將平面扇形板材拓撲成類黑洞結構的方法方程

王東輝

摘 要：文章介紹了一種新發現的‘非對稱曲折效應以及它的計算方法和對應方向。‘非對稱曲折效應主要是曲環夾角度與曲率的互換現象。利用這個原理可以將平面扇形金屬材料拓撲成‘立體反向復合梯形曲環。而這種曲環的形狀又跟黑洞類似。因此或可以根據黑洞的半徑和夾角度以及夾角兩邊的寬度，計算出其拓撲在平面的形狀和尺寸。也或可以根據這個原理，通過對能量_動量運動路徑中與場形成的夾角的測量，并根據所得夾角度對應的‘場壓力值來計量其所對應的能量_動量的大小及空間加速度快慢。曲率和夾角度可以互換的發現，使人類對空間和自然的本質有了新的認識。

關鍵詞：非對稱曲折效應；夾角度與曲率的互換；扭量；黑洞

0 引言

筆者從事古陶瓷收藏，有許多破損瓷器需要用古代鑲口工藝修復。然而請教了很多人竟都不知道確切的下料方法。且多數認為古人的精湛工藝僅僅是工匠的‘手藝不錯。但我相信這里面一定有科學的作用。經過3年左右的思考和一百多次的實驗，發現剖面為夾角的立體金屬曲環可以通過計算在平面金屬板上畫出圖，然后剪下并采用‘曲折得到。而要順利完成這個過程的關鍵點在于：1.要知道曲折線兩邊寬度的不對稱比值。如果比值不正確，曲環在曲折時就會出現褶皺和變形。2.要知道曲環在曲折過程中夾角度與曲率，半徑的變動關系。也就是說在曲環曲折時，隨著夾角度的變化，它的曲率和半徑是怎樣跟著變化的。而這些數據都需要通過實驗采集，然后再根據規律推導出通用的計算方法。當筆者把平整的立體曲環做出來后，又迷惑于其成型原理及形狀在現實中的對應。當看到黑洞的圖片后才似有所悟，并思考兩者間存在關聯的可能。而后又發現能量_動量在運動中與場擠壓產生的波紋都具有夾角狀，讓我進一步思考這種現象與‘非對稱曲折效應的關聯。

1 首先說明一下摘要中的“非對稱曲折效應”，“拓撲”和“類黑洞結構”的含義。

1.1 什么是“非對稱曲折效應”？

本實驗中的‘非對稱曲折效應是指將厚度，密度相同的平面扇形金屬板材（下簡稱‘平面扇環）沿著刻劃好的曲分界線作曲線對折，使之變成立體‘反向復合梯形曲環（下簡稱‘立體曲環）。而曲分界線兩邊材質的寬度是1：3比例。在曲折過程中，曲環的曲率和半徑隨著夾角的變化而變化。整個‘曲折過程，實際就是曲環夾角度與曲率，半徑的交換過程。鑒于‘非對稱曲折現象的特殊性，筆者把這種交換過程定義為‘非對稱曲折效應。將曲折的材料視為扭量體，曲折線兩邊的曲面材料之間視為扭量關系，曲折線兩邊曲面材料對應圓心的寬度值視為扭量值。

1.2 為何說這是一種拓撲關系？

因為從平面扇環曲折成立體曲環是曲率，半徑與夾角度的交換過程。除了曲率的變化和曲折線部位因夾角度的變小引起材料外部不可避免的延展。理論上在‘曲折后的立體曲環內部空間仍與‘曲折前的平面扇環面積相等。從這個角度衡量，這是平面扇環和立體曲環的拓撲關系。

1.3 如何得出與黑洞有關聯？

通過實驗得到的‘立體曲環和黑洞圖片進行比較，直觀上非常相似。關聯度有多大？，筆者認為可通過測量黑洞夾角兩側的寬度比例對比本實驗中的立體曲環兩側的‘扭量值比例是否相同得出結論。

2 圖文解說

解釋一下上面2組圖標示的含義

（1）曲折線：曲折線是扭量A、B的曲分界線，也是曲環夾角的頂部。它無限小，在曲折時受力是扭量A、B之和。

（2）扭量A：扭量A在‘立體曲環剖面較窄的一邊。它的扭量值是扭量B的1/3。

（3）扭量B：扭量B在‘立體曲環剖面較寬的一邊。它的扭量值是扭量A的3倍。

（4）圖1和圖2的區別在于：兩者的扭量位置相反。但扭量之間的不對稱比例相同。

3 什么是‘不可折臨界夾角度及具體值？

首先要明確這種復合曲環是兩個‘梯形曲環的反向連體結構。為了了解其基本特性，筆者將平面扇環進行卷曲實驗。圖中可以看出，不管卷的曲率有多大，卷曲環仍有斜度。因此兩個有斜度，且反向連體的梯形曲環，必定會留有夾角形空隙。實驗表明，當曲環被曲折到30度夾角時便不能再曲折，否則曲環就要變形。因此30度夾角是立體曲環的‘不可折臨界夾角度。

4 實驗方法

選一塊厚薄適中，結構勻稱，有一定塑性和延展性的平面金屬板材。放平和固定后，標示出圓心和各條曲線的半徑值位置。再用滾輪圓規壓出曲折線和各扭量值的邊界線。注意；扭量A和扭量B的扭量比值一定要1：3，且每條曲線的曲率必須相同。然后沿扭量值邊界線剪下。再用平鉗夾住扭量A一邊，另一手握住扭量B一邊。沿著曲折線小幅度的來回曲折。待接近目標半徑和曲率后，把曲環套在所求尺寸，剖面為夾角的金屬曲環上拓平即可。

5 如何計算立體曲環拓撲在平面的尺寸

要計算立體曲環拓撲在平面的尺寸，關鍵需要了解夾角度與曲率，半徑的變動比值。即在曲環夾角度變大過程中，曲折線的曲率和半徑相應的縮小和增長了多少？

從實驗數據中發現：曲折前后的曲環曲折線曲率和半徑的乘積相同。由此得出這樣一個定律，即：曲線一樣長的曲環，它們的曲率和半徑的乘積一定相等。那么想要知道曲環夾角變動后的曲折線曲率或半徑，就可以通過曲環夾角變動前的曲折線曲率和半徑的乘積除以夾角變動后的曲折線曲率或半徑的其中一個值，得出另一個值。

但這個定律，只能說明曲環在夾角度變動下，所變化出的不同曲率和半徑的乘積都相同。并不能得出曲環在特定夾角度下，它的平面曲折線的曲率和半徑值分別是多少。但這個定律的發現，拓展了筆者的思路。使筆者嘗試通過立體曲環夾角度和平面曲折線曲率或半徑的乘積規律去找出夾角度對應的平面曲折線半徑或曲率。

通過對實驗數據的檢查發現：同半徑，60～30夾角度區間的立體曲環，它們曲折前的平面扇環曲折線半徑與曲折后的立體曲環夾角度的乘積（下簡稱：‘平夾乘積）都相同。因此求立體曲環在60～30夾角度區間之對應的平面扇環曲折線半徑=區間內任意曲環夾角度與其曲折前平面扇環曲折線半徑的乘積÷所求曲環夾角度。

后又通過一系列推導和實驗（過程省略）得出：立體曲環在180～60夾角度區間的“平夾乘積”需要從180夾角度與所求立體曲環的半徑相乘的乘積（下簡稱：‘立夾乘積）基礎上遞減求得。

其遞減規律是：曲環夾角在180～150夾角度區間時，每小1夾角度即遞減‘立夾乘積的0.004444..倍值作為它的‘平夾乘積。

設平面扇環曲折線半徑為Qar，所求立體曲環曲折線半徑為x.Qbr，其中x代表未知數，Qbr代表立體曲環半徑。夾角度為L°，所求立體曲環夾角度為Ψ。

說明：把所求曲環曲折線半徑值和所求曲環夾角度代入方程，就能得出該曲環的平面扇環曲折線半徑值（下簡稱‘平面曲折線半徑）。

那么求曲環夾角在180-150度區間所對應的平面曲折線半徑Qar={180L°×x.Qbr-180L°×x.Qbr×0.004444..倍×（180L°-Ψ）}÷Ψ

而曲環夾角在150-120度區間時，它們的‘平夾乘積是從‘立夾乘積的86.66..%值的基礎上遞減。然后從150度開始算，每小1夾角度再減去‘立夾乘積的0.003333..倍值。

即：求曲環夾角在150-120度區間所對應的平面曲折線半徑Qar={180L°×x.Qbr×0.8666..-180L°×x.Qbr×0.003333..倍×（150L°-Ψ）}÷Ψ

曲環夾角在120-90度區間時，它們的‘平夾乘積是從‘立夾乘積的76.66..%值的基礎上遞減。然后從120度開始算，每小1夾角度再減去‘立夾乘積的0.002222..倍值。

即：求曲環夾角在120-90度區間所對應的平面曲折線半徑Qar={180L°×x.Qbr×0.7666..-180L°×x.Qbr×0.002222..倍×（120L°-Ψ）}÷Ψ

曲環夾角在90-60度區間時，它們的‘平夾乘積是從‘立夾乘積的70%值的基礎上遞減。然后從90度開始算，每小1夾角度再減去‘立夾乘積的0.001111..倍值。

即：求曲環夾角在90-60度區間所對應的平面曲折線半徑Qar={180L°×x.Qbr×0.7-180L°×x.Qbr×0.001111..倍×（90L°-Ψ）}÷Ψ

曲環夾角在60-30度區間時，它們所有的‘平夾乘積都為‘立夾乘積的2/3值。為了方便計算，這個值也可以理解成‘立夾乘積的0.6666..倍值。

即：求曲環夾角在60-30度區間所對應的平面曲折線半徑Qar=（180L°×x.Qbr×0.6666..倍）÷Ψ

在求得平面扇環曲折線半徑值后，再根據‘曲長相等，半徑和曲率的乘積也相等定律求出平面扇環曲折線曲率。

即：平面扇環曲折線曲率=立體曲環曲折線曲率×立體曲環曲折線半徑÷平面扇環曲折線半徑。

設平面扇環曲折線曲率為Qa?S，半徑為Qar。立體曲環曲折線曲率為Qb?S，半徑為Qbr。

簡化為Qa?S=Qb?S×Qbr÷Qar

在計算完平面扇環曲折線半徑和曲率后，還要算各扭量值邊界線的半徑值。（注；由于各扭量值邊界線的曲率與曲折線一致，不用再求）。邊界線半徑值可以按具體扭量值從‘平面曲折線半徑基礎上加減求得。外扭量值采用加法，內扭量值采用減法。

即：求扭量A在外側時的平面邊界線半徑=平面曲折線半徑+扭量A值。

求扭量值A在內側時的平面邊界線半徑=平面曲折線半徑-扭量A值

求扭量B在外側時的平面邊界線半徑=平面曲折線半徑+扭量B值

求扭量B在內側時的平面邊界線半徑=平面曲折線半徑-扭量B值

6 如何求夾角在動態下的曲環曲率和半徑的變化值

如果我們要計算夾角在動態下的曲環曲折線曲率和半徑的變化值。或者用于立體曲環與平面扇環互相拓撲時的換算，則可以用一個更簡便的計算方法。即預先算出立體曲環夾角度對應的平面曲折線半徑是立體曲環半徑多少倍的值（下簡稱：平立倍率值），即用‘平夾乘積求得的平面曲折線半徑值÷立體曲折線半徑值得出。而求得的‘平立倍率值也是立體曲環曲折線曲率是其夾角度對應的平面曲折線曲率多少倍的值。再用‘平立倍率值與夾角變動前的曲環曲折線曲率和半徑值進行計算，得出夾角變動后的曲環曲折線曲率和半徑值。

設未知‘平立倍率值為x.a.a..，其中x代表未知數，a.a..表示倍率值。另說明一下：經運算發現在原方程中代入任何自然數作為半徑值，求得的倍率都一樣。因此下列方程中的n.Qbr表示任何半徑值，其中n表示任何自然數。

即：曲環夾角在180～150度區間所對應的‘平立倍率值x.a.a..={180L°×n.Qbr-180L°×n.Qbr×0.004444..倍×（180L°-Ψ）}÷Ψ÷n.Qbr

曲環夾角在150～120度區間所對應的‘平立倍率值x.a.a..={180L°×n.Qbr×0.8666..-180L°×n.Qbr×0.003333..倍×（150L°-Ψ）}÷Ψ÷n.Qbr

曲環夾角在120～90度區間所對應的‘平立倍率值x.a.a..={180L°×n.Qbr×0.7666..-180L°×n.Qbr×0.002222..倍×（120L°-Ψ）}÷Ψ÷n.Qbr

曲環夾角在90～60度區間所對應的‘平立倍率值x.a.a..={180L°×n.Qbr×0.7-180L°×n.Qbr×0.001111..倍×（90L°-Ψ）}÷Ψ÷n.Qbr

曲環夾角 在 60-30 度 區 間 所 對 應 的 ‘ 平 立 倍 率 值x.a.a..=（180L°×n.Qbr×0.6666..倍）÷Ψ÷n.Qbr

那么求夾角度變大后的曲折線半徑=夾角度變大前曲折線半徑×（夾角度變大前對應的“平立倍率值”÷夾角度變大后對應的“平立倍率值”）

求夾角度變大后的曲率=夾角度變大前曲折線曲率÷（夾角度變大前對應的“平立倍率值”÷夾角度變大后對應的“平立倍率值”）

求夾角度變小后的曲折線半徑=夾角度變小前曲折線半徑×（夾角度變小前對應的“平立倍率值”÷夾角度變小后對應的“平立倍率值”）

求夾角度變小后的曲折線曲率=夾角度變小前曲折線曲率÷（夾角度變小前對應的“平立倍率值”÷夾角度變小后對應的“平立倍率值”）

“平立倍率值”也能用于立體曲環和平面扇環的相互拓撲計算：

即：求平面扇環曲折線半徑=立體曲環曲折線半徑×夾角度對應的‘平立倍率值。

簡化為：Qar=Qbr×x.a.a..

求平面扇環曲折線曲率=立體曲環曲折線曲率÷夾角度對應的‘平立倍率值

簡化為：Qa?S=Qb?S÷x.a.a..

求立體曲環曲折線半徑=平面扇環曲折線半徑÷夾角度對應的‘平立倍率值

簡化為：Qbr=Qar÷x.a.a..

求立體曲環曲折線曲率=平面扇環曲折線曲率×夾角度對應的‘平立倍率值

簡化為：Qb?S=Qa?S×x.a.a..

7 探討：曲環對扣結構與時空場結構的聯系

立體曲環做成后發現，扭量位置相反的兩個曲環，只要尺寸合適，可以拼接成一個對應體。這種形狀如何定義尚不確定，但其跟有關資料上的時空模擬圖類似，因此提供給讀者參考。而要做成這樣一個對應體，兩個曲環的扭量值和夾角度都必須相等，所要計算的是兩個曲環內外下口的直徑如何做到一致。（具體算法就不再展開了）。

8 探討：動能大小，場壓力值大小，空間加速度快慢與波的夾角度關系

上圖可以看出：水波夾角兩邊的寬度呈明顯的不對稱性，與實驗取得的立體曲環形狀類似。且發現動能與水波的夾角度成反比。即：動能越大，產生的水波越高，其夾角度也越小。而根據‘非対稱曲折效應原理，曲環夾角度越小，其對應的曲率增加倍率越大。筆者認為水波的形狀是動能和場以曲線路徑擠出來的。考慮到每個夾角度對應曲率增加倍率不盡相同。所以水波的每個夾角度所對應的動能也應是不同的。而夾角度對應的動能之間和曲率之間的比值應該相同。

如果把這種思考位移到空間，那么動能的大小，也可以在空間反應出來。即動能越大，產生的空間波的夾角度越小。同時空間場對動能的壓力就越大，空間加速度也越快。如何理解后面的推斷呢？，我們再回到水中觀察：動能越大，水波的夾角度就越小，水場反饋給動能的壓力就越大，而壓力能產生加速度效果。空間場的加速度現象也應是空間場反饋給動能壓力的結果。

因此得出：動能大小=波的夾角度小大=動能承受場的壓力大小=空間加速度的快慢。

如果這樣的理解是正確的。那就可以把波的夾角度變化看成場壓力值大小變化，再用立體曲環夾角度對應的曲率凈增倍率值來借用于場壓力值的度量單位。解釋一下：凈增倍率值是指在‘平立倍率值上剔除掉基礎倍率后的值。

即：動能產生的波夾角在180-150度區間所對應的場壓力值=立體曲環夾角在180-150度區間所對應的曲率凈增倍率值={180L°×n.Qbr-180L°×n.Qbr×0.004444..倍.×（180L°-Ψ）}÷Ψ÷n.Qbr-1

動能產生的波夾角在150-120度區間所對應的場壓力值=立體曲環夾角在150-120度區間所對應的曲率凈增倍率值={180L°×n.Qbr×0.8666..-180L°×n.Qbr×0.003333..倍×（150L°-Ψ）}÷Ψ÷n.Qbr-1

動能產生的波夾角在120-90度區間所對應的場壓力值=立體曲環夾角在120-90度區間所對應的曲率凈增倍率值={180L°×n.Qbr×0.7666..-180L°×n.Qbr×0.002222..倍×（120L°-Ψ）}÷Ψ÷n.Qbr-1

動能產生的波夾角在90-60度區間所對應的場壓力值=立體曲環夾角在90-60度間所對應的 曲 凈 增 倍 率 值={180L°×n.Qbr×0.7-180×n.Qbr×0.001111..倍×（90L°-Ψ）}÷Ψ÷n.Qbr-1

動能產生的波夾角在60-30度區間所對應的場壓力值=立體曲環夾角在60-30度間所對應的 曲 率 凈 增 倍 率 值=（180L°×n.Qbr×0.6666..倍）÷Ψ÷n.Qbr-1

然后通過場壓力值與動能和空間加速度的換算，得出相應的場壓力值所對應的動能、空間加速度分別是多少。

9 結論

‘非對稱曲折效應揭示的曲率和夾角度的互換現象，使我們對廣義相對論中時空曲率的描述有了更直觀的理解——它就是動能和場產生的時空波夾角。同時對研究空間形狀和演變原理也提供了新的視角。

關注我研究的朋友認為此物理現象可能跟‘黎曼假設有一定的關聯性。我得出的結論是：看不懂這個假設的很多內容，但其描述的‘建立在特殊直線上的非平凡零點又于本實驗中的“扭量值”及因其精確扭量比所衍生出的‘平立倍率值有一定對應之處。

參考文獻

[1]王仁華，趙憲忠，謝步瀛.平面桁架結構拓撲優化方法研究[J].力學季刊，2010， 31（2）：310-317.

（作者單位：舟山市永達中介所）