用一元一次不等式（組）解決實際問題

陳東進(jìn)

一元一次不等式（組）是解決實際問題的有效工具. 在實際學(xué)習(xí)中同學(xué)們會感覺比較困難，原因是多方面的：一是題目較長，涉及數(shù)量較多，不易理解；二是找不準(zhǔn)不等關(guān)系；三是不會根據(jù)實際意義求出滿足條件的結(jié)果. 其中最容易導(dǎo)致錯誤的是找不出不等關(guān)系. 應(yīng)用一元一次不等式（組）解決實際問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)不等關(guān)系. 而找準(zhǔn)不等關(guān)系的前提是審題，在審題的過程中要挖掘出隱含的不等關(guān)系. 所以用一元一次不等式（組）解決問題應(yīng)遵循如下基本步驟：

（1） 審：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量及其關(guān)系，找出題中不等關(guān)系，要抓住題設(shè)中的“關(guān)鍵字眼”如“大于”“小于”“不小于”“不大于”等的含義；

（2） 設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；

（3） 列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；

（4） 解：解出所列不等式的解集；

（5） 答：寫出答案，并檢驗答案是否符合題意.

例1 王女士看中的商品在甲、乙兩商場以相同的價格銷售，兩商場采用的促銷方式不同.在甲商場一次性購物超過100元，超過的部分八折優(yōu)惠，在乙商場一次性購物超過50元，超過的部分九折優(yōu)惠，那么她在甲商場購物超過多少元就比在乙商場購物優(yōu)惠？

【分析】此題中的不等關(guān)系是“甲商場購物的金額<乙商場購物的金額”.題目中要求的“多少元”是指商場中商品的標(biāo)價，而在算甲商場比乙商場優(yōu)惠時計算的是王女士的實際花費(fèi)，理清關(guān)系可列不等式進(jìn)行計算.

解：設(shè)她在甲商場購物x元（x>100）就比在乙商場購物優(yōu)惠.根據(jù)題意，得

100+0.8（x-100）<50+0.9（x-50），

解這個不等式，得x>150.

答：她在甲商場購物超過150元就比在乙商場購物優(yōu)惠.

例2 甲以5 km/h的速度進(jìn)行有氧體育鍛煉，2 h后，乙騎自行車從同地出發(fā)沿同一條路追趕甲. 根據(jù)他們兩人的約定，乙最快不早于1 h追上甲，最慢不晚于1 h 15 min追上甲. 乙騎車的速度應(yīng)當(dāng)控制在什么范圍？

【分析】首先從題目中我們可以發(fā)現(xiàn)兩個表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語“不早于”和“不晚于”， “不早于”可理解為“不少于”， “不晚于”可理解為“不多于”. 然后，可以根據(jù)題意寫出兩個不等關(guān)系式：乙1 h騎車的路程-甲1 h走的路程 ≤5×2，乙1 h 15 min騎車的路程-甲1 h 15 min走的路程≥5×2，這樣，列出不等式組，問題就迎刃而解了.

解：設(shè)乙騎車的速度為x km/h，根據(jù)題意，得x-5≤5×2，

1.25x-1.25×5≥5×2.

解不等式組得：13≤x≤15.

答：騎車的速度應(yīng)當(dāng)控制在13 km/h到15 km/h這個范圍.

例3 現(xiàn)有住宿生若干名，分住若干間宿舍，若每間住4人，則還有19人無宿舍住，若每間住6人，則有一間宿舍不空也不滿，求住宿人數(shù)和宿舍間數(shù).

【分析】首先在讀題過程中，找出體現(xiàn)住宿人數(shù)和宿舍間數(shù)關(guān)系的句子，即“每間住4人，則還有19人無宿舍住”，從而確定“住宿生總?cè)藬?shù)=4×宿舍間數(shù)+19”；同時理解體現(xiàn)不等關(guān)系的句子，即“則有一間宿舍不空也不滿”，理解“不空”與“不滿”的意義，在此基礎(chǔ)上，表述不等關(guān)系式為“0<不空也不滿的那間宿舍的人數(shù)<6”. 此時，問題的焦點(diǎn)轉(zhuǎn)化為如何表示沒住滿宿舍的人數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)“沒住滿宿舍的人數(shù)”可表示為“住宿總?cè)藬?shù)-住滿的宿舍的人數(shù)之和”，從而可以設(shè)出未知數(shù)，列出不等式組解決該問題.

解：設(shè)宿舍間數(shù)為x，則住宿人數(shù)為4x+19，根據(jù)題意，得4x+19-6（x-1）>0，

4x+19-6（x-1）<6.

解不等式組得：9.5

∵x為正整數(shù)，∴x=10，11，12，

∴ 4x+19=59， 63， 67.

答：宿舍為10間，住宿人數(shù)為59人；或宿舍為11間，住宿人數(shù)為63人；或宿舍為12間，住宿人數(shù)為67人.

通過以上幾道例題的分析，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)用一元一次不等式組解決實際問題的一般思路是：

最后，請同學(xué)們記住：審題的過程就像尋寶，抓住關(guān)鍵的詞語就如找到標(biāo)志，找出體現(xiàn)不等關(guān)系的語句就如找到了線索，緊跟線索走就很容易找到寶藏了.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實驗初級中學(xué)）

陳東進(jìn)

一元一次不等式（組）是解決實際問題的有效工具. 在實際學(xué)習(xí)中同學(xué)們會感覺比較困難，原因是多方面的：一是題目較長，涉及數(shù)量較多，不易理解；二是找不準(zhǔn)不等關(guān)系；三是不會根據(jù)實際意義求出滿足條件的結(jié)果. 其中最容易導(dǎo)致錯誤的是找不出不等關(guān)系. 應(yīng)用一元一次不等式（組）解決實際問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)不等關(guān)系. 而找準(zhǔn)不等關(guān)系的前提是審題，在審題的過程中要挖掘出隱含的不等關(guān)系. 所以用一元一次不等式（組）解決問題應(yīng)遵循如下基本步驟：

（1） 審：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量及其關(guān)系，找出題中不等關(guān)系，要抓住題設(shè)中的“關(guān)鍵字眼”如“大于”“小于”“不小于”“不大于”等的含義；

（2） 設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；

（3） 列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；

（4） 解：解出所列不等式的解集；

（5） 答：寫出答案，并檢驗答案是否符合題意.

例1 王女士看中的商品在甲、乙兩商場以相同的價格銷售，兩商場采用的促銷方式不同.在甲商場一次性購物超過100元，超過的部分八折優(yōu)惠，在乙商場一次性購物超過50元，超過的部分九折優(yōu)惠，那么她在甲商場購物超過多少元就比在乙商場購物優(yōu)惠？

【分析】此題中的不等關(guān)系是“甲商場購物的金額<乙商場購物的金額”.題目中要求的“多少元”是指商場中商品的標(biāo)價，而在算甲商場比乙商場優(yōu)惠時計算的是王女士的實際花費(fèi)，理清關(guān)系可列不等式進(jìn)行計算.

解：設(shè)她在甲商場購物x元（x>100）就比在乙商場購物優(yōu)惠.根據(jù)題意，得

100+0.8（x-100）<50+0.9（x-50），

解這個不等式，得x>150.

答：她在甲商場購物超過150元就比在乙商場購物優(yōu)惠.

例2 甲以5 km/h的速度進(jìn)行有氧體育鍛煉，2 h后，乙騎自行車從同地出發(fā)沿同一條路追趕甲. 根據(jù)他們兩人的約定，乙最快不早于1 h追上甲，最慢不晚于1 h 15 min追上甲. 乙騎車的速度應(yīng)當(dāng)控制在什么范圍？

【分析】首先從題目中我們可以發(fā)現(xiàn)兩個表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語“不早于”和“不晚于”， “不早于”可理解為“不少于”， “不晚于”可理解為“不多于”. 然后，可以根據(jù)題意寫出兩個不等關(guān)系式：乙1 h騎車的路程-甲1 h走的路程 ≤5×2，乙1 h 15 min騎車的路程-甲1 h 15 min走的路程≥5×2，這樣，列出不等式組，問題就迎刃而解了.

解：設(shè)乙騎車的速度為x km/h，根據(jù)題意，得x-5≤5×2，

1.25x-1.25×5≥5×2.

解不等式組得：13≤x≤15.

答：騎車的速度應(yīng)當(dāng)控制在13 km/h到15 km/h這個范圍.

例3 現(xiàn)有住宿生若干名，分住若干間宿舍，若每間住4人，則還有19人無宿舍住，若每間住6人，則有一間宿舍不空也不滿，求住宿人數(shù)和宿舍間數(shù).

【分析】首先在讀題過程中，找出體現(xiàn)住宿人數(shù)和宿舍間數(shù)關(guān)系的句子，即“每間住4人，則還有19人無宿舍住”，從而確定“住宿生總?cè)藬?shù)=4×宿舍間數(shù)+19”；同時理解體現(xiàn)不等關(guān)系的句子，即“則有一間宿舍不空也不滿”，理解“不空”與“不滿”的意義，在此基礎(chǔ)上，表述不等關(guān)系式為“0<不空也不滿的那間宿舍的人數(shù)<6”. 此時，問題的焦點(diǎn)轉(zhuǎn)化為如何表示沒住滿宿舍的人數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)“沒住滿宿舍的人數(shù)”可表示為“住宿總?cè)藬?shù)-住滿的宿舍的人數(shù)之和”，從而可以設(shè)出未知數(shù)，列出不等式組解決該問題.

解：設(shè)宿舍間數(shù)為x，則住宿人數(shù)為4x+19，根據(jù)題意，得4x+19-6（x-1）>0，

4x+19-6（x-1）<6.

解不等式組得：9.5

∵x為正整數(shù)，∴x=10，11，12，

∴ 4x+19=59， 63， 67.

答：宿舍為10間，住宿人數(shù)為59人；或宿舍為11間，住宿人數(shù)為63人；或宿舍為12間，住宿人數(shù)為67人.

通過以上幾道例題的分析，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)用一元一次不等式組解決實際問題的一般思路是：

最后，請同學(xué)們記住：審題的過程就像尋寶，抓住關(guān)鍵的詞語就如找到標(biāo)志，找出體現(xiàn)不等關(guān)系的語句就如找到了線索，緊跟線索走就很容易找到寶藏了.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實驗初級中學(xué)）