基于數學形態學的圖像處理算法

羅秋棠

摘 要進入21世紀以來，計算機技術尤其是數字圖像技術的不斷進步發展，圖像的重要性逐漸凸顯。圖像處理領域中形態學應用范圍較廣，它非常重視圖像的構成特征，較之類似方法形態學技術的結構特征優勢明顯。本文介紹了一種基于數學形態學的圖像處理算法，即分水嶺算法。

【關鍵詞】圖像分割 圖像處理 數學形態學 分水嶺

1 圖像分割的概述和定義

圖像分割是指用區域對圖像所進行的分割。這些區域的總和應覆蓋整個圖象，而彼此互不重疊，分割后的圖像應具有相同的特性，這些特性可以是形狀、顏色、紋理、灰度等任何一個。在圖像處理中，圖像分割時一個關鍵的步驟。因為在圖像的研究過程中，大家一般只對某些其中的部分感興趣。為了更好的識別與分析目標，往往要把這部分區域分割出來，再對分割出來的目標作深層次的分析，對目標進行特征的提取、參數識別和測量，能更好的促進下一層級的圖像理解和分析。

成像技術可以用來泛指所有與圖像相關技術，這些技術數量巨大，我們可以把它們放到圖像工程范疇里。圖像工程分為理解、分析、處理三個層級，且會研究所有涉及到圖像的領域。圖像處理是為了優化視覺效果，分析是為了檢測圖像里我們所需要的信息。圖像分割是一種重要的圖像處理技術，在實際的應用和理論研究中已經受到了人們的廣泛重視，在不同的研究領域圖像分割有不同的名稱，如目標檢測技術，閾值化技術，圖像區分或求差技術，目標識別技術，目標輪廓技術，目標跟蹤技術等。

2 分水嶺圖像分割過程

我們將圖像分割的過程描述如下：首先，設想存在一個二維圖像，并認為它是一個三維地形表面，且有一系列的低谷存在于該三維地形表面，二維圖像的表面像素點或最小值對應地形表面連接區的底部。假設我們將這些極小值刺穿，將該三維地形表面逐漸浸至湖水中，在上述過程中，由于在湖內存在水壓，將會有水從被刺穿的洞中涌出，這個涌出過程直至涌出的水與湖水高度相同才停止，停止時水面已經完全將該三維地形表面浸沒。然而在整個過程中，不同的洞中將會涌出水并最終匯集于某一點。為了避免涌入的水匯集于某一點，我們嘗試提高該點的像素值。當三維地形表面浸至湖中的高度愈深，我們所需要提高像素值的點就愈多，這些被提高的點將會最終集合形成為一條豎直的線即水壩。在該三維地形表面被不斷浸至湖中期間，為了避免從各個洞中涌入水匯集，我們不斷設立水壩。若三維地形表面全部浸至湖中，將能看到湖水被分割成若干個單獨的水壩區域。

在上述的過程中，我們采用湖水作為參照系。若我們變更參照系，采用三維地形表面作為參照系。以三維地形表面作為參照系時，我們認為三維地形表面不動，湖水水平面處于勻速上升狀態，逐漸浸沒整個地形表面。在浸沒地形表面的過程中，那些較為低洼的部分即圖像谷底最先出現積水現象。伴隨水平面不斷上升，出現積水現象的面積逐漸增大。為了避免各個山谷中積水連接到一起，需要在連接處設立水壩。在整個三維地形表面全部被湖水浸沒后，我們將會發現湖水被水壩分割成若干個區域。上述漫水過程即分水嶺圖像分割過程。

在圖像分割過程中，分水嶺算法就是將圖像視為測地學中的拓撲地貌。該算法屬于某種基于拓撲理論中數學形態學分割算法。某點的海拔高度采用圖像中一個像素的灰度值來代表。集水盆也就是任何極小值和會被該值影響到的區域，分水嶺即為集水盆與集水盆之間的界限。該算法將梯度圖像中像素值（水位）按升序進行處理。采用分水嶺分割算法時，將會把圖像分割成若干個區域，每個區域都和一個極小值點一一對應。

3 分水嶺算法的具體實現

分水嶺算法實質上屬于某種區域增長算法，該算法借鑒了地形學中的概念，與之不同的是，分水嶺算法從圖像中極小值開始增長。受暗紋理細節和暗噪聲的影響，可能有大量偽極小值存在于圖像中，而上述偽極小值可能會在圖像中生成對應的偽積水盆。因此，假如分水嶺算法無法有效的將上述真、偽極而是小值區分開，協同作為同一單獨區域分割，那么在最后將有可能產生分水嶺較為嚴重的過分割問題。

當前用來克服過分割有以下兩類主流的方法：一、先平滑處理再分水嶺變換，以期較少由噪聲產生的過分割；二、在對小區域進行合并前分水嶺變換，將相鄰的區域合并。其中方法一較為有效的減少了圖像中的細紋和噪聲，但相應的降低了分割精確度，造成了邊界模糊的新問題；方法二在將區域合并的過程中，需要大量的內存不停地釋放、分配，造成了耗時長、計算量大的新問題。

在進行圖像分割時使用傳統分水嶺分割算法，有可能出現為了保護物體邊緣信息的需求與簡化圖像的需求之間的矛盾。大多數分水嶺算法都是對已簡化的圖像進行處理，所以我們要在簡化圖像時就考慮到物體邊緣信息丟失的問題。出于保護圖像的邊緣信息的考慮，我們可能無法有效地去除圖像中的全部噪聲，這會導致可能有大量的偽極小值點存在于造成簡化后的圖像中。當我們分割簡化后的圖像時，可能會造成較為嚴重的過分割后果。為了減少上述的過分割后果，我們需要考慮與其它算法結合。假設采用基于標記的分水嶺算法把被提取出來的標記當做被圖像局部極小值，在被處理的梯度圖像上采取分水嶺有可能獲得較好結果，這種基于標記的算法要點在于能夠找到被分割圖像中的物體的區域極大值點。由于分水嶺算法是在被標記修改后的極小值原始梯度圖像上所進行的，因此能夠保證分水嶺分割圖像邊緣信息未受到影響。

我們采用分水嶺來表示被輸入圖像的極大值點，也就是集水盆間的臨界點，這個點通常通過分水嶺變換獲得。所以一般采用輸入梯度圖像，用以獲得圖像的邊緣信息。

（1）

式中，f（x，y）表示原始圖像，grad（·）表示梯度運算，分水嶺算法進行圖像處理時，物體表面極其微小的灰度變化與圖像中的噪聲都有可能造成圖像的過分割，這是由于對微弱邊緣分水嶺能夠產生理想的反應，分水嶺對弱邊緣的上述理想的反應確保了將會得到連續、封閉的邊緣。分析圖像區域特征往往需要該算法所得到的封閉集水盆。我們大多數情況下可以采用下述處理方法以減弱分水嶺算法可能導致的過分割：

（1）對梯度函數進行修改使集水盆僅僅響應預期的目標；

（2）依靠已知的情況減少無關的邊緣信息。

減少分水嶺算法導致的過度分割往往需要修改梯度函數，而對該圖像進行閾值變換往往是是簡單有效的方法，該方法能消除灰度的微小變化產生的過度分割。

（2）

式中，gθ表示閾值，而閾值的選取優劣直接絕對了分割結果是否令人滿意，因此選擇更好的閾值往往是更好的進行圖像分割的關鍵。

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作者單位

湘潭大學信息工程學院 湖南省湘潭市 411100