科學史中的描點作圖法

宋維葉

編者的話：在學習的過程中，你一定會遇到許多問題，也需要解決這些問題，而在解決問題的過程中，如果能深入一些、細致一些，就會有新的發現，把你的發現寫出來就是一篇論文。希望同學們在學習過程中要善于發現和總結，同時也希望同學們把論文寄給我們。

不管是物理學、化學還是生物科學，現代實驗科學的研究都離不開數據，研究一個變量隨其他變量變化的規律是現代科學的重要目標和方法。在18世紀之前，科學家研究變量之間的關系時主要利用數據表的方法，也就是利用一張二維的數據表格列出當自變量取一系列不連續的數值時對應的因變量的數值，通過觀察和計算這些數值可以得出因變量隨自變量變化的規律。18世紀之后，科學家們逐漸采用描點作圖法來形象地發現、研究和展示實驗中變量之間的關系。雖然科學家們現在已經發明了完善的利用數學運算得出因變量隨自變量變化的函數關系的現代數理統計方法，但是因為描點作圖法更有利于發現數據變化的趨勢，有利于判斷具體的一組數據對這一趨勢的偏離（即偶然誤差過大的數據），因而在實驗的數據處理中描點作圖法仍然得到廣泛運用。

翻開高中物理教科書我們會發現，大多數的實驗都需要或者可以利用描點作圖法進行數據處理。比如描繪小電珠的伏安特性曲線的實驗就是利用電流表測出流過小電珠的電流，用電壓表測出小電珠兩端的電壓，測出多組值。然后在坐標紙上以上為橫軸，以下為縱軸，建立坐標系，再在坐標系中描出各組數據所對應的點。最后將描出的點用平滑的曲線連接起來，就得到了小電珠的伏安特性曲線。其他可以使用描點作圖法的實驗還有探究彈力和彈簧伸長量的關系、研究勻變速直線運動、驗證牛頓運動定律、探究動能定理、驗證機械能守恒定律、測定金屬的電阻率、測定電源的電動勢和內阻以及傳感器的簡單應用等。

使用描點作圖法需要注意的是，在進行描點時要盡量使圖線平滑，而且盡量使各個點落到描出的這條平滑的圖線上。對于偏離這條圖線而落不到圖線上的點，應使這些點均勻地分布在圖線的兩側。由描點作圖法得到的圖線可以直觀地看出變量之間的關系，并通過進一步的觀察和計算得出變量之間的函數關系。在求函數時，如果所描出的圖線是一條直線，則為一次函數；如果所描出的圖線是一條曲線，則可能為二次函數、反比例函數或其他類型的函數。如果所描出的圖線為一條曲線，可以嘗試根據不同情形改變橫坐標或縱坐標所代表的變量，從而將所描出的圖線轉換為一條直線。比如在驗證牛頓運動定律的實驗中，因為加速度與質量成反比，如果用縱坐標表示加速度，橫坐標表示小車及砝碼的總質量，則描出的圖線應為雙曲線的一支。如果用縱坐標表示加速度，橫坐標表示小車及砝碼總質量的倒數，這樣所描出的圖線應為一條直線。如果一個變量和另一個變量的平方成正比，則可以用橫坐標或縱坐標表示某一變量的平方，這樣則可以將實驗得出的二次函數轉化成一次函數，比如驗證機械能守恒定律實驗。當然，并不是所有的曲線都可以通過這種方法轉化為直線。

下面結合高中物理知識，從科學史的角度簡要回顧一下描點作圖法的發展史，并重點以英國著名天文學家、數學家、化學家及攝影師赫歇爾利用描點作圖法求雙星軌道的方法為例，了解歷史上科學家對描點作圖法的運用，以便幫助我們更好地理解這一方法。

將脫離坐標系的曲線圖作為一種展示變量如何隨著時間變化的簡單方法最早可以追溯到公元10世紀，但是在坐標系中將一個變量與另一個變量進行對照來展示兩者之間關系的方法只有到17世紀笛卡兒坐標系發明之后才出現。到18世紀末，德國著名的天文學家、物理學家和數學家蘭伯特所繪制的土壤溫度變化的曲線圖（圖1，我們主要通過圖了解科學家利用描點作圖法進行研究的過程，只要看圖的大致形狀即可，不需要關注圖中的具體數據，下面的圖2、圖3、圖4也是如此）已經為今天的我們習以為常。蘭伯特是這樣描述他的方法的：

我們通常利用兩個變量x、y，將它們相互垂直放置以便于確定對于每一個x（我們可以將它作為橫坐標）所對應的縱坐標y的值。如果實驗或者觀察完全準確，這些坐標會給出一系列的點，通過這些點可以連成一條直線或者光滑曲線。但是由于實驗或者觀察往往不夠準確，這些數據點會或多或少地偏離這些線。因此我們在畫這些線的時候必須盡可能靠近這些點而從這些給定的點的中間穿過。

到了19世紀20年代，比利時人口學家、數學家、天文學家凱特萊已經開始使用和現代模式非常接近的統計曲線圖。到了19世紀30年代，赫歇爾已經設計出了“方格紙”來繪制曲線圖：準備好一張紙，在上面畫好兩套以直角相交的等距平行直線，每隔9條線畫一條比其他線更粗的直線。這樣，這張紙的整個表面就被粗線分成一些大的正方形，每個大的正方形又被其中的細線分成許多個小的正方形。

這種“方格紙”到19世紀末已經非常流行，今天已經成為我們處理實驗數據所必備的坐標紙。

赫歇爾1833年出版的《論旋轉雙星軌道的研究》提出了一種利用描點作圖法來研究雙星軌道的圖形方法。赫歇爾認為，這種圖形方法能夠提供一種處理復雜數據的實用方法，讓科學家可以排除觀察中的偶然誤差，揭示數據表所不能揭示的規律。他還認為這種方法可以依靠人的判斷在數據具有不確定性時給出比數字計算更好的結果。

通常情況下，雙星中都是一個比另一個更亮些。赫歇爾假設其中較暗的恒星（即伴星）質量較小，圍繞較亮的、質量較大的恒星（即主星）以橢圓軌道運轉，主星位于伴星橢圓軌道的一個焦點上。赫歇爾研究了蛇夫座70雙星，這對雙星互相環繞一周的周期是88年，這就決定了除利用自己的觀測數據外，他還必須利用前人的觀測數據。由于技術條件的限制，前人的觀測數據有的誤差太大。赫歇爾所面臨的任務就是結合前人參差不齊的觀測數據以及自己的觀測數據確定雙星軌道的最佳近似結果。

雙星的數據由兩個測量值組成，即雙星之間的距離d和方位角θ（圖2，圖中的兩顆星分別表示主星和伴星，橫線表示水平方向，縱線表示豎直方向，向上指向天頂）。赫歇爾認識到主要問題在于距離的測量，因為雙星之間的距離不僅非常小而且變化不明顯，而伴星圍繞主星運轉的方位角卻在不停地變化。因此方位角的相對變化比距離的相對變化要明顯得多。另外，赫歇爾還知道自己的千分尺在測量距離時會經常出現不規則的誤差，而他對方位角的測量比對距離的測量精確得多。于是，他千方百計想尋找一種利用方位角來處理觀測數據的方式，而開普勒第二定律（在相等的時間內，太陽和運動中的行星的連線所掃過的面積都是相等的）使這一方式成為可能。因為根據開普勒第二定律，只要有了伴星在不同時間圍繞主星運動的角速度，就可以由角速度計算出雙星之間的相對距離。

為了獲得角速度，赫歇爾在一張大坐標圖上將前人和自己觀測到的不同的方位角相對于觀察時間的數據描成一系列的點（圖3）。

對于這個圖，我們可以看出赫歇爾是通過眼睛的判斷徒手并且仔細地來畫出了一條盡可能少、盡可能近地偏離這些點的曲線。還要注意這條曲線不是“通過”，而是“從這些點中間穿過”。

赫歇爾指出，有些天文學家的觀測數據比其他人的數據更可靠，因為他們擁有更好的儀器，使用更成熟的技術，我們在畫圖的時候就應該圈出這些數據，并且使曲線盡可能地靠近這些點，于是這條曲線就應該更可靠地反映了真實情況，因為它比任何一個單獨數據更為可靠。

曲線在某一點的斜率給出了這一時刻的角速度，從角速度和時間他計算出了伴星到主星的相對距離。利用行星在各個時刻的方位角以及由其計算出的相對距離的數值，赫歇爾得到了蛇夫座70雙星的伴星圍繞主星運行的橢圓軌道（圖4）。

為了找到伴星運行完整個軌道所需要的時間，他把這條橢圓軌道拷貝到一張非常均勻的布紋紙上，這張紙沒有硬結，也沒有厚度不均勻的地方。他切下整個橢圓并稱量其質量，然后從這個橢圓上切下包含他利用的時間段的部分，再稱量所切下部分的質量并與整個橢圓的質量相比，質量的比率就是面積的比率。根據開普勒第二定律，他所研究的時間段除以這個比率就是整個軌道所對應的時間，即伴星圍繞主星運行的周期。

可見，描點作圖法能夠減少觀察的誤差和波動來揭示它們背后所隱藏的客觀規律。當我們利用曲線圖進行研究時，被偶然誤差所掩蓋的規律有時就會變得非常明顯。特別是面臨數據的缺乏而不是過剩的問題時，曲線圖也許能起到很好的作用。因此，曲線圖能夠把人們的雙手和雙眼作為頭腦的助手，畫出隱藏在數據背后的規則性的形狀。

在科技不發達的過去，描點作圖法對許多科學家的科學研究工作起到了很大的幫助作用。今天，雖然科技發展了，但描點作圖法仍是我們的好幫手，讓我們在今后的學習和研究中多加利用吧！

（責任編輯 趙平）