多小波的復制降噪方法

梁鵬

摘要：伴隨多小波理論的完善，多小波的圖像降噪技術得到較多的實際應用。目前的大部分多小波降噪技術，會采用預處理函數的方法，本文給出了一種新的多小波圖像降噪方法——圖像復制法，詳細介紹了算法在圖像分解和重構過程的具體流程。用這種方法對帶高斯噪聲圖像進行了實驗模擬，并與D4小波的降噪效果進行了比較，獲得了較D4小波更理想的實驗結果。

關鍵詞：多小波 多小波濾波器 數據融合 多小波圖像降噪

中圖分類號：TP751.1 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2016）08-0053-02

1 背景來源

通信技術的發展致使圖像在科學研究、軍事和生活中應用越來越廣泛。小波及其逆變換在小波頻域中擁有較傅里葉變換有的高頻處理能力，并且小波還可以對高頻率部分逐次進行分解，由此，在圖像處理時，小波變換較傅里葉變換更有優勢。但是小波變換也存在一些缺點，比如光滑性和緊支性的統一等，由此，為解決小波的缺點，便產生了多小波。在小波變換基礎上發展起來的多小波變換，彌補原有的缺點，還將原來高頻處理的相關優點繼承下來。更加重要的是：圖像處理中保持信號不變的正交性、易于圖像邊緣處理的對稱性、濾波函數導數運算的光滑性、保持濾波函數有限可操作性質的緊支性等幾個性質很好的統一融合起來[1，2]。多小波的濾波器和小波的濾波器有所不同[5]，所以每次進行多小波分解之前必須進行預處理。利用預處理函數對圖像進行處理的預處理算法是多小波進行圖象處理一般采用的方法[1]。文章針對預處理算法中的計算次數多、計算量大的缺陷，給出一種全新算法—復制法，并在實驗部分將該算法進行了比較分析。

2 多小波變換的數學理論基礎

多小波擁有多個小波母函數，同時擁有與母函數相對應的有多個尺度函數。多小波與單小波變換一樣滿足MRA（多分辨率分析）。多分辨率分析是小波變換可用于圖像處理的基本理論依據，也是理解和構造分析小波的總體指導。具體的定義如下：

3 多小波的復制降噪方法

多小波的復制降噪方法的核心思想具體如下：利用GHM多小波濾波器函數對帶有高斯噪聲的數字圖像分解時，和單小波變換一樣，一次只處理圖像矩陣的一行（一列），為了能夠使單行（列）的數據能夠與多小波的濾波器矩陣進行卷積運算，將圖像矩陣的該行（列）數據重新復制保存，以變成兩行（列）數據。上述操作使圖像矩陣由原來的n*n矩陣變成了2n*2n的矩陣。在利用多小波逆變換進行圖像的重建時，需要將2n*2n的矩陣變回原來的n*n圖像矩陣，為達到目的，文中使用冗余的象素點進行數據融合的處理技術。

3.1 復制降噪方法的圖像分解

設L=（），其中為GHM多小波變換低通濾波器矩陣（k=1，2，3，4）中的4個濾波矩陣的第一行數據，為GHM多小波變換低通濾波器矩陣（k=1，2，3，4）中的4個濾波矩陣的第二行數據；設H=（），其中為GHM多小波變換高通濾波器矩陣（k=1，2，3，4）中的4個濾波矩陣的第一行數據，為GHM多小波變換高通濾波器矩陣（k=1，2，3，4）中的4個濾波矩陣的第二行數據。設表示帶噪聲的數字圖像的矩陣，其中N為2的次冪。則復制降噪方法具體操作如下：

（1）將GHM多小波低通濾波矩陣、高通濾波矩陣與從行方向上小波卷積分解，在進行卷積分解每一行時，將其數據復制為矩陣，以使與濾波矩陣和卷積分解。計算后得到4個矩陣：，，和。其中小波分解運算。

（2）將上述4個矩陣記為L1、L2、H1和H2，并對它們進行列方向上的同樣的多小波濾波卷積運算。濾波矩陣對L1分解的4個小波系數矩陣為L1，L1，L1和L1。分別記為L1L1、L1L2、L1H1和L1H2。對L2進行分解操作得到的4個小波系數矩陣記為L2L1、L2L2、L2H1和L2H2。高通濾波器組對H1分解得到4個小波系數矩陣記為H1L1、H1L2、H1H1和H1H2；對H2分解得到的4個小波系數矩陣記為H2L1、H2L2、H2H1和H2H2。

3.2 復制降噪方法的圖像重建

經過第一部分中使用GHM多小波復制降噪法分解后，將產生的16個小波系數圖像子矩陣分為四類。第一類：L1L1、L1H1、H1L1和H1H1；第二類：L1L2、L1H2、H1L2和H1H2：第三類：L2L1、L2H1、H2L1、和H2H1；第四類：L2L2、L2H2、H2L2和H2H2。將其分別記為A、B、C、D。對他們按以下步驟處理：

（1）A、B、C、D四類小波系數圖像矩陣均用濾波矩陣進行列方向的反演。其中A、C類使用GHM多小波的濾波矩陣和得到的圖像矩陣記為l1（A）、h1（A）、l1（c）和h1（c）；B、D類使用GHM多小波的濾波矩陣和得到的圖像矩陣記為l2（B）、h2（B）、l2（D）和h2（D）。

（2）l1（A）和l2（B）采用基于小波變換的均值數據融合技術得到圖像矩陣l1（AB）。對h1（A）和h2（B），l1（c）和l2（D），h1（c）和h2（D）進行同樣的數據融合得到的圖像矩陣分別記為：h1（AB）、l2（CD）和h2（CD）。

（3）上述兩步是對處理過的小波系數圖像矩陣進行列方向上的反演重構和數據融合。數據融合是為了提高圖像的質量，而且也為小波系數圖像矩陣在行方向的重構處理做好鋪墊。行方向的反演重構與列方向類似，都是先小波逆變換，再進行融合。對上面得到的小波系數圖像矩陣l1（AB）和 h1（AB）進行行方向的反演重構得到n*n的圖像矩陣G（N，N）。對使用GHM多小波的濾波矩陣和進行同樣的處理得到n*n的圖像矩陣H（N，N）。兩個圖像矩陣進行均值型的數據融合即可得到消除高斯噪聲后的圖像F（N，N）。

在實際的圖像降噪處理中應先對分解后產生的16個矩陣塊數據進行基于3原則的統一閥值處理，然后再根據上述的方法進行重構。

4 實驗仿真分析

利用帶高斯噪聲的圖像檢驗文中提出的GHM多小波復制降噪方法的實驗效果。文中采用圖像的大小為256×256的且帶有白噪聲的圖像，進行了圖像降噪實驗。并將它和D4單小波進行比較。采用D4單小波的原因是其和GHM多小波函數的濾波器均有八個矩陣構成，結構相差不大。計算量也是一個數量級，能夠比較出之間的差別。對圖像進行分解時都采用了小波單層的分解方法。降噪方法采用的都是基于3原則的統一閥值法。實驗結果如圖1圖2圖3所示。

從圖1圖2圖3像的降噪效果可以看出本文提出的多小波算法處理的效果要比D4小波好，效果更加柔和。

參考文獻

[1]Vasily Strela， Peter Niels Heller. The Application of Multiwavelet Filterbanks to Image Processing [J]. IEEE TRANSACTIONS ON IMAGE PROCESSING..（1999） 548-563.

[2]Mukesh C .Motwani， Frederick C.Harris. Survey of Image Denosing Techniques [R]. （2001）.

[3]D. L. Donoho. De-noising by soft-thresholding [J]， IEEE Trans. Information Theory， （1995）， pp.613-627.

[4]Martin. Adaptive Wavelet Thresholding for Image Denoising and Compression [J]. IEEE TRANSACTIONS ON IMAGE PROCESSING.1532-1546.81493.

[5]JEFFREY S. GERONIMO. Fractal Functons and Wavelete Expansions Based on Several Scaling Functions [J]. JOURNAL OF APPROXIMATION THEORY（1994） 373-401.

[6]STEPHANE G.. MALLAT. Multifrequency Channel Decompositions of Images and Wavelet Models [J]. IEEE TRANSACTIONS（1989）2091-2110.