高度線性增加的多米諾依次傾倒后能量的傳遞

白海峰，唐永成，黃志斌，李文波，林爽拿，錢 靜，薛 迅

（華東師范大學物理系，上海200241）

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高度線性增加的多米諾依次傾倒后能量的傳遞

白海峰，唐永成，黃志斌，李文波，林爽拿，錢 靜，薛 迅

（華東師范大學物理系，上海200241）

摘 要：近似認為多米諾之間相互碰撞系統的角動量守恒，并且在各多米諾倒下的過程中，由于每塊多米諾繞其支點轉過的角度很小，因此而忽略在此過程中相互的作用力所做的功.由于能量傳遞與各多米諾的轉動角速度相關，故可以推出高度線性增加的多米諾傾倒后能量的傳遞情況.多次實驗角速度的實驗值都大于理論值，但是實驗值與理論值隨多米諾的序數增加下降趨勢與幅度大致相同.

關鍵詞：多米諾；能量傳遞；傾倒；線性

本文所研究的問題由2011年國際青年物理學家錦標賽（International Young Physicists’Tournament，簡稱IYPT）的比賽題目給出：

8.Domino amplifier

A row of dominoes falling in sequence after the first is displaced is a well known phenomenon.If a row of“dominoes”gradually increases in height，investigate how the energy transfer takes place and determine any limitations to the size of the dominoes.

多米諾骨牌是一種風靡一時的游戲，受到國內外廣大游戲愛好者的歡迎.它是一款集趣味性、智慧性、實踐性于一體的游戲.在傾倒的多米諾相互聯系的系統中，很小的初始能量就產生一連串的連鎖反應，人們把這種效應稱為多米諾骨牌效應或多米諾效應（Domino effect）.

我們注意到，國內外有關多米諾傾倒后能量傳遞問題的研究成果很多，但是有關高度逐漸增加的多米諾傾倒的研究成果較少.因此，我們認為這是一個很好的研究課題.

2011年國際青年物理學家錦標賽的這道題目中，“gradually increases in height”并未說明多米諾的高度是否隨著多米諾的序數線性增加，另外也可能被理解成圖1（a）和（b）的2種情形.

由于多米諾高度增加有多種情形，考慮到各種情形能量傳遞并不完全相同，在這里只討論多米諾高度隨序數線性增加的情況.

圖1 多米諾的高度增加形式

第一塊多米諾在受到微小的力的作用后，撞擊下一塊多米諾并使其傾倒，這樣循環往復，對于等高的多米諾而言，其傾倒的速度會與其所用多米諾的幾何尺寸、各多米諾之間的距離以及傾倒角度有關.在研究中建立了新的理論模型，并進行了大量實驗對理論模型進行了驗證，得出了較為滿意的結果.

1 理論模型

為了使計算簡單，考慮多米諾高度與其序數成正比的情形.設第1塊多米諾的高度為h，質量為m，多米諾的序數為i（i＝1，2，3…），多米諾厚均為d，寬均為w，多米諾之間的距離均為s，則第i塊多米諾的高度為

質量為

做出如下假設：

1）假設每塊多米諾與地面間的摩擦力足夠大，以至于它們和地面間都不會發生相對滑動.

2）忽略傾倒過程中多米諾相互間的摩擦.

3）近似認為整個多米諾系統在碰撞過程中角動量守恒.認為在多米諾相互碰撞的過程中相互間的作用力產生的力矩要遠大于外力（比如重力）的力矩，因此忽略系統外力力矩.

對于已經相互接觸的第N－1塊與第N塊多米諾之間，有幾何關系（圖2）如下：

對（3）式兩邊全微分有

即

圖2 第N－1與第N塊多米諾間的幾何關系

由（3）式和（5）式可得

令

易知φ（N，0，h，s，d）＝1.則此時所有已經倒下的多米諾的動能總和為

對于第N－1塊與第N塊多米諾之間的碰撞過程，角動量守恒，則有

聯立（5）式有

令

注意（9）式中ω′N－1為2塊多米諾碰撞前瞬間第N－1塊的角速度，前面所說的ωN－1為碰撞后的角速度.

由此，在這次碰撞中損失的能量為

即

令

傾倒的全部N塊多米諾由于碰撞損失的能量為

第N－1塊多米諾傾倒過程中機械能守恒，則有

得

這就是傾倒初角速度的遞推公式，其中有ω10＝0.

由此，各塊多米諾傾倒的初角速度只與N，h，s，d有關，于是有

傾倒的全部N塊多米諾由于碰撞損失的能量可以重新寫成更為簡潔的形式：

另外，從第N－1塊多米諾碰撞第N塊多米諾（稱t1時刻），到第N塊多米諾碰撞第N＋1塊多米諾（稱t2時刻）的過程中，θN－1從

變化到

將后續實驗中的參量代入繪出A（N）與B（N）的散點圖，如圖3所示，圖中所用參量：h＝6cm，s＝4cm，d＝0.8cm.

圖3 A（N）與B（N）的散點圖

由圖3可以看出，從t1時刻到t2時刻，在實驗所給定的參量下θN－1的相對變化極小，因此認為在這個過程中，第N－1塊多米諾對第N塊多米諾所做的功可忽略不計.

由此還可以看出，在實驗所給定參量的條件下，兩者間的相對滑動所消耗的能量也很小，所以忽略摩擦力的影響.

再來看對多米諾大小的限制.容易得到：

要使多米諾的連續碰撞不會中止，那么第N－1塊多米諾對第N塊多米諾的碰撞傳遞給第N塊的能量，應至少能使第N塊的重心到達和其支點的同一豎直平面內，情形如圖4所示.則有

即

由（13）式則有

圖4 多米諾的碰撞能量傳遞

2 實驗驗證

可以看出，（12）式的導出，既包括了第N－1塊多米諾與第N塊的碰撞過程，又包括了第N－1塊多米諾的傾倒過程，并且ωN0在實驗中較容易測量，所以可以利用實驗來驗證（12）式遞推關系.

利用市售的玩具多米諾骨牌進行加工后，成為符合實驗要求的多米諾.用不同規格的多米諾做了多次實驗.

用Us－1011型DES光電門傳感器測多米諾剛開始倒下時的擋光時間，進而計算出所求ωN0.表1為其中1次測量的實驗數據和理論值的比較.第1塊多米諾大小為：3.20cm×0.80cm× 6.00cm，多米諾之間的距離為4.00cm.

根據表1數據繪出的實驗值和理論值的對比圖如圖5所示.

表1 實驗值與理論值的對比

圖5 實驗值與理論值的對比圖

多次實驗的實驗值都要比理論值要大，但是實驗值與理論值隨N下降趨勢與幅度大致相同.我們認為造成該現象的原因可能是對于第N－1塊向第N塊所做的功估計不足，導致理論的初角速度小于實際的初角速度.另外，實驗中用光電門傳感器來測多米諾剛開始倒的擋光時間，進而估算其倒下的初角速度，該方法容易產生誤差.綜上所述，理論計算和實驗方法都使實驗值大于理論值.但是我們認為實驗結果已經能夠很好地驗證了理論模型.

3 結 論

近似認為多米諾之間相互碰撞系統的角動量守恒，并且在各多米諾倒下的過程中，由于每個多米諾繞其支點轉過的角度很小，因此忽略在此過程中相互的作用力所做的功.由于能量傳遞與各多米諾的轉動角速度相關，故容易知道高度線性增加的多米諾傾倒后能量的傳遞情況.理論和實驗符合得并不是非常好，我們認為造成這一現象的主要原因是對上述兩點的近似處理.

參考文獻：

［1］ van Leeuwen J M J.The Domino effect［J］.Am.J.Phys.，2010：78（7）：721－727.

［2］ Stronge W J.The domino effect：a wave of destabilizing collisions in a periodic array［J］.Proc.R.Soc.Lond.A，1987，409：199－208.

［3］ Stronge W J，Shu D.The domino effect：successive destabilisation by cooperative neighbours［J］.Proc.R.Soc.Lond.A，1988，418：155－163.

Energy transfer of toppling dominos whose heights increased linearly

BAI Hai－feng，TANG Yong－cheng，HUANG Zhi－bin，LI Wen－bo，LIN Shuang－na，QIAN Jing，XUE Xun
（Department of Physics，East China Normal University，Shanghai 200241，China）

Abstract：The angular momentum of domino collision system was conserved approximately.In the falling process of the dominoes，the turn angle of each domino around the pivot was small，the work of the interaction force could be ignored.The energy transfer among the dominoes whose height increased linearly could be obtained because the energy transfer could be associated with the rotation velocity of the dominos.Experimental results indicated that the angular velocity was greater than the theoretical value，but the trend and range were roughly the same.

Key words：domino；energy transfer；toppling；linearly

通訊作者：薛 迅（1963－），男，山東青島人，華東師范大學物理系教授，博士，研究方向為粒子物理與場論.

作者簡介：白海峰（1990－），男，山西忻州人，華東師范大學物理系2009級本科生.

收稿日期：2015－12－28

中圖分類號：O313

文獻標識碼：A

文章編號：1005－4642（2016）03－0024－04

［責任編輯：任德香］