隨機利率下延期m年的n年定期壽險精算模型

李 浩，蘇 婷，劉兆鵬，李 杰

隨機利率下延期m年的n年定期壽險精算模型

李 浩，蘇 婷，劉兆鵬，李 杰

宿州學院數學與統計學院，安徽宿州，234000

采用反射布朗運動和擬高斯分布聯合刻畫利率隨機性，并結合Makeham死亡力假定，研究了連續型延期m年的n年定期壽險的均衡凈保費與責任準備金，得到了相應的解析式。結果表明：此方法可以為保險公司在壽險產品的價格厘定與風險管理方面提供理論參考。

隨機利率；延期壽險；均衡凈保費；擬高斯分布

近年來，保險精算研究領域的重點與熱點問題當屬利率的隨機性。由于利率具有隨機性，因而選取合理的隨機利率已成為當前研究壽險的主要方法與手段。對于延期壽險而言，最具代表性的險種是延期m年的n年定期壽險，它符合養老保險的基本假設要求。此類險種在保險市場上占有較高的份額，常見于職工的退休養老保險等。

壽險的躉交純保費在厘定過程中，受死亡率與利率等因素影響，且具有較強的隨機性，因為它們都是隨著時間變化而變化的。對于退休養老保險中的被保險人，年齡一般處于60歲及以上，相比較其他普通壽險，其死亡率波動性要輕微，所以本文對死亡率的隨機性選取了Makeham死亡力假定，重點則是對利率的隨機性進行刻畫。

通過出售大量的保單，可以分散由于死亡率產生的風險，但對于利率的隨機性風險卻是無效的。從這方面看，利率比死亡率更顯重要。在刻畫利率隨機性方面，國內外學者所作的主要研究工作有：1990年，Frees研究了可逆M A（1）利率下生存年金精算現值［1］；1992年，Buhlmann研究了利息力獨立同分布的生存年金一、二階矩［2］；1997年，Habeman利用自回歸AR（2）模型計算生存年金［3］；2008年，郭春增采用反射布朗運動和Gamma分布聯合建立了半連續壽險精算模型［4］；2009年，高井貴研究了變參數標準Wiener過程下的半連續壽險精算模型［5］；2010年，孫榮采用自回歸方法下的Vasicek利率模型研究了養老金計劃多重衰減模型［6］；2010年，信恒占利用反射布朗運動和Poisson分布聯合建立了連續型增額壽險精算模型［7］；2012年，郭欣利用服從正態分布、布朗運動的利息力分析了完全離散型壽險精算模型［8］等。總之，對利率的隨機性建模有兩種方法：一是對利息力建模；二是對利息力累積函數建模。從另一角度來看，建模的方法可劃分為單重隨機性與雙重隨機性，即刻畫利率的隨機過程的數量與種類不同。

本文在前人工作的基礎上，對利息力累積函數采用反射布朗運動和擬高斯分布聯合建立了連續時間情形下的利率模型，在此基礎上討論延期m年的n年定期壽險的均衡凈保費與責任準備金的計算，并在Makeham死亡力假定下得到其解析表達式。

1 模型建立

現考慮年齡為X歲的投保人為被保險人投保了一份延期m年的n年的定期壽險，即保險人只對被保險人在（m，m＋n）歲之間發生的保險責任范圍內的死亡事故給予死亡賠付的險種。當前，此類險種在保險市場上占有較高的份額，常見于職工的退休養老保險。用（x）表示年齡為X的人，T（x）表示（x）的剩余壽命，則T（x）的概率密度函數為fT（x），有fT（t）＝tpx·μx＋t，S（x）為（x）的生存函數，即表示在未來年仍生存的概率。其中，精算符號tpx表示為（x）在未來t年內生存的概率，μx＋t表示為（x）在x＋t年處的死亡力。

假設利息力累計函數δt滿足：

其中，δ為無風險利率，β與γ為調節參數，w（t） 為在原點反射布朗運動，G（t）為服從G－（μ，θ）的擬高斯分布，并且δ、w（t） 及G（t）相互獨立。則貼現函數V（t）可表示為：

證：由于G（t）為服從G－（μ，θ）的擬高斯分布，則G（t）的密度函數為：

2 躉繳凈保費的計算

由Arrow所提出的風險轉移應遵循公平原則，是指保險人收取的凈保費應該恰好等于未來給付的保險賠付金，即所謂的凈均衡原理。根據此原理，保險業經營中一般采用躉繳的形式。

本文討論的是連續型的壽險精算模型，要求死亡保險金在被保險人死亡當時給付賠付金。以表示延期m年的n定期壽險死亡即刻躉繳凈保費，則有：

假設當死亡力服從Makeham形式時，有：

其中，B＞0，A辰－B，c＞1，x辰0。生存函數為：

則

將（4）（5）式代入（3），可得：

3 均衡純保費的計算

以Y表示每年給付額為1的連續型延期m年的n定期生存年金，則其精算現值用m表示，則：則連續型延期m年的n定期壽險的均衡純保費以表示，有：

4 風險分析

由于方差可以合理測度均衡純保費，因此基于擬高斯分布情形，給出延期m年的n定期壽險的均衡純保費，可以有效度量其存在的風險。為此，首先計算均衡純保費的二階矩，有：于是均衡純保費的方差為：

5 結論

養老保險是近年來社會關注的重要民生問題，隨著我國人口老年化問題越發( )嚴重，保險公司在厘定養老保險費時，需要考慮利率與死亡率的隨機性。本文以反射布朗運動和擬高斯分布聯合建立利率模型，在Makeham死亡力假定下，得到連續型延期m年的n年的定期壽險的均衡凈保費與責任準備金的解析表達式，并給出均衡純保費的方差，對保險公司在壽險產品的價格厘定與風險管理方面具有一定的參考價值。

［1］Frees E W.Stochastic Life contingencies with solvency considerations［J］.Transaction of Societies of Actuaries，1990，42 (1):91-148

［2］Bühlmann H.Stochastic discounting［J］.Insurance:Mathematics and Economics，1992，11(2):113-127

［3］Haberman S.Stochastic investment returns and contribution rate risk in a defined benefit pension scheme［J］.Insurance: Mathematics and Economics，1997，19(2):127-139

［4］郭春增，王秀瑜.隨機利率下的壽險精算模型［J］.統計與決策，2008(9):53-55

［5］高井貴，趙明清，趙曉燕.變參數隨機利率下的半連續壽險精算模型［J］.統計與決策，2009(8):12-14

［6］孫榮.基于隨機利率的養老金計劃多重衰減模型與精算［J］.統計與決策，2010(22):16-17

［7］信恒占.隨機利率下的連續型增額壽險精算研究［J］.統計與決策，2010(7):28-32

［8］郭欣.隨機利率下的完全離散型壽險精算模型［J］.統計與決策，2013(6):77-79

［9］尚勤，秦學志.隨機死亡率和利率下退休年金的長壽風險分析［J］.系統工程，2009，27(11):56-61

［10］張穎，黃順林.基于隨機死亡率與利率模型下的生存年金組合風險分析［J］.系統工程，2010，28(9):15-19

［11］Olivieri A.Uncertainty in mortality projections:an actuarial perspective［J］.Insurance:Mathematics and Economics，2001，29(2):231-245

［12］Lee R D，Carter L R.Modeling and forecasting U.S.mortality［J］.Journal ofthe American Statistical Association，1992，87:659-671

［13］東明.隨機利率下的聯合壽險精算模型［J］.系統工程，2006，24(4):68-72

(責任編輯:汪材印)

A

1673－2006（2016）04－0106－03

10.3969／j.issn.1673－2006.2016.04.027

2016-01-18

宿州學院教學研究項目“應用型本科高校枟壽險精算學枠的教學實踐與探索”（szxyjyxm201321）；宿州學院產學研合作培育項目“基于概率與統計方法的礦區突水水源判別研究及其應用”（2014cxy04）；宿州學院優秀青年人才基金項目“隨機模型在金融衍生品定性中的應用”（2014yyb24）；宿州學院校級創新訓練項目“模型及其兩基金分離定理的應用研究”（AH201410379022）。

李浩（1981－），安徽全椒人，碩士，助教，主要研究方向：金融數學。