巧用平面幾何解決高中數學問題

孫嵐 王紅芳

數學教學的目的不僅要求學生掌握好數學的基礎知識和基本技能，還要求發展學生的能力，培養他們良好的個性品質和學習習慣。很多學生初中學習也是不錯的，高中后卻發現慢慢跟不上了，原因往往是學習太死，只會就事論事，脫離了知識與知識之間的聯系，高中的很多內容與平面幾何都是有密不可分的關系的。下面就平面幾何在后繼學習中的價值做一些例證，以饗讀者。

一、平面幾何的空間推廣——立體幾何

立體幾何是在初中幾何知識的基礎上，進一步研究立體圖性的基礎知識。研究立體圖形時，一方面要注意立體圖性問題與平面圖形問題的區別，另一方面也要注意立體圖性與平面圖形的聯系，在立體幾何中有很多基本概念，如異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角和兩條異面直線的距離、點到平面的距離、直線到平面的距離、兩個平行平面的距離等都是通過平面幾何相關的概念來定義，這使得對于平面圖形的研究成為討論立體圖形的基礎，從而立體圖形的問題常常轉化為平面圖形的問題來解決。

1.概念的延伸

平面幾何是在二維的平面上研究圖形，而立體幾何是在三維的空間分析問題，所以，我們不妨將平面中的點往一個方向延伸則成了一條線，將直線延伸則成了一個面等，有了這樣的思想我們就不難解決下面兩個問題。

例1.我們知道：周長一定的所有矩形中，正方形的面積最大；周長一定的所有矩形和圓中，圓的面積最大。將這些結論類比到空間，可以得到的結論是：

顯然答案應為：表面積一定的所有長方體中，正方體的體積最大；表面積一定的所有長方體和球中，球的體積最大。

2.思想方法的推廣

正因為立體幾何是建立在平面幾何的基礎上，所以，它們解決問題的方法也有相似之處，我們來看看下面這個例子。

例2.平面幾何中有：邊長為a的正三角形內任一點到三邊距離之和為定值，棱長為a的正四面體內任一點到四個面的距離之和為 。

在△ABC內任取一點P，連接PA、PB、PC

設P到AB的距離為d1，到BC的距離為d2，

到AC的距離為d3，三角形的高為d。

則有S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC

即ah=ah1+ah2+ah3，則h1+h2+h3=h=a

這里采用的是對平面面積的割補法，類似的對于下一個正四面體的問題，我們也可以用類似方法來解答。

在正四面體ABCD內任取一點P，連接PA、PB、PC、PD

設P到面ABC的距離為d1，到平面BCD的距離為d2，

到平面ABD的距離為d3，到平面ACD的距離為d4，

正四面體的高為d，各面面積均為S，

則有VD-ABC=VP-ABC+VP-BCD+VP-ABD+VP-ACD

即Sh=Sh1+Sh2+Sh3+Sh4，即h1+h2+h3+h4=h

這里是對幾何體的體積進行割補法，與上例如出一轍，可見，把握住平面幾何和空間幾何的聯系，對解決空間問題是很有幫助的。

3.利用平面展開圖解決立體幾何問題

例3.長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c，且a>b>c，現有一小蟲從A點出發沿長方體的表面爬行到C1點，請問小蟲爬行的最短距離是多少？

這是一個求最小值的問題，對于平面幾何我們有很多求最值的方法，但對于立體幾何的相關問題卻無從下手。于是我們考慮將問題轉化為平面問題，將長方體的表面展開如圖。

利用平面幾何中兩點間線段最短可知小蟲爬行經過最短路程必為AC1AC1′AC1″其中之一。

在高中階段，立體幾何承擔著學生空間想象能力培養的主要任務，研究立體幾何圖形的結構成為學生主要的學習要點和難點，抓住平面幾何和立體幾何的關系進行教學，有助于幫助學生溫故知新，通過類比的方法更深刻地理解立體幾何。

二、用平面幾何知識解決解析幾何問題

解析幾何是用代數方法解決幾何問題的一門學科，因此與平面幾何也是互相融合的，當用代數方法過于繁復時，我們不妨思考一下能否用幾何方法解決。我們來看看下面的例子。

例4.已知橢圓C的方程為+=1，（a>b>0），雙曲線-=1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點F的直線l⊥l2，交l2于點P，設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B。

（1）當l1與l2夾角為60°，且a2+b2=4時，求橢圓C的方程；

（2）求的最大值。

分析：第一小題解答比較容易，只要抓住兩條漸進線與x軸夾角為30°，得到=，與a2+b2=4聯立即得a=，b=1。所以，橢圓C的方程為+y2=1。

初中數學是高中數學的基礎，數學內部各類別的知識也是相容相通的，有了初中的平面幾何，在此基礎上發展起來的立體幾何才有其生存成長的空間，所以，我們在解題過程中，不能就事論事，多做些思考，很多問題就會豁然開朗。