機動期間的GEO衛星鐘差確定方法

武美芳，韋　沛，楊旭海

(1. 中國科學院國家授時中心，陜西 西安 710600； 2. 中國科學院精密導航定位與定時技術重點實驗室，陜西 西安 710600； 3. 中國科學院大學，北京 100049)

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機動期間的GEO衛星鐘差確定方法

武美芳1,2,3，韋沛1,2,3，楊旭海1,2

(1. 中國科學院國家授時中心，陜西 西安 710600； 2. 中國科學院精密導航定位與定時技術重點實驗室，陜西 西安 710600； 3. 中國科學院大學，北京 100049)

Method of Determination of GEO Satellite Precise Clock Bias during Maneuvering

WU Meifang，WEI Pei，YANG XuHai

摘要：分析了多種精密衛星鐘差的插值方法，構建了GEO衛星機動模型，并結合插值方法，確定機動期間的GEO衛星鐘差，并將結果與iGMAS最終產品進行了比較和分析。結果表明，三次樣條插值是用于確定機動期間的GEO衛星鐘差的最優方法,其結果精度可達0.01～0.38 ns。

關鍵詞：GEO衛星；機動；精密衛星鐘差；插值；衛星鐘差確定

GNSS提供全球連續的定位與授時服務，目前最主要的應用包括導航測繪、國土資源監測、氣象學、地震學、安全救援等領域。因此，精度并不是需要考慮的唯一參數，完備性、連續性、可用性、可靠性等也是值得關注的。我國自主建設和運行的北斗導航系統(以下簡稱BDS)，《北斗衛星導航系統公開服務性能規范(1.0版)》也明確規定了除精度之外的連續性、可用性的相關指標。

我國的BDS用地球靜止軌道衛星(以下簡稱GEO)作為導航星座。但是，GEO導航衛星在軌道壽命期內，由于信號干擾、軌位限制等問題，必須定期進行機動，這種機動會產生推力，導致動力學建模誤差，進而影響定軌精度和衛星鐘差的確定。因此，在目前的BDS導航文件中，機動當天連續8 h，衛星狀態為“不可用”，而在目前的精密鐘差產品中，也不包含GEO衛星機動期間的鐘差和軌道數據。這種情況一方面直接影響了BDS的可用性和連續性指標，制約了某些領域的應用，如安全救援和地震減災；另一方面也給利用GEO衛星鐘差產品開展的科學研究帶來了一定的影響。因此，GEO機動期間衛星鐘差研究及確定就顯得極為重要。

衛星機動期間，只有星歷、衛星鐘差不可用，軌道等其他因素是完好的，如果能確定機動期間的衛星鐘差，則衛星機動帶來的影響可大大消除。從本質上來講，機動期間的GEO衛星鐘差確定是一個插值問題，即利用機動前后的已知的精密星鐘差來內插得到機動期間的GEO衛星鐘差。

一、鐘差插值方法的分析

機動期間的GEO衛星鐘差確定需要鐘差內插，而用于內插的數學方法很多，如二次多項式插值、三次樣條插值及高次多項式插值(如拉格朗日多項式、切比雪夫多項式)等，從理論上講，這些方法都可以用于精密鐘差的內插。

1. 二次多項式插值

衛星鐘的鐘差包括鐘差、頻偏、頻漂及鐘的隨機誤差。衛星鐘的這種偏差可用二階多項式的形式加以表示。設二階多項式的系數分別為a0、a1、a2，由最小二乘求解模型參數，衛星鐘差為衛星鐘時間T與導航系統的時間t之差，其關系式如下

T-t=a0+a1(t-t0)+a2(t-t0)2

(1)

式中，t0為參考歷元；系數a0、a1、a2分別為t0時刻的鐘差、鐘速及鐘速的變率。因此，二階多項式插值可用于衛星鐘差插值。

2. 拉格朗日多項式插值

拉格朗日多項式插值模型也可用于鐘差插值。但是，衛星鐘差除了包括鐘差、頻偏、頻漂等產生的誤差外，還包含鐘差的隨機項，由于衛星鐘差的隨機項的不確定性，導致衛星鐘差變化無規律可循，高次拉格朗日多項式用于鐘差內插時的精度并不理想。國內的相關學者也證明了上述結論，并指出：當拉格朗日多項式的階數取2時，可以得到最佳的內插結果，此時標準差和最大誤差都最?。划旊A數大于10時，內插精度越來越低，即多項式階數越高，衛星鐘差插值的精度越低，振蕩現象越明顯。因此，如果鐘差的內插采用拉格朗日多項式，建議階數不要超過10，以保證內插的精度和穩定度。

定義拉格朗日插值函數如下

(2)

式中

是n次插值基函數，滿足條件

對于n階插值，即有n+1個已知點，內插位于這n+1個點之間的任意位置的函數值。

3. 三次樣條插值

三次樣條插函數是分段三次多項式，在每個節點處有2階連續導數，設[a,b]上給出一組節點a≤x0

1)s(x)∈c2[a,b]。

2)s(x)在每個小區間[xi,xi+1](i=0,1,…,n-1)上是三次多項式，則稱s(x)是節點x0,x1,…,xn上的三次樣條函數。

3) 若s(x)在節點上還滿足插值條件s(xi)=f(xi)，(i=0,1,…,n-1)，則稱s(x)為[a,b]上的三次樣條插值函數。

二、算例分析

1. 確定試驗方案

本試驗首先構造衛星機動期間鐘差試驗數據；其次利用插值模型對試驗數據進行插值以確定GEO衛星機動期間的鐘差，插值模型包括二次多項式、三次樣條插值和拉格朗日多項式插值；最后，將iGMAS中GEO衛星精密鐘差作為真值，用于檢驗3種模型的精度并得出結論。

2. 構造試驗數據

GEO衛星機動當天，其廣播星歷中有連續8 h的數據狀態顯示為不可用，且沒有事后精密鐘差及軌道數據。因此必須利用GEO非機動時段的精密鐘差數據構造GEO衛星機動數據作為試驗數據。

非機動日的精密鐘差數據為iGMAS官方網站上發布的BDS中2014年7月15日C03號GEO衛星的精密鐘差數據，其采樣間隔為5 min，一天共有288個歷元，如圖1所示。

圖1　2014年7月13日C03號衛星精密鐘差數據

由于在衛星機動當天，衛星的實際機動時間不會超過2 h，因此相應去掉非機動日精密鐘差數據中連續2 h的數據，即圖1中133—156個歷元，生成GEO衛星機動數據作為試驗數據。如圖2所示，在生成的試驗數據中，已知數據分為兩部分，即第1—132個歷元和第156—288個歷元，長度264，有鐘差數據；未知(待計算)數據為第133—156個歷元，長度24，無鐘差數據。

圖2　生成的C03號衛星機動數據

3. 分析試驗結果

使用生成的試驗數據，結合拉格朗日多項式、三次樣條和二次多項式3種插值方法，內插計算衛星機動期間缺失的鐘差數據，并利用iGMAS提供的精密衛星鐘差作為真值，計算插值殘差，C03號衛星殘差結果如圖3—圖5所示。

圖3　C03號衛星拉格朗日插值計算殘差

圖4　C03號衛星三次樣條插值計算殘差

圖5　C03號衛星二次多項式計算殘差

由于目前iGMAS公布的BDS精密鐘差的內符合精度在0.5 ns左右，因此，內插精度應該優于0.5 ns。為了驗證該結論，分別計算3種模型插值殘差的均方根誤差和最大誤差，并統計其插值精度，見表1。

表1　內插統計結果　ns

表1表示BDS 2014年7月15日C01—C05號，共5顆GEO衛星分別用3種插值模型得到的殘差統計結果。從結果可以看出：

1) 二階多項式模型在3種插值模型中，插值精度最差，最大時甚至大于1 ns，故不可用于確定機動期間的GEO衛星鐘差。

2) 三次樣條插值和低階拉格朗日多項式的插值精度均在亞納秒量級，均可滿足實際應用需求。

3) 三次樣條插值精度和低階拉格朗日多項式的插值精度相差不大，約在0.01 ns量級。

4) 除C03號衛星外，三次樣條插值的精度優于低階拉格朗日多項式。

5) 三次樣條插值的穩定性較好，其殘差的最大值均小于其他兩種插值模型。

6) 綜上所述，確定機動期間的GEO衛星鐘差，可以使用三次樣條插值和低階拉格朗日多項式插值方法。從優到劣為三次樣條插值、低階拉格朗日插值。

三、結束語

通過算例證明，大多數情況下，三次樣條插值是3種方法中確定機動期間的GEO衛星鐘差的插值方法中效果最好的插值方法。由于在iGMAS系統中，GEO衛星精密鐘差精度在0.5 ns左右，而三次樣條插值精度可達到0.01～0.38 ns(針對算例數據)，因此可認為三次樣條插值結果能夠滿足實際應用的需求；同時，其插值的穩定性也明顯優于低階拉格朗日插值和二次多項式插值；并且，三次樣條插值函數是分段三次多項式，在每個節點處有二階連續導數，插值結果連續光滑，且插值計算簡便，運算效率高。綜上所述，三次樣條插值是確定機動期間的GEO衛星鐘差的理想方法。由此，機動期間的GEO衛星鐘差可以通過三次樣條插值得以確定，BDS的可用性、連續性指標得以提高，并且對利用GEO衛星鐘差產品開展的科學研究具有一定的意義。

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中圖分類號：P228

文獻標識碼：B

文章編號：0494-0911(2016)04-0018-03

作者簡介：武美芳(1985—)，女，工程師，主要從事北斗導航的研究工作。E-mail: wumeifang@ntsc.ac.cn

收稿日期：2015-06-03

引文格式： 武美芳，韋沛，楊旭海. 機動期間的GEO衛星鐘差確定方法[J].測繪通報，2016(4)：18-20.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0113.