“珠璣妙算”游戲中的條件推理

胡艷

摘 要 “珠璣妙算”是經典益智游戲，游戲過程的順利進行在很大程度上依賴于條件推理的運用。本文通過用excel公式計算模擬和條件推理的四種形式（肯定前件（PM）、否定后件（MT）、肯定后件（AC）和否定前件（DA）），簡述了條件推理如何在該游戲中發揮作用。

關鍵詞 條件推理 否定后件 否定前件

中圖分類號：TP301.6 文獻標識碼：A

“珠璣妙算”游戲的英文名稱為“Mastermind”， 1970年以色列郵政和電信專家莫迪卡發明了這一推理棋盤游戲（Riccardo，2011），并在1972年得到了商業化推廣。正如其名，玩這個游戲需要充分調動大腦的基礎認知資源，至今在歐美國家中仍是經典的棋盤益智游戲。

游戲在兩個玩家之間進行，其中一位為密碼設置者，另一位為密碼破解者。密碼設置者從六種不同顏色的帶插銷彩色珠子中選擇顏色可重復的四個珠子，然后將它們用銷子固定在棋盤上排列成一組有順序的顏色密碼放在隱藏的保留區。隨后，密碼破解者進行猜測，并把猜測的結果按順序擺在棋盤上，而且每一次猜測都會得到密碼設置者的即時反饋。反饋模式由一組黑色和白色帶插銷小珠子組成，每個黑色小珠子代表破解者猜中了一個珠子的顏色而且位置正確；每個白色小珠子代表破解者猜中了一個珠子的顏色但位置不正確。當破解者所猜測的顏色組合與密碼完全吻合，即所有顏色和位置均正確時，他便贏了該局游戲。最多可進行12次猜測，假如12次都沒有猜對，則游戲結束。游戲的計分以嘗試的猜測次數越少分數越高，對時間沒有特別的要求。

條件推理可以說是根據條件連接詞“如果”得出推斷的過程。例如：

前提：如果P，那么Q。

前提：非Q。

結論：非P。

前面得出的結論，在給出的前提下是必然會出現的，也就是說這樣的結論是必然有效的。這一推理過程稱為否定后件式推理（MT）。以此類似還有否定前件式（DA），肯定后件式（AC）和肯定前件式（MP）推理過程。其中肯定前件式（MP）和否定后件式（MT）推理為必然有效的推理。而否定前件（DA）和肯定后件（AC）式推理二者都并不必然有效。

一直以來，對“珠璣妙算”游戲的研究都集中在如何應用策略上（Best，1990），雖然從游戲開發出來以后人們就視其為邏輯推理游戲，但是很少有研究者注意到“珠璣妙算”游戲中的條件推理過程。而其中的條件推理過程可以通過excel的條件函數公式簡單地模擬出來。因為需要選擇四個有序排列的彩珠，每一個序號都會有六種可能，所以密碼的可能性將會是6 x 6 x 6 x 6=1296種。模擬思路為首先窮盡所有1296種可能的密碼組合，將每步嘗試的猜測同這1296種可能的密碼組合一一對比，得到一組反饋，而這組反饋中與密碼設置者給出的反饋匹配的那些可能密碼組合極有可能就是正確答案。隨著嘗試的進行，可能密碼組合范圍逐漸縮小，直至剩下正確的那個。沿著這一思路，只需要應用兩類條件函數即可達到目的。這兩類函數如下：

（1）IF（F3=A3，1，IF（F3=B3，0，IF（F3=C3，0，IF（F3=D3，0，2））））；

（2）COUNTIF（J3：M3，1）。

顯然，上述模擬只運用了肯定前件（MP）和否定后件（MT）式推理，從計算機模擬方面印證了條件推理對“珠璣妙算”游戲的破解過程至關重要。然而人類的思維過程跟計算機有所差別，在游戲過程中不太可能像用excel那樣窮舉所有可能性，這需要超強的記憶力。

雖然如此，人們仍然能在有限的工作記憶范圍內進行條件推理。在“珠璣妙算”游戲中，人們經常應用條件推理進行推斷。如下面所示的游戲片段：

位置 反饋

1 2 3 4

猜測1： 藍 綠 白 紅 1黑1白

猜測2： 藍 橙 紅 黃 0黑2白

密碼破解者會這樣進行推理：在第一個猜測中得到了一個黑色的反饋，如果黑色反饋代表的是藍珠子，在第二個猜測中繼續保持藍色珠子不動，那么還會得到一個黑色的反饋。但是第二個猜測得到的反饋沒有黑色，表示黑色并是藍色珠子的反饋。顯然，這里運用了否定后件式推理（MT），也就是：

前提：如果藍，那么一個黑。

前提：非黑。

結論：非藍。

顯然，條件推理能夠幫助破解者在游戲中排除某些假設。為了驗證條件推理在游戲中的具體作用，約翰·貝斯特（Best，2001）通過實驗發現否定后件式推理（MT）可以用于確定密碼的結構類型，也就是確定是否有顏色在密碼中重復，因為密碼可能存在五種結構類型[1 1 1 1]、[1 1 2 2]、[1 2 2 2]、[1 2 3 4]、[1 2 3 3]。而當在否定后件式（MT）推理上犯錯的話，極有可能導致要花更多的猜測步驟才能得到正確答案。貝斯特的實驗還表明，在使用未必一定有效的推理方式，否定前件（DA）和肯定后件（AC）時，只有在密碼中的顏色各不相同時才會導致在游戲中失敗。

參考文獻

[1] Riccardo Focardi & Flaminia L.Luccio.Guessing Bank PINs by Winning a Mastermind Game[J].Theory Comput Syst 2012.

[2] Best，J.B.Knowledge acquisition and strategic action in “Mastermind” problems[J].Memory & Cognition，1990.

[3] Best，J.B.Conditional reasoning processes in a logical deduction game[J].Thinking & Reasoning，2001.