這些圖形是平行四邊形嗎

□朱元生

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這些圖形是平行四邊形嗎

□朱元生

平行四邊形的主要內容是平行四邊形的性質和判定，而判定平行四邊形常有三種思路：①從對邊考慮：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；②從對角考慮：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；③從對角線考慮：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.如果把這些條件重新組合，那么得到的四邊形還是平行四邊形嗎？

1.一組對邊平行，另一組對邊相等

如圖1，在△ABC中，AB＝AC，D、E分別是邊AB、AC上的中點，容易證得DE∥BC，BD＝CE.在四邊形BCED中，雖然有DE∥BC，BD＝CE，即一組對邊平行，另一組對邊相等，但由于DE≠BC，顯然四邊形BCED不是平行四邊形.

圖1

結論：一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形.

點評：要說明一個命題成立，需要經過推理論證，而要說明一個命題不一定成立，只需舉出一個反例即可.

2.一組對邊平行，一組對角相等

如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

圖2

證明：連接BD，

∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.在△ABD和△CDB中，

∴△ABD≌△CDB，

∴AB＝CD.

∵AB∥CD，AB＝CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.

結論：一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形.

3.一組對邊相等，一組對角相等

如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一點，且BD≠DC，作△ADE，使AE＝DC，DE＝AC，則△ADE≌△DAC，

∴∠ACD＝∠DEA，AC＝DE.

而∠B＝∠ACD，AB＝AC，

∴∠B＝∠DEA，AB＝DE.

圖3

在四邊形ABDE中，雖然有AB＝DE，∠B＝∠DEA，即一組對邊相等，一組對角相等，但由于BD≠DC，即BD≠AE，因此四邊形ABDE不是平行四邊形.

結論：一組對邊相等，一組對角相等的四邊形不一定是平行四邊形.

4.一組對角相等，一條對角線平分另一條對角線

這個問題要分兩種情況討論：

（1）一組對角相等，連接這組對角頂點的對角線被另一條對角線平分.

如圖4，直線MN是線段AB的垂直平分線，垂足為O，在MN上取兩點C、D，使C、D在線段AB的兩側，且OC≠OD，連接AC、BC、AD、BD，在四邊形ADBC中，容易證得∠CAD＝∠CBD，且OA＝OB，即一組對角相等，連接這組對角頂點的對角線被另一條對角線平分，但由于OC≠OD，所以四邊形ADBE不是平行四邊形.

圖4

結論：一組對角相等，連接這組對角頂點的對角線被另一條對角線平分的四邊形不一定是平行四邊形.

（2）一組對角相等，連接這組對角頂點的對角線平分另一條對角線.

如圖5，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，∠BCD＝∠BAD，且OB＝OD，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

圖5

證明：假設四邊形ABCD不是平行四邊形，由于OB＝OD，則OA≠OC，不妨設OA＞OC，在OA上取一點E，使OE＝OC，連接BE、DE，容易證得四邊形BCDE是平行四邊形，則∠BED＝∠BCD，而∠BED＞∠BAD，故∠BCD＞∠BAD，這與已知條件∠BCD＝∠BAD相矛盾，這說明四邊形ABCD不可能不是平行四邊形，從而四邊形ABCD一定是平行四邊形.

結論：一組對角相等，連接這組對角頂點的對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形.

點評：要證明一個命題成立，如果直接證明有一定的難度，可先假設它的反面成立，即命題不成立，經過推理得出矛盾，說明它的反面不成立，從而得到原命題成立，這種證明方法稱為反證法.

親愛的同學們，你是否體會到要判別一個四邊形是不是平行四邊形，一定要有根有據，推理論證，決不能憑空想當然.現再舉出兩種情況，請你試一試，你能判別它是否是平行四邊形嗎？如果是平行四邊形，請給出證明；如果不是平行四邊形，請舉出反例.

1.一組對邊平行，一條對角線平分另一條對角線.

2.一組對邊相等，一條對角線平分另一條對角線.

參考答案：1.是平行四邊形；2.不一定是平行四邊形.

插圖：楊明