟顆粒間細觀接觸狀態的重要參數，由式(9)計算。

(9)

式中：P為道砟顆粒的平均配位數；M為模型中道砟顆粒單元的總數；γ為第i個道砟顆粒中包含的球單元總數；T為第j個球單元與其他道砟單元的接觸點數量。

表4 各模型剪切力學特性統計

為進一步明確道砟顆粒級配特征參數D、C與道砟集料剪切力學性能的關系，本文對兩組級配分別進行了線性回歸，如圖10、圖11所示。

圖10 道砟集料抗剪強度與級配分維度D的相關性

圖11 道砟集料抗剪強度與細碎顆粒含量比率C的相關性

結合圖8、圖10及表4的數據可以看出，道砟集料的抗剪強度與道砟分維度D呈現出較強的負相關性，采用應變量y表示道砟集料的極限抗剪強度，其與D呈(絕對相關系數R2為0.838)線性關系。即當道砟集料的粒徑分布范圍相同時，道砟集料的分維度越大，其抗剪強度越低，當道砟分維度指數增大1時，對應道砟集料的平均剪切應力約降低4.67%。結合圖1可知，道砟集料的抗剪性能與大粒徑顆粒的含量呈正比，這也就解釋了大粒徑道砟含量較高的級配在受剪作用時由于顆粒間較大的旋轉半徑及錯動位移導致的道砟顆粒剪脹位移量增大和平均配位數減小的現象，這說明該種級配會在荷載作用下產生較大變形，不利于道床穩定。

結合圖9、圖11及表4的數據可知，道砟集料中細碎顆粒含量C與道砟集料抗剪強度的絕對相關系數可達0.961，說明道砟集料的抗剪強度與道砟顆粒間細碎顆粒含量呈較強的負相關關系，道砟中細碎顆粒含量會明顯削弱道床剪切力學性能。文獻[18]的研究結果也支持這一結論。產生這一現象的原因主要包括兩方面，一是大粒徑道砟顆粒數量減少，宏觀上減弱了道砟顆粒間的極限抗剪強度；二是由于細碎顆粒存在于大顆粒間的空隙中，增大了顆粒間的配位數，在顆粒的相互作用過程中起到了“潤滑”作用，進而引起道砟剪脹位移變小。因此在線路的日常養護維修工作中，應密切關注道砟顆粒的粉化及臟污率。

4 結論

(1)三維視覺重建方法能夠較好還原碎石集料的復雜外形，以此為基礎建立的精細化碎石集料離散元數值模型能夠較準確模擬散體石料的相互作用機理，該套方法可為散體材料的精細化數值模擬提供可行的技術手段。

(2)級配分維度D與道砟剪切力學性能呈較強的負相關性。研究結果表明，較低分維度的道砟具有較好抗剪力學性能的同時，也會引起道床在荷載作用下變形量的增大，不利于道床穩定，因此，應在級配設計時，綜合考慮這兩方面因素。

(3)道砟中細碎顆粒含量C會明顯降低道床的抗剪力學性能，這主要是由于細碎顆粒在道砟的相互作用過程中起到了“潤滑”作用，增大了顆粒間的平均配位數。因此在線路的日常養護維修工作中應密切關注散體道床的臟污率。

(4)本文提出的道砟級配分形量化方法通過道砟級配分維度D及細碎顆粒含量百分比C兩項關鍵參數建立道砟集料級配特征與道砟集料剪切力學性能的量化關系，該成果可為道床質量狀態評估以及線路養護維修作業提供理論支撐。建議在相關級配設計規范及線路的日常養護維修中考慮采用該方法對原有道砟級配曲線進行優化。

參考文獻：

[1]SELIG E T,WATERS J M.Track Geotechnology and Substructure Management[M].London:Thomas Telford,1994:168-174.

[2]中華人民共和國鐵道部.TB/T 2140—2008 鐵路碎石道砟[S].北京:中國鐵道出版社,2008.

[3]LOBO-GUERRERO S,VALLEJO L E.Discrete Element Method Analysis of Railtrack Ballast Degradation during Cyclic Loading[J].Granular Matter,2006,8(3-4):195-204.

[4]INDRARATNA B,THAKUR P K,VINOD J S.Experimental and Numerical Study of Railway Ballast Behavior under Cyclic Loading[J].International Journal of Geomechanics,2010,10(4):136-144.

[5]INDRARATNA B,SUN Q D,NIMBALKAR S.Observed and Predicted Behaviour of Rail Ballast under Monotonic Loading Capturing Particle Breakage[J].Canadian Geotechnical Journal,2015,52(1):73-86.

[6]HYSLIP J P,VALLEJO L E.Fractal Analysis of the Roughness and Size Distribution of Granular Materials[J].Engineering Geology,1997,48(3-4):231-244.

[7]MANDELBROT B B.Measures of Fractal Lacunarity:Minkowski Content and Alternatives[M].Basel:Birkh?user,1995:15-42.

[8]MANDELBROT B B,PASSOJA D E,PAULLAY A J.Fractal Character of Fracture Surfaces of Metals[J].Nature,1984,308:721-722.

[9]楊瑞華，許志鴻，張超,等.瀝青混合料分形級配理論[J].同濟大學學報:自然科學版,2008,36(12):1 642-1 646.

YANG Ruihua,XU Zhihong,ZHANG Chao,et al.Fractal Gradation Theory of Asphalt Mixture[J].Journal of Tongji University:Natural Science,2008,36(12):1 642-1 646.

[10]楊群，郭忠印，陳立平，等. 級配碎石分形特征分析及其在路面工程中的應用[J].建筑材料學報,2006,9(4):418-422.

YANG Qun,GUO Zhongyin,CHEN Liping, et al.Fractal Analysis of Gradation Aggregate and Its Applications in Pavement Engineering[J].Journal of Building Material,2006,9(4):418-422.

[11]楊瑞華,龍斌,韋道軍.瀝青混合料集料的分形級配研究[J].西部交通科技,2010(6):26-29.

YANG Ruihua,LONG Bin,WEI Daojun.Fractal Characteristic of Grading of Asphalt Mixture[J].Western China Communications Science & Technology,2010(6):26-29.

[12]YU Q,BOLER H,MOAVENI M,et al.Characterizing Ballast Degradation Through Los Angeles Abrasion Test and Image Analysis[J].Transportation Research Record Journal of the Transportation Research Board,2014,2448:142-151.

[13]CUNDALL P A,STRACK O D L.A Discrete Numerical Model for Granular Assemblies[J].Géotechnique,1979,29(1):47-65.

[14]HUANG H,TUTUMLUER E.Discrete Element Modeling for Fouled Railroad Ballast[J].Construction and Building Materials,2011,25(8):3 306-3 312.

[15]HUANG H.Discrete Element Modeling of Railroad Ballast Using Imaging Based Aggregate Morphology Characterization[D].Champaign:University of Illinois at Urbana-Champaign,2010:76-79.

[16]趙金鳳,嚴穎,季順迎.基于離散元模型的土石混合體直剪試驗分析[J].固體力學學報,2014,35(2):124-134.

ZHAO Jinfeng,YAN Ying,JI Shunying.Analysis of Direct Shear Test of Soi-rock Mixture Based on Discrete Element Model[J].Chinese Journal of Solid Mechanics,2014,35(2):124-134.

[17]WANG Z,JING G,YU Q,et al.Analysis of Ballast Direct Shear Tests by Discrete Element Method under Different Normal Stress[J].Measurement,2015,63:17-24.

[18]NGO N T.Behavior of Fresh and Fouled Railway Ballast Subjected to Direct Shear Testing:Discrete Element Simulation[J].International Journal of Geomechanics,2014,14(1):34-44.

[19]NGO N T,INDRARATNA B,RUJIKIATKAMJORN C.DEM Simulation of the Behaviour of Geogrid Stabilised Ballast Fouled with Coal[J].Computers & Geotechnics,2014,55(1):224-231.

[20]蔣明鏡,王富周,朱合華.單粒組密砂剪切帶的直剪試驗離散元數值分析[J].巖土力學,2010,31(1):253-258.

JIANG Mingjing,WANG Fuzhou,ZHU Hehua.Shear Band Formation in Ideal Dense Sand in Direct Shear Test by Discrete Element Analysis[J].Rock and Soil Mechanics,2010,31(1):253-258.

[21]LIU J K,WANG P C,LIU J Y.Macro-and Micro-mechanical Characteristics of Crushed Rock Aggregate Subjected to Direct Shearing[J].Transportation Geotechnics,2015,2:10-19.

[22]FORBES K,NICOLLS F,JAGER G D,et al.Shape-from-silhouette with Two Mirrors and an Uncalibrated Camera[J].Lecture Notes in Computer Sicence,2006,3952:165-178.

[23]LU M,MCDOWELL G R.The Importance of Modelling Ballast Particle Shape in the Discrete Element Method[J].Granular Matter,2007,9(1-2):69-80.

[24]徐旸,高亮,井國慶，等.臟污對道床剪切性能影響及評估指標的離散元分析[J].工程力學,2015,32(8):96-102.

XU Yang,GAO Liang,JING Guoqing,et al.Shear Behavior Analysis of Fouled Railroad Ballast by DEM and Its Evaluation Index[J].Engineering Mechanics,2015,32(8):96-102.

[25]徐旸,高亮,楊國濤,等.道砟顆粒的精細化建模及對道床力學性能影響[J].鐵道學報,2014,36(9):73-78.

XU Yang,GAO Liang,YANG Guotao,et al.Fine Modelling of Ballast Grains and Influence on Mechanical Properties of Track Bed[J].Journal of the China Railway Society,2014,36(9):73-78.

[26]GAO L,LUO Q,XU Y,et al.Discrete Element Method of Improved Performance of Railway Ballast Bed Using Elastic Sleeper[J].Journal of Central South University,2015,22(8):3 223-3 231.