動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒的比較及應(yīng)用

許海俊

動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律都是高中物理中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，它們的綜合應(yīng)用是近年高考?jí)狠S題所考查的重要知識(shí)點(diǎn).認(rèn)清兩守恒定律的相似之處和不同點(diǎn)，才能更好地掌握兩定律，以便在解題時(shí)能靈活運(yùn)用.

一、兩守恒定律的比較

1.相似之處

（1）兩個(gè)定律都是用“守恒量”表示自然界的變化規(guī)律，研究對(duì)象均為物體系.應(yīng)用“守恒量”表示物體系運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化規(guī)律是物理研究中的重要方面.我們學(xué)習(xí)物理，就要學(xué)會(huì)用守恒定律處理問(wèn)題.

（2）兩個(gè)守恒定律均是在一定條件下才成立，它們都是用運(yùn)動(dòng)前、后兩個(gè)狀態(tài)的守恒量的相等來(lái)表示物體系的規(guī)律特征的，因此，它們的表達(dá)式是相似的，且它們的表達(dá)式均有多種形式.

（3）運(yùn)用守恒定律解題都要注意其系統(tǒng)性（不是其中一個(gè)物體）、相對(duì)性（表達(dá)式的速度和其他有關(guān)物理量必須對(duì)同一參考系）、同時(shí)性（物體系內(nèi)各物體的動(dòng)量和機(jī)械能都是同一時(shí)刻的）、階段性（滿(mǎn)足條件后，各過(guò)程的始末守恒）.求解問(wèn)題時(shí)，都只需考慮運(yùn)動(dòng)的初狀態(tài)和末狀態(tài)，而不必考慮兩個(gè)狀態(tài)之間的過(guò)程細(xì)節(jié).

（4）兩個(gè)定律都可用實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證，都可用理論進(jìn)行論證.動(dòng)量守恒定律是將動(dòng)量定理用于相互作用的物體，在物體系不受外力的條件下推導(dǎo)出來(lái)的；機(jī)械能守恒定律是將動(dòng)能定理用于物體系（物體和地球組成的系統(tǒng)），在只有重力做功的條件下推導(dǎo)而成的.

2.不同之處

（1）守恒量不同.動(dòng)量守恒定律的守恒量是動(dòng)量，機(jī)械能守恒定律的守恒量是機(jī)械能，因此，它們所表征的守恒規(guī)律是有本質(zhì)區(qū)別的，動(dòng)量守恒時(shí)，機(jī)械能可能守恒，也可能不守恒；反之亦然.

（2）守恒條件不同.動(dòng)量守恒定律的適用條件是系統(tǒng)不受外力（或某一方向系統(tǒng)不受外力），或系統(tǒng)所受的合外力等于零，或者系統(tǒng)所受的合外力遠(yuǎn)小于系統(tǒng)之間的內(nèi)力.機(jī)械能守恒定律適用的條件是只有重力或彈力做功；或者只有重力或彈力做功，受其他力，但其他力不做功.

（3）表達(dá)式不同.動(dòng)量守恒定律的表達(dá)式是矢量式，不論是m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′，還是p1+p2=p1′+p2′，或者Δp1=-Δp2均是矢量式，對(duì)于在一直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)的物體系，只要規(guī)定正方向，動(dòng)量守恒定律可表示為代數(shù)式.機(jī)械能守恒定律的表達(dá)式為標(biāo)量式，一般它表示為Ek1+EP1=Ek2+EP2，或ΔEP=-ΔEK；或者ΔEa=-ΔEb（將系統(tǒng)分成a、b兩部分來(lái)研究）.二、兩守恒定律的應(yīng)用 要正確解答物理問(wèn)題，就須先對(duì)題目所提供的物理情景、物理過(guò)程進(jìn)行認(rèn)真細(xì)致的分析.只要過(guò)程分析正確了，解題就是水到渠成、順理成章的事——應(yīng)用有關(guān)的公式、定理、定律等進(jìn)行運(yùn)算.因此在解答習(xí)題中應(yīng)將“重心”放在分析物理過(guò)程上.下面通過(guò)分析三個(gè)例子來(lái)說(shuō)明兩守恒定律的應(yīng)用.

例1如圖1所示，用長(zhǎng)為l的輕細(xì)繩拴住一個(gè)質(zhì)量為m的小球后，另一端固定在O點(diǎn)，將繩拉直后，將小球分別從位置Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由靜止開(kāi)始釋放，求小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度及繩對(duì)小球的拉力.

圖1講析在運(yùn)用機(jī)械能守恒定律解決問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是判斷機(jī)械能是否守恒，根本依據(jù)是過(guò)程中物體受力情況及各力做功情況.

本題中，當(dāng)小球分別從Ⅰ、Ⅱ釋放后，繩就對(duì)小球有拉力作用，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球只受重力和繩的拉力作用，但繩的拉力對(duì)小球不做功，只有重力做功，故過(guò)程中小球的機(jī)械能守恒.先用機(jī)械能守恒定律求出小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)的速度，再根據(jù)牛頓第二定律可求出繩在最低點(diǎn)的拉力.

如果認(rèn)為小球從位置Ⅲ開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能還守恒就大錯(cuò)特錯(cuò)了.小球從位置Ⅲ開(kāi)始下落后，在一段時(shí)間內(nèi)，繩對(duì)小球沒(méi)有作用力（這時(shí)繩沒(méi)有被拉直），小球做自由落體運(yùn)動(dòng)！（需要注意臨界條件，從Ⅱ位置以下的各位置開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能均守恒，從Ⅱ位置以上的各位置開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，出現(xiàn)了新情況，這時(shí)要認(rèn)真研究因量變而發(fā)生質(zhì)變的新情況）待小球下落了一個(gè)l長(zhǎng)后，即小球到達(dá)位置Ⅰ時(shí)，繩開(kāi)始對(duì)小球有作用力.所以，要注意臨界條件往往會(huì)因量變而引起質(zhì)變.在小球剛落至位置Ⅰ時(shí)，速度方向?yàn)樨Q直向下，大小為2gl （根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的公式v2t=2gl可得）.由于繩的拉力作用，同時(shí)繩不可伸長(zhǎng)，小球其后的運(yùn)動(dòng)，只能是圓周運(yùn)動(dòng).這意味著其后不可能保留沿繩方向的速度，但這一速度在剛到達(dá)Ⅰ是存在的.這一項(xiàng)分速度的大小為122gl（根據(jù)速度分解如圖1中所示，沿繩方向的分速度為vtcos60°=122gl），這一速度在繩拉力作用下迅速減為零.因此小球開(kāi)始做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度不是2gl，而是322gl

（垂直于繩方向的分速度為vtsin60°=322gl）.換言之，小球在這一極短時(shí)間內(nèi)，機(jī)械能有了損失.當(dāng)小球從Ⅰ再運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)，機(jī)械能重新守恒.同樣應(yīng)用機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律可求出小球運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)的速度及受到的拉力.（附答案：v1=gl，v2=2gl，v3=52gl，F(xiàn)1=2mg，F(xiàn)2=3mg，F(xiàn)3=3.5mg）

圖2例2質(zhì)量為M的斜劈A放在水平地面上，斜劈的斜面頂端放上一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊B，如圖2所示，當(dāng)滑塊從頂端滑向底端的過(guò)程中，如果不計(jì)一切摩擦，斜劈與滑塊組成的系統(tǒng)動(dòng)量是否守恒？

講析本題研究對(duì)象是A和B組成的系統(tǒng).在B沿A的斜面下滑時(shí)，系統(tǒng)所受的外力為A與B的重力及地面對(duì)A的支持力.有的學(xué)生在分析這個(gè)過(guò)程時(shí)，認(rèn)為A與B的重力及地面對(duì)A的支持力相互平衡，因而系統(tǒng)所受合外力為零，進(jìn)而合外力的沖量為零，所以系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，這種判斷是缺乏根據(jù)的.當(dāng)滑塊B沿斜面下滑時(shí)是加速下滑，這時(shí)將發(fā)生失重現(xiàn)象.因此，水平地面對(duì)A的支持力將小于A(yíng)與B的重力，系統(tǒng)所受合外力并不為零，系統(tǒng)的動(dòng)量并不守恒！

應(yīng)該看到，動(dòng)量守恒定律反映的是矢量間的關(guān)系.當(dāng)系統(tǒng)所受合外力不為零，系統(tǒng)的動(dòng)量不守恒，但這時(shí)并不防礙在垂直于合外力的方向上的沖量為零，在這一特定的方向上動(dòng)量是守恒的.在本題中，重力也好，支持力也罷，均為豎直方向上的外力.在水平方向上，系統(tǒng)是不受外力的，因此，系統(tǒng)在水平方向上的動(dòng)量是守恒的.當(dāng)B沿斜面下滑時(shí)，因A、B之間的彈力作用（此為內(nèi)力），A將沿水平方向運(yùn)動(dòng)，A、B在水平方向的動(dòng)量始終守恒.B在豎直方向的動(dòng)量一直增加，系統(tǒng)在豎直方向的動(dòng)量一直增加，并不守恒.所以，從總體上說(shuō)，動(dòng)量并不守恒，但在水平方向上動(dòng)量是守恒的.

可見(jiàn)，今后在處理問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該注意區(qū)分系統(tǒng)的動(dòng)量守恒及系統(tǒng)在某個(gè)方向的動(dòng)量守恒.圖3例3如圖3所示，質(zhì)量為M的擺被兩根長(zhǎng)為l的輕細(xì)繩懸掛起來(lái).一顆質(zhì)量為m的子彈，以一定的速度水平射人擺內(nèi)，并留在擺中，擺與子彈擺過(guò)的最大角為θ，求子彈的速度.

講析在子彈射人擺的過(guò)程中，子彈與擺之間存在相互作用.這種作用既改變了子彈的動(dòng)量也改變了擺的動(dòng)量.實(shí)際上，這一作用時(shí)間是很短的，對(duì)于在這一極短時(shí)間內(nèi)擺的運(yùn)動(dòng)可以忽略不計(jì)，因此，子彈與擺組成的系統(tǒng)在水平方向所受外力的沖量忽略不計(jì)，系統(tǒng)在水平方向的動(dòng)量守恒.這一過(guò)程的最終結(jié)果是子彈與擺具有相同速度.但在這一過(guò)程中，系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒，因?yàn)榇诉^(guò)程中子彈克服巨大阻力做功，大量的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能.在子彈與擺以相同速度擺動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)所受外力為重力及繩拉力，但只有重力做功，拉力不做功，系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能，機(jī)械能守恒.在這個(gè)過(guò)程中，因繩拉力的沖量作用，系統(tǒng)總動(dòng)量減少，系統(tǒng)的動(dòng)量不守恒.

前一階段（子彈打入擺的過(guò)程），系統(tǒng)動(dòng)量守恒而機(jī)械能不守恒；后一階段（擺與子彈擺動(dòng)過(guò)程）又發(fā)生了相反的情況，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒而動(dòng)量不再守恒.這種結(jié)果并不奇怪，是由于這兩個(gè)守恒定律有著不同的守恒條件.

清楚了系統(tǒng)中物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程及其所遵循的規(guī)律，運(yùn)用相應(yīng)的定律就可解出.答案：v0=m+Mm2gl（1-cosθ）