如何高效利用習(xí)題變式

裴樹峰　楊國輝

在數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)中，切實提高復(fù)習(xí)的效率，夯實學(xué)生的基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，提升綜合運用知識能力，是我們面臨中考前必須具備的各項本領(lǐng).所以，在中考復(fù)習(xí)中要注重教材的知識內(nèi)容，領(lǐng)悟教材的精髓，挖掘典例習(xí)題的精華思想，延伸思維，爭取收到事半功倍的效果.下面以2013年人教版教材的一道經(jīng)典習(xí)題為例，與同學(xué)們一起交流有關(guān)中考復(fù)習(xí)的體會.

例1：（人教版數(shù)學(xué)教材八年級下冊第68頁綜合運用中的第8題）如圖1，ABCD是一個正方形花園，E、F是它的兩個門，且DE=CF，要修建兩條路BE和AF，這兩條路等長嗎？它們有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？

解答：兩條路等長，相等.

理由：如圖1，因為在正方形ABCD中，所以AB=AD.因為DE=CF，所以AE=DF.又因為正方形ABCD，所以∠ADC=∠BAD=90°.所以△ABE≌△DAF，所以AF=BE.

本題的考點是正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì).這些考點在最近兩年的各省市中考命題里應(yīng)用是比較多的，本道題的關(guān)鍵是將正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)的知識應(yīng)用于生活實際中.通過解答這道題我們要學(xué)會在審題的過程中進行思維轉(zhuǎn)化，快速抓住題目所給的有效信息.具體方法如下：

一、由靜態(tài)到動態(tài)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的運動變化思維

例2：在正方形ABCD中，動點E、F分別從D、C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動。

（1）如圖2，當(dāng)點E自D向C，點F自C向B移動時，連接AE和DF交于點P，請你寫出AE與DF的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖3，當(dāng)E、F分別移動到邊DC、CB的延長線上時，連接AE和DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不需證明）

（3）如圖4，當(dāng)E、F分別在邊CD、BC的延長線上移動時，連接AE、DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；

（4）如圖5，當(dāng)E、F分別在邊DC、CB上移動時，連接AE和DF交于點P，由于點E、F的移動，使得點P也隨之運動，請你畫出點P運動路徑的草圖.若AD=2，試求出線段CP的最小值.

解答：（1）AE=DF，AE⊥DF.先證得△ADE≌△DCF.由全等三角形的性質(zhì)得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF.

（2）成立.四邊形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，所以AE=DF，∠DAE=∠CDF，因為∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，即AE⊥DF.

（3）成立.由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF，延長FD交AE于點G如圖4（1），再由等角的余角相等可得AE⊥DF.

（4）由于點P在運動中保持∠APD=90°如圖5

（1），所以點P的路徑是一段以AD為直徑的弧，設(shè)AD的中點為O，連接OC交弧于點P，此時CP的長度最小，再由勾股定理可得OC的長，再求CP即可.

本題的關(guān)鍵是將原來教材中重點的題變式演化而命制.屬于幾何圖形變換題型.此類型題的主要解題方法是抓住幾何圖形的變換特征，學(xué)會應(yīng)用運動變化的角度解決問題，由靜態(tài)到動態(tài)，千萬別被“動”嚇到，其實它并不難.如題目中的“動點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)以相同的速度在直線DC，CB上移動”這關(guān)鍵的“題眼”，便明確了動點的運動路徑的不同情況，這種題型在近幾年的中考命題中考查比例很大.通過本題的訓(xùn)練，重點學(xué)會以下幾點方法：

1.對教材的典型例題、習(xí)題進行多角度地變式，特別是變換圖形的條件、位置，進而培養(yǎng)靈活變化的思維.

2.通過探究幾何圖形的變換過程中的蘊藏的規(guī)律，讓自己真正體會幾何圖形的運動變化中的一靜一動的內(nèi)在變化關(guān)系，切身經(jīng)歷知識規(guī)律的探究過程，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂.

二、從特殊到一般，培養(yǎng)猜想探究問題的能力

例3：九年級數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)校的“數(shù)學(xué)長廊”中興奮地展示了他們小組探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，內(nèi)容如下：

（1）如圖6，正三角形ABC中，在AB、AC邊上分別取點M、N，使BM=AN，連接BN、CM，發(fā)現(xiàn)BN=CM，且∠NOC=60°.

請證明：∠NOC=60°.

（2）如圖7，正方形ABCD中，在AB、BC邊上分別取點M、N，使AM=BN，連接AN、DM，那么AN= ，且∠DON= 度.

（3）如圖8，正五邊形ABCDE中，在AB、BC邊上分別取點M、N，使AM=BN，連接AN、EM，那么AN= ，且∠NOE= 度.

解題過程：

（1）根據(jù)已知條件可以證明△ABN≌△BCM，得∠ABN=∠BCM，進而得到∠NOC=60°；

（2）先證明△ABN≌△DAM，得AN=DM，∠ADM=∠BAN，最后得∠DON=90°.

（3）先證明△ABN≌△EAM，得AN=ME，再得∠AEM=∠BAN，最后得∠NOE=∠NAE+∠AEM=∠NAE+∠BAN=∠BAE=108°.

本題的考點是等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、正多邊形的性質(zhì)等知識.這些知識都是近幾年中考命題的重點.本題的關(guān)鍵是“正三角形、正方形、正五邊形……至正多邊形”的特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn).增強了對幾何圖形的特殊到一般的探究猜想的 應(yīng)用意識和能力.通過本題應(yīng)該掌握“一個方法、一種思想”：

1.一個方法：變換圖形的形狀、拓展幾何圖形的寬度（橫向變化、縱向變化），是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最常用的變式訓(xùn)練的另一種方法。從中感受到幾何圖形的“動中有變，變中不變”，提高自己的思維探究意識.

2.一種思想：從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.對公式、定理、法則的學(xué)習(xí)往往都是從特殊開始，通過總結(jié)歸納得出來的，證明后，又使用它們來解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題.分析歷年的中考試題，考查特殊與一般的思想的題比比皆是，所以這類題型必然成為今后中考命題改革的方向，希望引起高度重視.

三、變式幾何題目背景，培養(yǎng)綜合應(yīng)用能力

例4：正方形ABCD在如圖9所示的平面直角坐標(biāo)系中，A在x軸正半軸上，D在y軸的負(fù)半軸上，AB交y軸正半軸于E，BC交x軸負(fù)半軸于F，OE=1，拋物線y=ax2+bx-4過A、D、F三點.

（1）求拋物線的解析式；

（3）在射線DB上是否存在動點P，在射線CB上是否存在動點H，使得AP⊥PH且AP=PH，若存在，請給予嚴(yán)格證明，若不存在，請說明理由.

解題過程：

（1）根據(jù)△OEA∽△ADO，D（0，-4），E（0，1）可求出A點的坐標(biāo)，再根據(jù)Rt△ADE≌Rt△ABF可求出F點的坐標(biāo)，把A，F(xiàn)兩點的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式即可得出未知數(shù)的值，進而求出其解析式；

（3）先根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)圖形可看出，有三種情況符合題目條件：

圖①通過證明Rt△PQH≌Rt△ANP得到∠APN+∠HPQ=90°，進一步得到AP⊥PH，

圖②通過證明Rt△PMH≌Rt△PAN和PN∥BH得到∠HPA=∠NPA+∠HPN=∠MHP+∠HPM=90°，

圖③通過證明Rt△PNH≌Rt△PMA和PN∥AB，得到∠HPA=90°.

本題的考點是三角形相似的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式等知識.本題的難點是將教材中的原來的典型習(xí)題經(jīng)過新加工變式，變換了幾何圖形的新背景，將二次函數(shù)與幾何圖形的有機結(jié)合，使原來題目增加了難度和挑戰(zhàn)性，這勢必將成為將來中考命題的方向和趨勢.因此，強烈建議同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)過程中，一定要多從基礎(chǔ)知識基本技能著手，以基本的問題為著眼點，夯實基礎(chǔ)知識，學(xué)會積極探究、發(fā)現(xiàn)分析解決問題的方法，進而提升學(xué)習(xí)的能力，一定會提高我們的數(shù)學(xué)成績.

同學(xué)們，近幾年的中考命題一直推崇“源于課本，回歸課本，在教材中能找到中考題目的影子”的命題理念.所以在日常學(xué)習(xí)中，一定要認(rèn)真學(xué)習(xí)教材，從而實現(xiàn)由注重知識過渡到注重能力.學(xué)會回歸教材，以便使我們在題海中把自己解救出來，在中考復(fù)習(xí)期間收獲頗豐，使中考數(shù)學(xué)成績得以提高.