學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，讓我們看得更遠(yuǎn)

曹一鳴 張曉旭 周明旭

訪談人：林院士，您好！我們這次對(duì)您訪談的目的主要是想請(qǐng)您談?wù)動(dòng)嘘P(guān)中小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一些話題，希望您能夠給現(xiàn)在的這些孩子一些生活、學(xué)習(xí)上的建議。我們就先從您的求學(xué)經(jīng)歷開始聊吧。您在福建讀書時(shí)，都有哪些難忘的經(jīng)歷？

林群：非常高興能和你們談?wù)動(dòng)嘘P(guān)中小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的話題，這對(duì)我來說是一段有特殊經(jīng)歷的回憶，也是美好的、有趣的。

上小學(xué)的時(shí)候，正好是八年抗戰(zhàn)時(shí)期，整個(gè)大環(huán)境的局勢不太穩(wěn)定，不過那時(shí)候年齡小，要學(xué)的知識(shí)也不多，懂得的東西也不多。上了中學(xué)之后，尤其是到了高中，才算真正接受了比較正規(guī)的訓(xùn)練。上中學(xué)的時(shí)候，到了解放初期，國家對(duì)教育質(zhì)量的提高比較重視，投入也比較多。我很幸運(yùn)地上了福州第一中學(xué)，那是一所在全國范圍內(nèi)都很有名的中學(xué)，培養(yǎng)了不少的人才，大約培養(yǎng)出了十幾個(gè)院士。這一方面是因?yàn)閲业母母锪Χ缺容^強(qiáng)，另一方面是因?yàn)閷W(xué)校的師資水平高，對(duì)生源的要求也高。正是在這種比較嚴(yán)格的培養(yǎng)環(huán)境下，我慢慢地受到了很多啟發(fā)，尤其是關(guān)于學(xué)習(xí)方法方面的。這段學(xué)習(xí)經(jīng)歷對(duì)我的影響是非常重大的。

我記得高中時(shí)候老師上課就挺有特點(diǎn)的，一堂課，老師總是在前半堂課把課講完，接著后半堂課給我們講講學(xué)習(xí)的感受和方法，或者講科學(xué)家的故事，這對(duì)我們的幫助還是挺大的。當(dāng)時(shí)的那種教學(xué)方式培養(yǎng)了我對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，這對(duì)我的影響很大。

訪談人：您說過，不是名牌大學(xué)的學(xué)生也可以將數(shù)學(xué)學(xué)得很好，中學(xué)生也能將微積分學(xué)得很好，這些孩子都喜歡數(shù)學(xué)，自己不僅會(huì)在圖書館或者網(wǎng)上查閱資料學(xué)習(xí)，還很注重體會(huì)，這些都是能找到適合自己學(xué)習(xí)方法，還愛學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生?？磥砼d趣和方法對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說還是相當(dāng)重要的，您怎么看這個(gè)問題？

林群：關(guān)于數(shù)學(xué)，表面看起來確實(shí)跟社會(huì)或者跟實(shí)際生活離得比較遠(yuǎn)，但其實(shí)你要是了解數(shù)學(xué)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這真的只是表面現(xiàn)象。比如現(xiàn)在人人不離手的手機(jī)，這后面的技術(shù)很多都是基于數(shù)學(xué)的算法和方程。我們用的手機(jī)其實(shí)可以看作是數(shù)學(xué)物化出的產(chǎn)物。

關(guān)于學(xué)習(xí)方法，從古至今就沒有一個(gè)定論，都是因人而異的。不過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)確實(shí)很在意方法，而且還需要學(xué)習(xí)者的熱情。你要是想學(xué)好數(shù)學(xué)，就得對(duì)它有高度的興趣，用興趣激發(fā)你的熱情，再夸張點(diǎn)兒，讓你朝思暮想、如癡如夢地喜歡數(shù)學(xué)。專注地學(xué)習(xí)，這一點(diǎn)對(duì)于數(shù)學(xué)工作者來說太重要了。有了興趣，就得注意數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程要循序漸進(jìn)，每一步都要走得踏踏實(shí)實(shí)，跟蓋房子一樣，每一層都要蓋得很牢固。最重要的是小學(xué)階段，小學(xué)階段比中學(xué)階段重要，中學(xué)階段比大學(xué)階段重要，大學(xué)階段比專業(yè)化階段之后重要，越是基礎(chǔ)的課程越重要。我在作科普講座的時(shí)候也愛強(qiáng)調(diào)這點(diǎn)，科普講座是要啟發(fā)學(xué)生、開拓思維，但是正課也一定要上好，好好做習(xí)題也很關(guān)鍵。正課是讓學(xué)生在直路上前進(jìn)，在科普講座上讓學(xué)生了解人類發(fā)展歷程中的彎曲的探索過程，也是幫助他們對(duì)正課上的一些內(nèi)容增加認(rèn)識(shí)。通過這些故事和經(jīng)歷，告訴學(xué)生要不斷總結(jié)適合自己的經(jīng)驗(yàn)方法，不斷地學(xué)習(xí)，這就是正確的方法。

訪談人：您在數(shù)學(xué)科普上有過很多努力和嘗試，尤其是在微積分方面?？晌覀兌贾溃F(xiàn)在微積分在大學(xué)是理工科學(xué)生必修的，但對(duì)于一些文科專業(yè)的學(xué)生來說就沒有要求。文理科學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的這個(gè)要求就不太一樣。關(guān)于文理分科這個(gè)現(xiàn)象，您怎么看？

林群：文科理科都很重要。文科生講課會(huì)講得非常好，因?yàn)槲目粕乃季S比較寬，他們會(huì)從更廣的角度去看問題。理科生看待問題就會(huì)以理論為依據(jù)，而且非常專業(yè)。但是文科不會(huì)這么講，文科生要從故事、從思想開始講。歐洲是先文藝復(fù)興，后科學(xué)復(fù)興。文藝復(fù)興在前，文藝復(fù)興引起科學(xué)復(fù)興。沒有文藝開道的話，文藝解放不了，科學(xué)就解放不了。

我常想，文理分科，會(huì)不會(huì)拓展理科生看問題的角度？因?yàn)槔砜茖W(xué)生看問題的角度不夠靈活。有一個(gè)朋友告訴我，他讀了托爾斯泰的《戰(zhàn)爭與和平》，因?yàn)椤稇?zhàn)爭與和平》講到怎么用數(shù)學(xué)。我有一個(gè)學(xué)生去了北京大學(xué)，他打電話告訴我，托爾斯泰真的講了微積分。后來我就問他托爾斯泰為什么會(huì)講到微積分，他說俄羅斯貴族有兩個(gè)必要條件：一個(gè)是會(huì)講法文，一個(gè)是會(huì)微積分，所以托爾斯泰應(yīng)該是學(xué)過微積分的。俄國還有一個(gè)作家用“非歐幾何”寫小說，因?yàn)槎砹_斯貴族必須學(xué)微積分。

訪談人：我們現(xiàn)在教學(xué)方面手段比原來多了，計(jì)算機(jī)已經(jīng)非常普及，不少中小學(xué)的課堂里也都有了。我們那時(shí)候上大學(xué)老師教上網(wǎng)我們都學(xué)不會(huì)，現(xiàn)在小學(xué)生自己就會(huì)，反而學(xué)得比我們更快。像現(xiàn)在計(jì)算機(jī)進(jìn)入中學(xué)這一現(xiàn)象，一方面給學(xué)生提供更多的學(xué)習(xí)資料、豐富的資源，一方面家長也會(huì)擔(dān)心影響學(xué)生的學(xué)習(xí)。您覺得該怎么樣來處理這樣一個(gè)問題？

林群：我們現(xiàn)在的學(xué)生都是很好的，計(jì)算機(jī)可以幫助他們更好地自學(xué)。比如說我問個(gè)問題，他一查就知道；比如說我現(xiàn)在做研究，想知道特征值，他在網(wǎng)上一查，全世界關(guān)于特征值的文章都可以知道，從這點(diǎn)看還是很有用的。所以我覺得，學(xué)生如果自覺，計(jì)算機(jī)就不會(huì)對(duì)他產(chǎn)生負(fù)面影響。如果學(xué)生不自覺，當(dāng)然就會(huì)出問題。北京大學(xué)有個(gè)學(xué)生，奧數(shù)競賽拿了金牌，上了大學(xué)后就玩游戲，不上課，結(jié)果只好退學(xué)了。如此看來，計(jì)算機(jī)怎么用很關(guān)鍵，用得好有好處，尤其是中小學(xué)生，用不好就有壞處。用得好就會(huì)促進(jìn)學(xué)習(xí)，如虎添翼；用不好就只會(huì)玩游戲，玩物喪志。現(xiàn)代技術(shù)的應(yīng)用和發(fā)展是不可阻擋的，而且總體還是好的。

比如在學(xué)習(xí)微積分方面，計(jì)算機(jī)是有好處的?，F(xiàn)在大家學(xué)習(xí)微積分，最主要的是要掌握微積分概念，計(jì)算就不要做那么多了，計(jì)算也不需要用到很多技巧?，F(xiàn)在很多學(xué)生數(shù)學(xué)概念掌握不到位，而這些概念性的知識(shí)目前計(jì)算機(jī)還不能解決到位，需要學(xué)生自己消化理解。計(jì)算機(jī)只能做有限的、簡單的處理，就像算得再多位也是有限的，但是“是什么”這個(gè)問題計(jì)算機(jī)回答不上來，計(jì)算機(jī)可以算一億位、幾十億位，但都不完整，后面還有，只有以微積分的形式才能寫出來是多少。這種東西是計(jì)算機(jī)所不能代替的，但是計(jì)算機(jī)能帶來很多好處。再比如微積分題目，在網(wǎng)上一查就查出來，就可以不要做了。有了計(jì)算機(jī)的幫助，可以更多地學(xué)習(xí)思想、學(xué)習(xí)概念，計(jì)算方面的處理盡可能多地交給計(jì)算機(jī)。

訪談人：您曾經(jīng)在科學(xué)成就的獲得這方面談過，很多學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)、喜歡科學(xué)，從小就立志成為一位數(shù)學(xué)家、科學(xué)家，您的這些體會(huì)對(duì)于他們來說也會(huì)是非常有意義的。

林群：許多人認(rèn)為，科學(xué)發(fā)展有其自身規(guī)律，實(shí)質(zhì)性的進(jìn)步需要積累、準(zhǔn)備和機(jī)遇，往往是幾代人的努力，大家不斷地推進(jìn)，到了即將突破的前夜，所謂“山雨欲來風(fēng)滿樓”，最后才有個(gè)別幸運(yùn)兒“站在巨人的肩膀上”摘到了蘋果。牛頓，甚至愛因斯坦的出現(xiàn)也絕非偶然，那個(gè)年代沒有牛頓，沒有愛因斯坦也會(huì)有別人。正像有人說的，“如果沒有拿破侖，18世紀(jì)末的法國社會(huì)也會(huì)制造出一個(gè)拿破侖來”。所以偉人或重大成果是時(shí)代的產(chǎn)物，不是一經(jīng)投入就能產(chǎn)生出來的。況且，科研工作探索未知，原本就有風(fēng)險(xiǎn)（據(jù)說丁肇中講過，黑洞可能有，也可能沒有，可能明天找到，也可能永遠(yuǎn)找不到），它不像蓋樓、搞工程項(xiàng)目，可以指定進(jìn)度或目標(biāo)，基礎(chǔ)研究不能“大躍進(jìn)”。

訪談人：剛才您也談到，作為一個(gè)理科生，是需要有一定的文學(xué)素養(yǎng)，這樣看問題可以站得更高。現(xiàn)在還有很多偏愛文科的學(xué)生，對(duì)數(shù)學(xué)這門學(xué)科有所抗拒。本身就不喜歡數(shù)學(xué)，可能學(xué)習(xí)這門學(xué)科就會(huì)成為負(fù)擔(dān)。是不是無論什么學(xué)生都應(yīng)該學(xué)好數(shù)學(xué)，您怎么看待這一問題？

林群：我對(duì)俄羅斯這一國家印象很深。因?yàn)樗麄円?guī)定貴族必須學(xué)微積分，俄羅斯國家的文學(xué)作品給人留下很深刻的印象，像托爾斯泰的作品就是不朽之作，我想文學(xué)界對(duì)他的作品也是認(rèn)可的。我認(rèn)為文科生也要念數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)人也要念文學(xué)，否則看問題的點(diǎn)就會(huì)站得很低。文科生看問題的立足點(diǎn)很高，我們理科生看問題的立足點(diǎn)很低，這是為什么？因?yàn)槲覀儧]有看到全局，我們都是一步一步推理。人家全面地、立體地看整個(gè)世界，所以會(huì)出像達(dá)·芬奇這種偉大的全才。從另一個(gè)角度來看，微積分是無限的思想，我們只知道有限的世界，如果文學(xué)家能知道無限的世界，他寫東西思維就能夠更開闊。我是這么想的。

因?yàn)閿?shù)學(xué)是哲學(xué)，微積分是將有限的哲學(xué)變成無限的哲學(xué)，這是哲學(xué)上的突飛猛進(jìn)。因?yàn)榭茖W(xué)家更關(guān)心“無限”，這是微積分教會(huì)他們的。我們現(xiàn)在的目光都很有限，有限的事情我們會(huì)做得很好，無限的事情我們不會(huì)做。我覺得如果文學(xué)界知道無限的概念，思想就會(huì)更開闊。我們數(shù)學(xué)經(jīng)常假設(shè)，然后通過推理得出結(jié)論，所以我們的結(jié)論經(jīng)常有錯(cuò)。我們一批搞經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的人做出錯(cuò)誤結(jié)論的時(shí)候，他要基于幾個(gè)假設(shè)。托爾斯泰的兒子寫關(guān)于父親的回憶錄時(shí)，提到托爾斯泰做了大量的算術(shù)題，研究微積分，恐怕他的研究是整體的研究，因?yàn)楫?dāng)時(shí)俄國的數(shù)學(xué)是很先進(jìn)的，彼得大帝非常注重?cái)?shù)學(xué)，俄羅斯帝國培養(yǎng)了很多領(lǐng)域的一流的大家。我們國家可以慢慢來，理科生注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)，文科生也注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)，我相信我們國家可以更上一層樓。

（選自《與數(shù)學(xué)家同行》，南京師范大學(xué)出版社2015年，本刊有刪改）