世間最神秘的三個數字（十三）

劉瑋

說話間，皓天用手中的紙剪出了兩個黃金三角形：“下一代的黃金三角形在哪兒？”

“在長邊上找到黃金分割點，并與它的對角相連看看，它將原來的黃金三角形分成了兩個小的黃金三角形，一個是銳角黃金三角形，另一個是鈍角黃金三角形。”

“等等——這里有玄機！”皓天靈光閃現，“子代與父代都是黃金三角形，是相似的，設銳角為α，分割后由相似可看出其底角一定為2α，那么這個α就能求出來了，5α=180°，α=36°，底角就是72°。同時可以看出：鈍角黃金三角形的頂角是180°-2α=108°。”

“這個繁殖過程也可以用折疊法了！”鵬飛提示道。

“對，將底角對折一次，出現兩個二代黃金三角形，折一次后不打開，沿小三角形的底線再折一次，第三代的小黃金三角形也出來了。如此下去，就可以繁殖出一系列的黃金三角形。”

鵬飛覺得討論可以再深入下去了：“最美矩形應該是什么樣子的呢？”

皓天：“當然是兩邊比為φ的矩形了。”

“能用折疊法繁衍出下一代的黃金矩形嗎？”

“可以啊，對折一角，折出一個正方形，余下的還是一個黃金矩形。依次折出正方形，就可無限繁衍出越來越小的黃金矩形，最終趨向于一個點。”

鵬飛：“是的，這個點被稱為‘上帝之眼，仿佛正是從這里繁衍出了這些無數的正方形。更奇妙的是，如果過這些正方形對角畫曲線，就形成了對數螺線的輪廓。”

“對數螺線的方程是什么？”

“用極坐標方程表示：r = aeθ 。”

“原來黃金數φ與e還有這種淵源呢！”皓天不禁喃喃自語道，“黃金三角形、黃金四角形，前面分割的線段也可以說是二角形，應當還有黃金五角形、六角形……這是平面的，立體的就應該有黃金四面體、黃金長方體……四維空間的是不是還有許多黃金超體啊？”

鵬飛驚詫了：“我的知識也有限，只知道金字塔是黃金四面體，五角星是當年畢達哥拉斯學派的標志，里面有好多黃金比，黃金長方體的長寬高之比為1∶0.618∶0.382。另外，曲線家族里也有黃金比，比如黃金橢圓、對數螺線等，至于其他的，我也不了解了。”

“它們的共同特點是具有黃金比，一定也都可以通過折疊法繁衍出無數個小的自相似圖形來。”皓天又陷入了沉思中。