函數(shù)及其性質(zhì)探究

王藝潤

摘 要：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要組成部分，對(duì)我們的邏輯思維能力和分析能力都有一定的考查。而函數(shù)，作為數(shù)學(xué)學(xué)科中一個(gè)重要的基本組成部分，可以說，函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。函數(shù)作為高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，同時(shí)起到了承接高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用。本文通過對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中函數(shù)性質(zhì)的討論，進(jìn)一步展開闡述了函數(shù)的性質(zhì)與意義，體現(xiàn)了函數(shù)學(xué)習(xí)的重要意義。

關(guān)鍵詞：函數(shù)性質(zhì)；周期性；奇偶性；對(duì)稱性

一、函數(shù)的概念

函數(shù)（function），最初的定義是在十七世紀(jì)，著名數(shù)學(xué)家萊布尼茨，首次使用“function”（函數(shù)）一詞來表示“冪”，后來一直沿用該詞表示曲線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)、切線長等曲線上點(diǎn)的有關(guān)幾何量，后演變?yōu)楝F(xiàn)代的函數(shù)概念。中國關(guān)于函數(shù)的概念始于中國近代著名數(shù)學(xué)家李善蘭，他在其著作《代數(shù)學(xué)》中首次將函數(shù)概念的function譯為函數(shù)，他稱之為“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，用以解釋函數(shù)指的是一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化的概念。

1.函數(shù)的定義

按照現(xiàn)代課本上的定義：假設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，設(shè)為f，有集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都能找到唯一確定的數(shù)y和x對(duì)應(yīng)，那么就稱f ： A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x），x∈A或

f（A）={y | f（x）=y，y∈B}。其中x被稱作自變量，y被稱為因變量，集合A是函數(shù)的定義域，與x相對(duì)應(yīng)的y叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x） | x∈A}稱為函數(shù)的值域。

定義域，值域和對(duì)應(yīng)法則是我們常說的函數(shù)三要素。一般表示為y=f（x），x∈D。

2.函數(shù)的表示方法

2.1解析式法。這是我們計(jì)算和解題中最常使用的一種函數(shù)表達(dá)方法。即使用相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系的等式去表示題中兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。如f（x）=a0+∑ancos

+bn sin

或簡(jiǎn)單的f（x）=ax+b。其優(yōu)點(diǎn)在于可以簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確、清楚地表示出函數(shù)的數(shù)量關(guān)系；但缺點(diǎn)是需要經(jīng)過復(fù)雜的運(yùn)算才能得到對(duì)應(yīng)值，并且在實(shí)際問題中，有些函數(shù)關(guān)系并不一定可以用表達(dá)式表示出來。

2.2列表法。即用列表的方式來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。優(yōu)點(diǎn)在于通過表格，已知自變量的值和與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值一一對(duì)應(yīng)，一目了然；缺點(diǎn)在于只能列出部分對(duì)應(yīng)值，不能體現(xiàn)函數(shù)的全貌。

2.3圖象法。是將函數(shù)的自變量與因變量的值分別作為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，然后在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，這些點(diǎn)組成的圖形就叫做該函數(shù)的圖象。

2.4語言敘述法。即使用簡(jiǎn)單通俗的語言文字進(jìn)而描述函數(shù)的關(guān)系。

二、函數(shù)的性質(zhì)

1.奇偶性

若對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意x都有f（-x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數(shù)；相反的若對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意X都有f（-x）=f（x），就稱f（x）為偶函數(shù)。一般的，若函數(shù)f（x）不具有上述兩種性質(zhì)，則f（x）不具有奇偶性。同樣的，函數(shù)也可以同時(shí)具有上述的兩種性質(zhì)，則f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。

2.單調(diào)性

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，那么若對(duì)于定義域A內(nèi)的某個(gè)區(qū)間B內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1

⑶f（x）是以2x1（x1≠0）為周期的周期函數(shù)。以其中任意兩個(gè)論述為條件，另一個(gè)論述為結(jié)論進(jìn)行證明。

證明：（1）、（2）（3）

由f（x）是奇函數(shù)f（-x）=-f（x），且f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（x1，0）對(duì)稱。

有f（x1+x）=f（x1-x）

又f（2x1-x）=-f（x）

可得f（2x1-x）=f（-x），并推出f（2x1+x）=f（x）

故函數(shù)f（x）是以2x1為周期的函數(shù)。

（1）、（3）