強化數學建模 培養創新能力

陳文，湖北省武漢市第二十九中學教導處主任，中學高級教師，湖北省“課內比教學，課外訪萬家”活動先進個人，武漢市2014年度“高效課堂建設”先進個人，武漢市硚口區第九批學科帶頭人，第三批硚口區骨干教師，武漢市”黃鶴英才“培養對象。先后在省級刊物發表文章5篇，參與了3個國家級課題研究和結題報告的撰寫，主編了特色校本課程《幾何畫板——數學學習的助推器》，承擔了5套教輔類書籍的編寫和修訂。

越來越多的人認為數學教學是一種模式化的教學，讓學生能夠在豐富多彩的各種問題中概括提煉數學模型，并熟練掌握各種基礎數學模型，應用基礎模型解決實際問題是學習數學、應用數學和發展數學的基礎。高中數學課程標準中已明確提出函數模型與函數建模有關內容的教學要求，同時強調數學學習的本質是培養有效的數學思維和應用數學的能力，在高中數學教學中強化數學建模意識，是培養學生創新能力的重要載體。

一、經歷基礎數學模型構建的過程，

內化建模認知

1.基礎數學模型是模型建立的基礎

課堂是教師和學生交流的主要場所，隨著課堂改革的深入，教學越來越不受時間和空間限制。但教師和學生的主要交流方式仍然是在課堂上，所以，教師應該充分利用課堂教學向學生內化建模認知，并滲透建模思想。現行教材對各種公式、定理和法則等，都非常注重其知識的形成過程，而得到這些基礎模型往往就是一個建立模型的過程，所以注重知識形成過程的教學，能很好地內化建模認知和滲透建模思想。

在教學實踐中，教師可以利用教材，以教材上的知識點為基礎，采用微課和導學案等形式，在學生掌握基本知識的基礎上進行適當延伸，或通過教材上的實例展開小組學習和討論，進一步體會建模過程反復和逐漸優化的特性，在教學中向學生提供適時的指導，讓學生自己通過對基礎模型形成過程的理解，做到舉一反三，在舊有知識上生出新的知識和方法。

比如，學生通過對等差數列概念及性質的探究，體會等差模型的研究方法和特點，就會比較輕松地實現等比數列的模型探究，從而讓學生自己完成對新知識的建構。學生對自身的認識結構進行調整后，通過對等差、等比數列的基本理解和掌握，就能創造性地研究其他類型的數列，從一個單一的等差、等比數列的認知狀態，過渡到另一個可轉化為等差、等比數列的數學模型的認知和性質研究，真正意義上實現授生以漁。

2.基礎函數模型是高中數學建模的重點

高中教材中的函數模型最為普遍。函數模型是用函數形式來表達的數學模型，即用基礎函數模型對生活中普遍存在的利潤、成本、效益、用料等實際問題進行轉化、抽象、歸納和加工，建立相應的基礎函數模型的復合形式，運用函數的方法解決實際問題。

只有在對基礎函數模型掌握得比較準確熟練后，學生才能通過轉化、遷移、發散和抽象，把復雜的問題簡單化，把未知的問題熟悉化，把實際生活問題數學化，從而培養學生的轉化能力、想象能力和創新意識。常見的有一次函數、二次函數、反比例函數、對勾函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數和由以上函數構成的分段函數以及復合函數等。同一個問題的解決可以有各種不同的模型建構，不同問題也可以利用同一模型解決。同時，對實際問題和相對復雜的問題，往往還需要多個模型聯系、整合和抽象，借助導數、向量、方程和積分才能解決。

正確地將實際問題轉化為函數模型是解決問題的關鍵，轉化來源于對已知條件的綜合分析、歸納與抽象，并與熟知的函數模型相比較，從而確定適用的函數模型，利用函數構造數學模型來解決實際問題，這對于學生的數學學習至關重要。如何有效落實函數模型的教學，讓學生體會、理解和掌握函數模型及函數模型建立是函數模型教學的重心。由于生活中具有函數特征的問題很豐富，也不難轉化，所以教學中應該用生本理念去推動學生自主發現、自主調查、自主質疑、自主探究和小組交流分享，從而實現知識建構的實踐性、豐富性和有效性。

比如，教師在進行指數、對數函數模型應用的教學時，可以通過生活中具備二元關系的問題，組織學生先進行社會調查，從調查數據中進行適當的篩選，根據調查數據借助計算機進行函數模型探究，再根據模型對調查數據進行檢驗，檢驗過程中學生會自然提出對模型或數據的質疑，自然引發模型方案的再探究，從而體會模型建立的反復性。通過這樣一個反復探究的過程，學生不僅對函數模型的認識達到一個新的高度，同時培養并提升了對實際問題的轉化思路，這有利于他們掌握模型建立的方法。

二、精心設計前置性導學案，

引導學生開展模型自主探究

新課程改革要求進一步轉變教師角色，從側重知識傳授轉變為引領學生尋求掌握知識的來源。數學建模的過程、途徑及其結果都是開放的。數學建模突破了以往以教室、教師、教材為中心的狀況，可以深入社會，可以由學生自主完成，也可以通過小組合作交流，甚至借助校外教授、專家等豐富的社會資源進行探究，極大地調動了學生的積極性，增強了學生學習的興趣和欲望；同時，強調學生的動手能力、統計能力、協調能力和表達能力及其團隊意識，多方位地提高學生的綜合素質。在條件允許的情況下，盡可能地讓學生走出課堂，通過社會實踐和小組合作等方式去體會建模的基本步驟，在生活中應用數學模型，表達自己的見解。社會實踐、研究性學習以及生涯規劃等課程，能很好地引導學生走出去，學生從實踐中不僅能學到社會知識，還能加強溝通交流的能力。同時，在如何用數學模型解決生活中的實際問題方面，也將會取得良好效果。

基于此，課前教師應精心設計前置性學習導學案，為學生的探究活動掃除知識性、方向性的障礙，通過導學案引導學生去探究問題的關鍵所在，幫助學生克服畏難情緒，對模型構建有一個初步的自主學習。前置性導學案應選擇教學低起點、緩坡度設置問題，用可持續拓展的思路編寫，以簡潔的形式抓住模型探究的主線，找準模型探究的重難點，留給學生寬廣的探究空間，人人可做，人人又不一樣，使不同層次的學生得到不同程度的發展。通過自主學習探究，讓學生在”自主”中充分暴露思維、暴露問題，提高模型教學的針對性。

比如，關于測量類模型的建構，設計導學案時應事先提醒學生對測量物體進行抽象化理解和對基本常識的掌握，同時鼓勵學生采用多種測量方式，對測量數據進行分析和優化，從而突出測量方法的多樣性和科學性，歸納不同條件下的模型建立方法，培養創新思維能力。

三、創新數學模型教學，體會模型應用的樂趣

數學模型教學不能局限于教材，更不能拘泥于教材中的函數模型應用。應該著眼于培養學生應用數學的意識，著力于基礎模型的應用；培養學生分析和解決實際問題的能力，加強對實際問題的轉化和抽象；給予學生發展所需要的數學，立足為學生終身發展奠基；鼓勵學生研究解決生存、生活和服務社會所需要的數學。

中學數學教學中應融入數學建模思想，培養學生解決實際問題和應用問題的能力，使數學具有更高的教育價值和社會價值。在實際教學中要有意識地設置與生活息息相關的實際問題背景，培養學生關注生活、關注社會的主人翁意識。在教學素材的選取中要體現科學性，不能為教學方便的需要而隨意改變假設和數據，應盡可能地符合實際問題的需要，盡可能地讓素材做到層層遞進、環環相扣、首尾呼應。

在教學探究過程中，要注重學生的參與性。只有學生的廣泛參與才能更好地開展模型教學，對基礎薄弱的學生，更需要通過模型教學的參與來促進他們學習數學的興趣。也可以以探究過程為載體，讓學生主動學習、主動探究，讓每位學生都能在數學模型的應用和學習中獲得愉悅和成就感。在課后的鞏固中，要鼓勵學生加強反思、整理和質疑，在此基礎上構建知識網絡、題型歸類、方法模型提煉和問題延伸，感悟收獲。小組之間要對各自的反思及收獲進行交流，教師要結合學生的交流作建設性評價，并指導學生進一步完善和拓展，讓學生逐漸學會自主知識構建和模型建構的方法。

四、數學模型教學應融入教學的各個環節中

數學來源于生活，又服務于生活，新課引入教學應注重模型意識的滲透，因此，要充分挖掘新課知識所蘊含的實際背景，將現實生活中發生的與數學學習有關的素材適時引入課堂，提高學生學習數學的興趣，同時內化為數學的應用模型；要將教材上的內容通過生活中熟悉的事例，以情境再現的方式在課堂上展示給學生，描述數學問題產生的背景，以問題背景為導向開展新課程學習。

比如，三角函數模型應用中的溫度變化例題，教師可以事先安排學生對一天的溫度變化進行統計。為克服統計誤差，可以借助網絡或者全班學生的統計結果進行大數據處理，作為三角函數模型的引例，其真實性、趣味性和參與性得到了充分發揮。

新課探究過程應突出模型建立的方法、模型基礎應用和模型優化探究，體驗模型思想，體會模型方法，歸納模型特征。積極引導學生自主探索、合作交流，對學習過程、學習材料進行主動歸納和提升，力求建構出人人都能理解的數學模型，尋求最佳數學模型；在解釋與應用中體驗數學模型思想的實用性，用所建立的數學模型來解答實際生活中的問題，體會到數學模型的實際應用價值，體驗到所學知識的用途和益處，體驗到實際應用所帶來的快樂。比如，在探究三角函數的周期性變化的模型教學中，教材本是以抽象的圓為研究對象，而生活中的實例很多，教師在問題設置中不難找到實際背景下的應用問題，可以從娛樂城的各種圓盤玩具運行規律進行研究，也可以以天體運行為研究對象等。這些問題既是學生感興趣的，同時也可以更好地體現數學模型應用的價值。

復習課教學應注重解題模型的提煉和總結。數學學習離不開解題，高中階段的數學問題有較強的知識綜合性，需要思維的靈活性，但所考查的數學知識、方法和基本數學思想是不變的，題目形式的設置是相對穩定的。因而，通過對答題思路的分析、梳理，構建重點題型的解題模型，有利于培養學生抓住問題的本質舉一反三的能力。

實際問題教學中應注重數學模型應用的有效探究。數學教學應該越來越向數學的本質靠近，即教學生有用的數學。在教學中，可以選取更加鮮活的題材進行數學模型應用的教學，甚至可以通過社會實踐的調查和適當的模型假設來實現數學模型的對接，增強問題的開放性。雖然很費時費力，但學生能更好地體會問題，同時使問題更具開放性和教育性，實現模型應用的有效探究。

總之，在實際的數學教學過程中，應強調以生本理念為核心，充分調動學生積極性，鼓勵學生挖掘數學模型、探究數學模型和應用數學模型。通過強化數學模型的教學，讓學生在數學問題和實際問題間實現相互轉化、建立聯系，并了解數學在實際生活中的應用價值。這樣不僅能夠使學生更加牢固地掌握基礎數學模型和數學模型應用的方法，奠定堅實的數學基礎，從而提高課堂教學的效率，激發學生學習數學的興趣，而且能夠讓學生學會建模的方法，從而掌握探究新知、解決和探索未知事物的有效途徑，逐步培養學生創新實踐能力。這樣極大地實現數學教學適應學生終身發展需要的功能，讓數學教學變得魅力無窮！

（責任編輯 郭向和）