連續梁動力特性解析解和頻率敏感性研究

石鹿言 黃 明

(中國中元國際工程有限公司，北京 100089)

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連續梁動力特性解析解和頻率敏感性研究

石鹿言 黃 明

(中國中元國際工程有限公司，北京 100089)

采用改進的分跨聯立方法，結合相鄰兩跨支座處的位移、轉角和彎矩的關系，推導了多跨連續梁自由振動方程的解析解；獲得了連續梁的頻率方程和振型方程，通過算例，驗證了兩個方程的準確性，并基于連續梁的頻率方程，對連續梁的自振頻率進行參數敏感性分析，研究了跨度比和抗彎剛度對自振頻率的影響規律。

連續梁，頻率方程，自振頻率，跨度比，抗彎剛度

多跨連續梁廣泛應用于工業建筑、橋梁工程和機械工程中，多跨連續梁固有頻率的計算和參數敏感性分析，在土木工程、機械工程以及管道工程的抗震設計中具有重要的工程意義。現有的多跨連續梁自振頻率的參數敏感性分析多基于有限元方法，該方法需要手動調節參數，工作量大，效率偏低；為了準確高效的研究自振頻率的參數敏感性必須獲得多跨連續梁動力特性的精確解。國內外學者對多跨連續梁動力特性的求解進行了大量的研究[1-5]，但均未給出多跨連續梁頻率方程的具體表達式，也未對自振頻率的參數敏感性進行有效的分析。本文通過對分段聯立法進行改進，獲得了多跨連續梁頻率方程的具體表達式，并基于頻率方程研究了跨度比和等效抗彎剛度對自振頻率的影響。

1 連續梁的動力特性解析解

1.1 多跨預應力連續梁振動方程

如圖1所示，n(n≥2)跨連續梁為均勻、連續的各向同性材料，其變形滿足平面假定，假設第i跨的等效抗彎剛度為EIi，單位長度的質量為mi，梁的橫向位移為ui(x,t)。以第i跨梁段為研究對象，假設第i跨梁段起點i的轉角為θi,i+1，彎矩為Mi,i+1，終點i+1處的轉角為θi+1,i，彎矩為Mi+1,i，如圖2所示；則第i跨的自由振動方程為:

(1)

其中，第i(2≤i≤n-1)跨兩端與相鄰跨的彎矩和轉角需滿足如下條件:

θi,i-1=θi,i+1;Mi,i-1=Mi,i+1;
θi+1,i=θi+1,i+2;Mi+1,i=Mi+1,i+2

(2)

第一跨和最后一跨與其相鄰跨的彎矩和轉角需滿足如下條件:

M1,2=0;θ2,1=θ2,3;
M2,1=M2,3;Mn+1,n=0;
θn,n+1=θn,n-1;Mn,n+1=Mn,n-1

(3)

顯然，n跨連續梁的振動方程為滿足彎矩和轉角條件的n個單跨梁振動方程組成的方程組。

1.2 多跨連續梁振動方程的求解

本文將多跨連續梁振動方程的求解轉化為滿足彎矩、轉角和位移邊界條件的多個單跨梁振動方程的求解。多跨連續梁的第i跨的振動方程采用分離變量法求解可得振型方程為:

φi(x)=Asin(hix)+Bcos(hix)+Csinh(nix)+Dcosh(nix)

(4)

其中，ω2=a4EIi/mi；A,B,C和D均為實常數，這四個實常數可由梁端邊界條件(位移、轉角和彎矩等)計算得到，即可得到連續梁的自振頻率和振型。

1.3 多跨連續梁振型方程的求解

如圖2所示，第i(1≤i≤n)跨梁段兩端的位移和彎矩需滿足:

(5)

利用式(4)和它對x的二階偏導數，由式(5)可求解得出:

(6)

將求得的系數A，B,C和D代入式(4)可得第i(1≤i≤n)跨振型函數的表達式。

1.4 多跨連續梁的頻率方程

第i(1≤i≤n)跨梁段由振型函數式(10)微分一次得轉角方程為:

(7)

對于支座i，由于Mi=Mi,i+1=Mi,i-1，且相鄰兩跨轉角需滿足θi,i-1=θi,i+1，其中2≤i≤n，則由式(7)可得:

Xi-1Mi-1+(Yi-1+Yi)Mi+XiMi+1=0

(8)

上述方程組共有(n-1)個方程和(n+1)個未知數，整理成矩陣形式為:

αM=0

(9)

其中，M=[M1,M2,…,Mn+1]T；

對于n跨連續梁需滿足M1=0，Mn+1=0，整理式(9)得:

α0M0=0

(10)

其中，M0=[M2,M3,…,Mn]T；

矩陣方程(10)的系數矩陣為稀疏帶狀矩陣；對于n跨預應力連續梁在任意激勵作用下式(10)必定存在非零解，則有式(11)恒成立。

(11)

通過化簡該稀疏帶狀行列式(11)，可得到含有未知量ω(圓頻率)的恒等式，即為n跨連續梁的頻率方程。將ωi代入振型方程組式(4)即可求得n跨連續梁的第i階振型。

根據式(11)整理可得三跨連續梁的頻率方程為:

(12)

1.5 數值驗證

以三跨連續梁為例驗證本文給出的頻率方程和振型函數的正確性；連續梁的梁高0.3 m，梁寬0.2 m，計算跨度6 m+8 m+6 m，材料彈性模量為2.35 GPa，密度1.18 t/m3。利用本文方法和有限元法(單元長度0.2 m)計算獲得的三跨梁的自振頻率如表1所示，頻率方程根的分布如圖3所示，前八階振型見圖4。

由表1和圖4知，本文方法計算的三跨連續梁各階自振頻率和振型與有限元結果相吻合。這說明本文給出的多跨連續梁的頻率方程和振型函數是有效的，利用本文推導的多跨連續梁頻率方程可以準確的獲得結構的模態參數。

2 連續梁自振頻率的參數敏感性分析

表1 三跨體外預應力連續梁分析結果

我國的混凝土連續梁橋中相當一部分為三跨一聯、四跨一聯連續梁橋。本文基于推導的多跨連續梁的頻率方程，對三跨和四跨連續梁的自振頻率進行參數敏感性分析，著重研究跨度比和等效抗彎剛度等因素對自振頻率的影響規律。取三跨和四跨連續梁的基準彈性模量，密度，慣性矩，截面面積和各跨跨長均為單位1。

通過以上兩種方法，可以有效控制小分子物質的產生，并及時排出產生的小分子，從而提升PP注塑件的氣味、VOC水平，改善車內空氣質量。

三跨對稱連續梁當兩邊跨相等(L1=L3，L2=1)時，不同跨度比對自振頻率的影響如圖5所示。跨度比定義為邊跨與中跨的跨度的比值。

由圖5可知，自振頻率隨跨度比的變化并非簡單的線性關系。自振頻率隨跨度比的增加而逐漸減少，其中高階頻率變化較快，低階頻率變化較慢，基頻隨跨度比大致呈線性變化規律。

當三跨體外預應力連續梁的兩個邊跨不相等時(L1≠L3，L2=1)，自振頻率與兩個跨度比的關系如圖6所示。

由圖6知，三跨連續梁的跨度比的變化對各階自振頻率影響差別較大，總體上自振頻率隨跨度比的減少而增大且各階頻率變化圖關于X=Y平面對稱。

表2 三跨連續抗彎剛度與自振頻率表

實際工程中四跨連續梁中以各跨跨徑相同最常見，圖7分別給出了各跨跨徑相同的四跨連續梁的跨度對自振頻率影響的云圖。表3給出了四跨連續梁的抗彎剛度變化對自振頻率的影響。

由圖7可知，隨著跨度的增加，四跨連續梁的各階自振頻率明顯降低，高階自振頻率的變化較低階頻率的更加明顯。由表3可知，抗彎剛度的變化對四跨連續梁各階自振頻率的影響是相同的。

表3 四等跨連續梁抗彎剛度與自振頻率表

抗彎剛度自振頻率頻率變化率/%f1f2f3f4f1f2f3f40.20.819571.09751.4183.0493-55.28-55.28-55.28-55.280.41.1591.5522.00534.3124-36.76-36.75-36.75-36.760.61.41941.90072.45585.2816-22.55-22.54-22.54-22.540.81.63912.19482.83596.0987-10.56-10.56-10.56-10.5611.83262.45393.17066.8186————1.22.00732.6883.47327.46949.539.549.549.541.42.16822.90353.75158.067818.3118.3218.3218.321.62.3183.10394.01058.624826.4926.4926.4926.491.82.45853.29224.25389.148134.1534.1634.1634.16

3 結語

1)本文給出了多跨連續梁自由振動方程的解析解，數值算例驗證表明，本文方法計算的三跨連續梁各階自振頻率和振型與有限元結果相吻合，說明本文方法的準確性。

2)利用本文推導的多跨連續梁頻率研究了自振頻率對跨度比和抗彎剛度等參數的敏感性，分析表明：自振頻率隨跨度的變化并非簡單的線性關系；隨著跨度的增加多跨連續梁的各階自振頻率明顯降低，高階自振頻率的變化較低階頻率的更加明顯。截面抗彎剛度的變化對多跨連續梁的各階自振頻率的影響是相同的。

[1] 姚佐球.各種支承連續梁的振動頻率方程[J].華南理工大學學報(自然科學版),1991,19(4):63-69.

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Study on dynamic characteristic analytical solution and frequency sensitivity of continuous beam

Shi Luyan Huang Ming

(China Zhongyuan International Engineering Co., Ltd, Beijing 100089, China)

Applying the improved dividing span and simultaneous equation method, combining with the adjacent two-span bearing relationship of displacement, torsion angle and bending moment, the paper induces the analytical solution of multi-span continuous-beam free-vibration equation, and obtains frequency equation and vibration equation of continuous beam, and testifies the accuracy of two equations through calculation cases. Based on continuous beam frequency equation, it carries out parameter sensitivity analysis of natural vibration frequency of continuous beam, and finally studies the influential law of span-ratio and flexural rigidity upon natural vibration frequency.

continuous beam, frequency equation, natural vibration frequency, span-ratio, flexural rigidity

1009-6825(2016)12-0034-03

2016-02-16

石鹿言(1983- )，女，碩士，工程師

U441

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