圓周率的計算方法及其MATLAB編程實現

羅洪斌 錢偉 馬梅玲

摘要：介紹圓周率的起源以及在各個時期的主要的近似計算方法的數學原理及代表人物，然后詳細地給出古典方法、萊布尼茲（Leibniz）公式、數值積分法，三種近似計算方法的數學原理及其推導過程，并結合現代數學計算軟件MATLAB編程實現算法過程，給出其運算過程及結果。并對三種計算方法進行具體分析，得到其相關結論。

關鍵詞：圓周率 近似計算 數學原理 MATLAB程序實現

中圖分類號：TP312 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2016）08-0057-02

π，第十六位希臘字母，歐拉于18世紀提倡用π代表圓周率。圓周率最早被發現于一塊古巴比倫的石板上，此時的π是一個常數。在《幾何原本》中π以一個小數被記載，這是圓周率最早的書面記載。此時圓周率具體的定義被給出，即圓周長與其直徑之比，我國的古算經《周髀算經》也有記載。為了得到圓周率更加精確的近似值，從古至今，一位又一位數學家奉獻出了自己畢生的精力與心血。由于數學計算的發展，圓周率的近似計算主要經歷實驗時期、幾何法時期、分析法時期、三大時期。下面具體介紹三個時期圓周率計算方法。

實驗時期：

由于文化發展滯后，科技有局限性。因此此時的圓周率都是通過測量得出，常用來代替圓周率，最早見于歐幾里得的《幾何原本》，印度的《百道梵書》也有記載。

幾何法時期：

這個時期數學家們用嚴謹的科學方法來計算圓周率，在古埃及草書（約公元前1700年）中提到。先驅者阿基米德通過計算數學理論算的圓周率。他從單位圓開始，通過迭代算法和兩側數值逼近算得 （3+（10/71））<π<（3+（1/7）），這種方法被命名為古典方法。我國的劉徽利用“割圓術”求出了更加精確的圓周率，算出=3.1416。繼劉徽之后，祖沖之3.1415926<π< 3.1415927，將π的精確度提高到8位，保持世界記錄九百多年[1]。

分析法時期：

這隨著各種方法理論增多，人們開始使用無窮級數或無窮連乘積來計算。自1593年韋達公式面世之后，沃利斯、John Machin、Srinivasa Ramanujan、Fabrice Bellarb等先后給出了更好的計算方法。他們將圓周率的精確度一次又一次的提升到新的高度。

1 三種近似計算方法及其MATLAB實現

1.1 古典方法

原理為選一個單位圓，用內接正六邊形得出的下界為3，再用外接正六邊形和勾股定理算得的上界為4。通過迭代算法，將圓周率的值確定為內接正九十六和外切正九十六邊形的周長之間[2]。

1.2 萊布尼茲（Leibniz）公式

用級數法求圓周率在分析法時期十分流行，這個時期產生了萊布尼茲公式、馬琴公式、傅里葉級數等計算方法，但主要介紹萊布尼茲公式。萊布尼茲公式主要用冪級數的推到而得到的，其原理如下：

1.3 數值積分法

其原理為以單位圓的圓心為原點建立直角坐標系，則圓在第一象限的扇形是由與軸，軸所圍成的圖形，扇形的面積。只要計算出扇形的面積，就可得出近似的值。而扇形面積的值可近似等于定積分的值。

對于定積分的值，可以看做成曲線與軸，所圍的曲邊梯形的面積S。把分成等分，既得個點。組成個小區間，每一個小區間與軸，所圍成的圖形是一個小曲邊梯形。而梯形的面積計算公式是（上底+下底）×高÷2，對于第個小曲邊梯形有上底為，下底為。所有小梯形的高都為。所以第個小曲邊梯形的面積為。曲邊梯形的總面積即定積分的值就是所有小梯形的面積總和。即利用積分得出的值。

2 結論

（1）古典方法：這種方法基于幾何原理，計算量大，速度慢。

（2）萊布尼茲公式：在（2.3）式中，當取的值為很大時，所花費時間較長，而且精度也不是很高。原因是當時，的展開式收斂太慢。因此就需要提升收斂速度。因此在推導式（2.4）中，同樣的值，級數收斂越快，取可以得到更高的精度。以同樣的方法，能得出，程序一樣。但此時的近似值可以精確到幾百位。

（3）數值積分法：逼近的速度大大增加，但是計算量增大，速度慢。

（4）本篇文章主要介紹了三種圓周率的近似計算方法，還有很多的方法，如拉馬努金（Ramanujan）公式，馬琴（Machine）公式，馬琴公式是（2.2）式進一步推到得到，收斂速度更快，精確位數更高。限于篇幅，這里就不進行詳細的討論。

參考文獻

[1]占海明，等.基于MATLAB的高等數學問題求解.清華大學出版社，2009.

[2]陳巖.中國古代圓周率的發展[J].北方文學（中旬刊），2013.

[3]同濟大學數學系.高等數學.高等教育出版社，2007.

[4]周輝.關于圓周率的幾種計算方法[J].科技向導期刊，2011.