引入蝙蝠算法的最大似然DOA估計

馮舒 張志成 石要武

摘 要： DOA估計理論的傳統算法中，最大似然DOA估計方法能準確地估計出目標方向角度，性能優良，并且具有很好的穩定性。與MUSIC及其他的子空間分解類算法相比，在信噪比較低、小快拍信號時，最大似然DOA估計算法優勢更為突出。但是由于其自身算法復雜度較高的缺陷而礙于工程上的應用。針對這一問題，將蝙蝠算法與最大似然算法相結合，應用于信號的DOA估計，利用蝙蝠搜索算法搜索路徑優、尋優能力強的優點，快速搜索到似然函數的全局最優值，優化多維非線性的估計譜函數。仿真結果表明，蝙蝠搜索算法有效地克服最大似然DOA估計中存在的運算量大，計算復雜度高等問題，通過與其他經典的仿生智能優化算法相比較，該方法體現出更好的收斂性。

關鍵詞： DOA估計； 最大似然估計； 蝙蝠算法； 仿生智能算法

中圖分類號： TN911?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2016）08?0026?04

Introduction of bat algorithm into maximum likelihood DOA estimation

FENG Shu， ZHANG Zhicheng， SHI Yaowu

（College of Communication Engineering， Jilin University， Changchun 130012， China）

Abstract： The maximum likelihood （ML） direction?of?arrival （DOA） method can estimate the angle of object direction accurately， and has an excellent performance and high stability， which is the better one in the traditional algorithms based on DOA estimation. Compared with MUSIC and other subspace decomposition class methods， the ML DOA estimation algorithm has more outstanding superiority when signal?to?noise ratio （SNR） is lower and snapshot signal is smaller. However， it is blocked in the engineering application due to its high complexity. To reduce the heavy computational burden of ML method and make it more suitable for engineering applications， the bat algorithm and the maximum likelihood algorithm are integrated to estimate signal DOA. The advantages of optimal search path and strong search capability of the bat algorithm are used to search the global optimal value of likelihood function quickly. The simulation results demonstrate that the bat algorithm can overcome the problems existing in the maximum likelihood DOA estimation， such as large amount of calculation and high computation complexity. Compared with other typical bionic intelligent algorithms， this method has better convergence.

Keywords： direction of arrival estimation； maximum likelihood； bat algorithm； bionic intelligent algorithm

0 引 言

陣列信號處理是現代信號處理的一個重要分支，其研究主要集中于對空間目標的波達方向（Direction of Arrival，DOA）的估計，在通信、雷達、聲納等眾多軍事相關領域應用廣泛[1]。1988年，最大似然參數估計理論第一次被Ziskind L與Max M用于信號DOA估計，目前已有大量的研究成果。伴隨學者們進一步的研究發現，最大似然算法（Maximum Likelihood，ML），MUSIC等典型的DOA估計算法都具有估計性能優良和很好的穩定性，但當信噪比較低，快拍數據較小時，子空間算法的估計性能明顯不如ML。而且，當信源為相干信號時，子空間分解類算法需要加以特別處理，否則失效，ML卻依然能對信號目標的方向角作出有效地估計。但用ML進行DOA估計時，由于尋求其全局最優解，不可避免的多維非線性特性和計算復雜度，不易求解，收斂性、實時性非常差，不利于工程應用，這也是最大似然算法遇到的最大的瓶頸[1?2] 。

針對最大似然DOA估計問題的復雜性，一些研究學者將仿生智能算法應用于信號的DOA估計，取得了一些效果。2002年，Li M將遺傳算法應用于ML?DOA估計，首次實現了仿生算法的ML?DOA估計[3]。但結合后的算法在DOA估計的過程中容易產生過早收斂等問題影響估計值的準確性[4]。2006年，Boccato等人進一步將仿生智能優化算法中的微分進化算法（DE），粒子群優化算法（PSO）和克隆選擇算法（CLONALG）應用于最大似然的DOA估計上[5]，并將它們的性能做比較，再次驗證了仿生智能算法對最大似然DOA估計的有效性。2013年，李俊武等利用粒子群算法做最大似然DOA估計，性能表現良好，但由于粒子群算法自身的收斂慢，容易陷入局部最優解，在求解多個方向角同時估計時仍存在不足[6]。

蝙蝠算法（Bat Algorithm，BA）是2010年由劍橋大學的Yang Xin?she依據蝙蝠的回聲定位行徑而提出的仿生智能優化算法[7]。它在某些方面結合了粒子群優化算法、遺傳算法以及和聲搜索算法的優點，加以回聲定位基礎上的新特色，具有發揮更大作用的潛能。基于蝙蝠算法模型簡單，搜索路徑優，求解復雜問題時優化速度快等優點，將蝙蝠算法應用于最大似然算法DOA估計，解決最大似然DOA估計存在的計算量大，容易陷入局部最優等問題，將它與其他經典的仿生智能算法作比較，驗證該算法在信噪比較低、相干信源等條件下仍然能準確地估計出目標信號的方向角。

1 最大似然算法的DOA估計

1.1 陣列信號模型

考慮有一個由M個陣元組成的均勻線陣接收信號模型，相鄰陣元間距為d，陣元是均勻的且各向同性的，有P個窄帶遠場信號源以平面波入射，入射波長為[λ]。并假定噪聲為高斯白噪聲，其在空間和時間上均與入射信號相獨立，均值為0，方差為[σ2n]。則陣列在k時刻的輸出數據矢量為[8?9]：

[X（k）=A（θ）S（k）+N（k）=i=1Pa（θi）si（k）+N（k）] （1）

式中：[S（k）]表示P維目標信源復振幅矢量；[N（k）]表示M維加性噪聲復矢量；[A（θ）]表示[M×P]維陣列流型矩陣；

[A=a1（θ1），a2（θ2），…，aP（θP）] （2）

式中，[a（θi）]結構如下：

[a（θi）=1M1，ejφ（θi），…，ej（M-1）φ（θi）T， i=1，2，…，P] （3）

式中：[φ（θi）=2πdλsin θi]，[θi∈-π2，π2]。

1.2 最大似然算法測向原理

假設噪聲為平穩、空間和時間均不相關的高斯白噪聲，均值為0，方差為[σ2]；源信號為未知的確定性信號，則有：

[E（X（t））=AS（t）] （4）

[cov（X（t））=σ2I] （5）

由概率論的理論分析可得，幾個同分布并且相互獨立的高斯隨機過程的概率密度函數如下：

[f=t1（（2π）Mσ2I）12exp（-12σ2X（t）-AS（t）2）] （6）

這里“[·]”表示求矩陣的Frobenius范數，“[·]”表示求行列式的值。

整理可得，ML?DOA估計譜函數為：

[P（θ）=min1MNi=1MX（ti）-A（θ）AH（θ）A（θ）-1AH（θ）X（ti）] （7）

經過數學推導后可得代價函數：

[θ=argmaxθ tr{PA（θ）R}] （8）

式中：tr（）表示對矩陣的求跡運算；正交投影矩陣：

[PA（θ）=A（θ）（AH（θ）A（θ））-1AH（θ）] （9）

陣列時域采樣空間的自相關矩陣的估計值[10?11]：

[R=1Mi=1MX（i）XH（i）] （10）

求解目標函數式（8）的最優值，由于該函數是關于入射方向角[θ1，θ2，…，θD]的多維非線性函數，通常具有復雜的局部極值結構，計算量大且找到全局最優解并不容易。

2 基于蝙蝠算法的最大似然DOA估計方法

2.1 基本蝙蝠算法

蝙蝠算法（BA）是一種模擬蝙蝠利用回聲定位來搜索獵物而提出的隨機搜索優化算法。

算法實現優化的過程是：在搜索空間中，所有蝙蝠具有不同的脈沖頻率。起初，它們用較低的脈沖頻度和較大的脈沖音強散布在空間中以尋找獵物，搜索到獵物（當前最優解）時，減小脈沖音強并且提高脈沖頻度。將當前搜索到的位置和處于較優位置的蝙蝠進行比較，使蝙蝠飛向較優的位置，經過多次調整，蝙蝠個體都會處于獵物的位置（最優解）[12]。當前蝙蝠所具有的飛行速度取決于脈沖頻率，選擇移動蝙蝠的位置概率取決于脈沖頻度和音強。

2.2 基于蝙蝠算法的最大似然DOA估計

在本節，將蝙蝠算法應用于空間信號的DOA估計問題，每一只蝙蝠位置 [Xi（i=1，2，…，n）]轉化為[θij（t）（j=1，][2，…d；i=1，2，…，n）]，代表待估計方向角在第t次迭代過程中的n個解，d為相應的搜索維數。算法的搜索范圍為（-π/2，π/2）。

對搜索空間中每個個體的速度[Vi]、脈沖頻率[fi]（第i只蝙蝠的脈沖頻率，開始時隨機分配從[[fmin，fmax]]平均得出），脈沖速率[ri]和聲音響度[Ai]初始化。并在相應的搜索范圍內，隨機產生解集[θij][（j=1，2，…，d；i=1，2，…，n）]，有：

[θij=θjmin+rand（0，1）（θjmax-θjmin） （j=1，2，…，d；i=1，2，…，n）] （11）

式中：[θjmin]為搜索范圍的最小值，[θjmax]為其中的最大值。

ML的譜函數作為待搜索的目標函數，定義為：

[fitnessi（θji）=trA（θji）AH（θji）A（θji）-1AH（θji）R， j=1，2，…，d；i=1，2，…，n] （12）

評價計算出的目標函數值，找出當前最優解[θj?。]

蝙蝠個體的更新，通過如下公式調整頻率產生新的解；

[fi=fmin+（fmax-fmin）β] （13）

[Vi（t+1）=Vi（t）+（θij（t）-θj*）fi] （14）

[θij（t+1）=θij（t）+Vi（t）] （15）

其中，[β∈0，1]是一個隨機向量。

局部搜索時，產生一個隨機數[rand1]，如果[rand1>ri]從最佳解集中選一個解[θjold]，在其附近形成一個局部解[θjnew]；

[θjnew=θjold+εA（t）] （16）

其中：[ε∈-1，1]是一個任意數字；[A（t）≤Ai（t）<]表示所有蝙蝠在這一迭代里的平均響度。

評估當前的解，當隨機數[rand2]<[Ai]并且[fitness（θji）>fitness（θj*）]，接受這個新解，進行下一次迭代。同時，隨著迭代過程更新[ri]和[Ai]，增大[ri]，減小[Ai]，公式如下：

[Ai（t+1）=αAi（t）] （17）

[ri（t+1）=ri（0）[1-exp（-γt）]] （18）

其中，[α]和[γ]是常數，[0<α<1，γ>0]。

按照以上算法進行多次迭代，當滿足了終止條件（迭代次數為L或目標函數值達到某個閾值）時，最終將得到適應度最高的一組解，作為方向角的估計值[θ]。

3 實驗與結果

3.1 收斂性分析

收斂速度的快慢是評價算法性能的重要指標之一。為了驗證蝙蝠算法在最大似然DOA估計上的可行性，選擇了3種常見的仿生智能算法，包括粒子群優化算法（PSO），微分進化算法（DE）和克隆選擇算法（CLONALG），將它們分別與ML結合做DOA估計。利用Matlab仿真實驗平臺進行分析算法的收斂性。

實驗條件：陣列模型采用陣元數為10的均勻線陣，信號載波波長的一半作為陣元之間的間距，快拍數為100，噪聲為0 dB的高斯白噪聲，搜索線陣范圍為（-90°，90°），最大迭代次數為100，利用仿真平臺進行 100 次獨立的 Monte Carlo 實驗，取實驗結果的平均值。

圖1表示信噪比分別在-0 dB和-15 dB，入射角度分別為（20°，30°）的兩個信號源時，4種仿生智能算法的ML?DOA估計，適應度函數值隨迭代次數的變化情況。其中，種群數量均為60，算法的其他參數做相應地調整。從結果可以得出，蝙蝠算法用最少的迭代次數達到最大似然估計函數的最大適應度值，較DE，PSO和CLONALG有更好的收斂性，明顯提高了收斂速度，在信噪比較低的情況下仍然有效。

其他算法的收斂性的比較

當信源數目增加時，ML的計算量也隨之呈現大幅度增加。圖2表示三個信號源的入射角度為（20°，30°，50°）時，信噪比為0 dB，種群數量為100，四種仿生智能算法的ML?DOA估計，適應度函數值隨迭代次數的變化情況。

隨著入射信號數量的增加，四種算法都需要更多的迭代次數以滿足找到最優解，其中克隆選擇算法（CLONALG）更容易陷入局部收斂。從整體結果分析，所應用的蝙蝠算法較DE，PSO和CLONALG仍具有更快的收斂速度，優化能力更明顯。

在相干信號源的條件下大部分子空間分解類算法基本失效，ML卻仍能有效地估計出方位。圖3給出了兩個相干信號的入射角時（20°，30°），信噪比為0 dB， 種群數量為100，四種仿生智能算法的ML?DOA估計、適應度函數值隨迭代次數的變化情況。從結果可以看出，在相干信號的入射條件下，四種仿生智能算法都可以找到似然函數的最優解，其中，蝙蝠算法需要更少的迭代次數就能得到最優解，收斂性能更優越。

其他算法的收斂性的比較

其他算法的收斂性的比較

4 結 論

本文針對最大似然DOA估計存在運算復雜度高，計算量大等問題，提出了一種基于蝙蝠算法的最大似然DOA估計算法。對所提出的蝙蝠算法和最大似然算法的結合給出了完整詳細的步驟，并進行了相應的仿真實驗。實驗結果表明，本文提出的算法在保持了最大似然算法的高分辨性能的同時減少了計算量，與其他較受歡迎的經典仿真智能算法相比，具有控制參數少、優化速度快并具有潛在并行性和分布式等特點。該算法有著理想的收斂速度，有利于解決此類DOA估計問題，值得進一步研究。

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