“籃球落地”原始問題的實驗與理論探究

張婷玉　胡揚洋　鄭　旭

(1. 北京市陳經綸中學本部初中,北京　100020;2. 首都師范大學教育學院,北京　100048;3. 北京市第三十五中學,北京　100032)

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·實驗研究·

“籃球落地”原始問題的實驗與理論探究

張婷玉1胡揚洋2鄭旭3

(1. 北京市陳經綸中學本部初中,北京100020;2. 首都師范大學教育學院,北京100048;3. 北京市第三十五中學,北京100032)

摘要：針對全國物理高考命題委員會曾進行的高考物理科研試題測試中的“籃球落地”原始問題,筆者采用DIS系統進行了實驗研究,并基于彈簧振子模型給出了理論解釋,最后對研究結果與過程進行了討論.

關鍵詞：籃球落地;原始問題;物理模型;傳感器

1“籃球落地”問題的提出

全國物理高考命題委員會曾在國內部分高中進行過高考物理科研試題測試,題目如下:

一籃球自某一高度自由下落,撞到地面后又彈起,升到一定高度后又自由下落,以后又彈起、下落,一次又一次,直至籃球靜止.試定性畫出在整個過程中籃球的加速度a隨時間t的變化圖線.

對該題,命題委員會給出的“正確答案”如圖1所示.并且測試結果顯示,本題的得分率相當低,只有6%.多數學生對碰撞過程中加速度的變化不清楚,也不會用圖線表示加速度的變化.

圖1

我們認為,由于該題目沒有提供任何數據,并且還需要對圖像的諸多要素進行綜合考慮,所以對學生的識圖、繪圖能力提出了較高要求,這或許是得分率不高的主要原因.然而在等“面積”法、斜率、形狀等視角下很容易發現,命題委員會所給的“正確答案”依然存在諸多模糊之處.其根本原因是沒有明確到底使用了什么模型,以及究竟經歷了怎樣的物理過程.為明確這一問題,我們進行了研究.

2實驗設計與檢驗

首先,我們試圖通過實驗描繪出籃球落地實際情況的圖線.由于籃球、網球等球類彈跳過程中的觸地時間非常短,所以實驗選用氣球充入水模擬“籃球”.用力傳感器及朗威DIS系統采集數據,得到“籃球”落地過程中,地表所受壓力-時間圖像如圖2所示,易知,其與籃球的加速度-時間圖像成幾何相似關系.

圖2

如圖2所示,圖線在諸多細節上與“標準答案”的圖線并不完全一致,整個過程的圖像雖然左半部分與命題委員會給出的“正確答案”吻合較好,但是右半部分有更加細致的特點.此外,實驗數據表明,“籃球”觸地過程中的運動周期逐漸增大,這也同標準答案產生了明顯的矛盾.據此我們需要基于以上實驗結果得出籃球落地的數學表示.

3基于彈簧振子模型的理論解釋

3.1精確解釋

事實上,構建模型充分體現了物理學的學科特色,而該題的特殊之處在于需要分別建立恰當的實物模型和過程模型.綜合考慮,我們將籃球視為一個特殊的彈簧振子模型(如圖3所示),彈簧表征其彈性特征,振子表征其質量特征.

圖3

在這一物理過程中,籃球之所以能逐漸靜止,是因為其機械能在每次觸地過程中存在損失.然而要想描出加速度-時間圖像,僅有這樣的功能解釋是不夠的,必須具體到動力學層面.為表征這一損失,我們首先做出一種假設:每次彈跳中勁度系數不變,壓縮量發生“突減”.但是基于此做出的圖像結果會造成圖線在靠左的部分縱向無法收斂,因此舍棄了這一思路,選取了另一種假設:我們認為,彈簧振子在每次從最低點反彈的過程中,彈簧的勁度系數都會變小,這造成了彈簧“貯存”機械能的部分“失效”.依據這一模型的圖像如圖4所示.

圖4

如圖4所示,籃球由靜止開始下落,加速度為g,從觸地開始做簡諧運動,直到壓縮至最低點.在開始反彈時刻,由于勁度系數突然變小,導致反彈過程中簡諧運動的變化主要有:(1) 加速度的最大值變小(即加速度幅度變小);(2) 周期變長;(3) 平衡位置降低,使得振幅變小,且多個周期后可能無法彈起而只能在彈簧原長以內運動.據此,反彈過程先做周期變長、振幅變小的簡諧運動,彈離地面后加速度為g,直到最高點靜止.至此,就完成了一個周期的運動.

圖線與橫軸圍成的“面積”表示速度,運用“等面積”法可得:在一個周期內,“面積”s1=s2,s3=s4,且s2>s3.兩周期間則有s4=s5.基于以上認識,圖像才被足夠精確地描繪出來,與原圖像對比可見:(1) 雖然圖線的“平臺”部分不斷縮短,但是最后就會完全“退化”為簡諧運動的圖像;(2) 圖線“谷”的部分雖然也不斷變“淺”,但是卻在不斷加寬,并且始終有在橫軸以下的部分；(3) 圖像的整體趨勢是不斷向橫軸靠近.至于圖像的“面積”、形狀等要素則是在原圖像中完全沒有考慮的.

3.2近似解釋

精確解釋下的一大缺點在于圖線在周期間的不連續性,這亦同實驗圖像不符.為彌補這一缺陷,我們在上述精確解釋的基礎上給出一種近似解釋.

籃球與地面接觸發生碰撞壓縮過程中,在極短的時間內地面給予籃球很大的沖量,其a-t圖像如同脈沖信號一般,則加速度在極短時間內達到峰值,即圖像中相反方向有一尖端.圖線與橫軸圍成的“面積”表示速度的變化量,籃球的初始時刻的速度為零,籃球與地面碰撞速度變化量為零,即兩個運動過程a軸與t軸所圍成的“面積”和為零.籃球與地面接觸的極短時間內,近似為簡諧運動,其圖像為正弦曲線,因要達到與自由落體時間段內相同的速度變化量,正弦曲線十分尖銳,故可以近似將壓縮與形變恢復過程a-t圖像“曲線改直”,看作一條直線.

最后,在籃球與地面接觸的極短時間內,其x-t、a-t圖像均為正弦曲線.如圖5所示是為兩個正弦曲線,分別表示籃球以不同速度撞地時的加速度時間圖像,顯然,籃球與地面的碰撞過程中,初速度越快,振幅大,恢復形變所用時間越短,即籃球與地面碰撞時間逐漸增加.我們之前對籃球與地面接觸的過程進行了“曲線改直”處理,a-t圖像的正弦效應很難辨別出來.

圖5

綜合以上因素,得出籃球落地過程a-t圖像,如圖6所示:

圖6

如前所述,其中加速度與時間軸所圍成的“面積”s1=s2.并且始終有在橫軸以下的部分,圖像的整體趨勢是不斷向橫軸靠近.這一圖像較好實現了精確與近似的統一,并體現了與原答案圖像原則性的區別,因此可作為更好的“標準答案”.

4綜合討論

綜合上述工作,我們對整個過程進行討論.

4.1對研究結果的物理討論

我們推導得出的圖線中存在斷點,這表明了理論模型本身的缺陷.但是值得肯定的是,以上對“籃球落地”的數學解釋在整體趨勢上與實驗結果一致,尤其在圖像左半部分成功地表征了實驗圖像更加精細的特點,但是在圖像右半部分,誤差被放大得更加顯著.這不禁使我們想到了物理學史上的黑體輻射實驗:對平衡時輻射能量密度按波長分布的曲線,維恩公式在短波部分與實驗結果符合,而在長波部分顯著不一致;瑞利-金斯曲線在長波部分符合,而在短波部分不符.最終普朗克給出了符合較好的黑體輻射公式,成為重要的研究突破.對籃球落地問題,如何提出在左右部分均匹配較好的數學表達式,就是進一步研究的目標.

4.2對研究過程的教學討論

“籃球落地”問題不僅是一道一般意義上的“圖像題”,而且被作為一道典型的原始物理問題,這體現了雙重的教育價值.“籃球落地”問題的正確解決需要綜合考慮圖像的斜率、形狀、“面積”等諸多要素,充分體現了圖像題的綜合性與深廣度.具體而言,物體圖像將需要符號推理獲得的信息一覽無余地呈現,大量縮減了推理過程,因此可以極大地提高對物理內涵的把握水平.因此,“籃球落地”圖像教學不僅調動了學生思維的積極性,而且加強了思維方法的有效訓練.其次教師進行“籃球落地”問題講解時,要建立恰當的物理模型和過程模型,這不僅需要高度的抽象概括思維方法、嚴密推理的邏輯思維方法,還需要形象思維的方法才能充分駕馭.綜上所述,“籃球落地”原始物理問題由于具有生態性,還需要直覺、靈感思維的參與,因此可以實現對思維方法更加積極、完備的訓練,值得在教學時加以選用.

參考文獻：

[1] 高考物理科命題委員會“八五”科研課題組.高考物理能力考察與題型設計[M].北京:高等教育出版社,1997：141.

[2] 邢紅軍.等面積法則的推廣與應用——兼論科學方法教育[J].河南教育學院學報(自然科學版),1994,13(2):29-31,34.