以兩道運動學問題為例談巧用繩子列補充方程

張 旭 波

(武漢大學土木建筑工程學院，湖北 武漢 430000)

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以兩道運動學問題為例談巧用繩子列補充方程

張 旭 波

(武漢大學土木建筑工程學院，湖北 武漢 430000)

介紹了理論力學中繩子不計質量、不可伸長的特點，以兩道簡單的運動學問題為例，闡述了通過繩子的特點，解決多物體由繩子相連的問題，對類似問題的解決方法有一定的參考價值。

繩子，運動學，滑輪，加速度

1 繩子的特點

在理論力學動力學部分的學習中，常常需要解決兩個或兩個以上物體通過繩子相連的問題。這一類問題也常常讓同學們頭痛，明明已經將物體分離，并且對物體進行了分析，但有時候卻無法找到物體運動量之間的關系，有的同學甚至會出現概念不清，亂用動量矩定理的推論——對自己認為“應該”是速度瞬心的位置求應用動量矩定理，結果自然是得到錯誤的答案。其實，在這種情況下，只需要弄清楚連接物體的繩子的特點，問題就可以迎刃而解。

理論力學各種習題中繩子常見的特點有：1)不計質量，因此，同一個繩段兩端作用的力大小相等，方向相反；2)不可伸長，因此，同一繩段上的速度，加速度(或切向加速度)相同。利用這兩個特點就可以列出相關物體間運動量關系的補充方程。下面將以兩道簡單的運動學問題為例，進一步闡述對這兩特點的應用，望對同學們的學習有幫助。

2 應用舉例

對物體A由質心運動定理有：

對于繩段AC由特點1)可知，作用在A點和C點的力大小相等，方向相反，故對物體O1由動量矩定理有：

同理，對繩段DE和繩段O2B，作用在D和E上的力大小相等，方向相反，作用在O2和B上的力大小相等，方向相反。因此，對物體B同樣有：

再由特點2)可知，繩段AC中A處與C處加速度相同，并且繩上C處的加速度等于物體O1的C處的切向加速度，故有補充方程：

aA=αO1·R。

同理繩段DE處有：aD=aE,其中，aD=αO1·R。

而繩段FI由于F處為固定端，無速度，因此I處的速度也為0。且由于I到質心O2的距離不變，為R，由此，I為物體O2的速度瞬心。因此，以O2為對象由動量矩定理的推論得：

并且可得到：aE=αO2·R。

聯立以上方程得：

這里應該注意的是兩個圓盤的速度瞬心是不同的，對物體O1來說，其做的是定軸轉動運動，O1是其轉軸。但對于物體O2,有的同學為求簡便，想對速度瞬心運用動量矩定理，但是卻找不到速度瞬心。這時倘若能夠掌握好繩子的特點，就可以得到與固定端相連處I就是速度瞬心，再加上I與O2距離不變，對I運用動量矩定理就水到渠成。

例2:O1,O2兩輪質量皆為m，對各自輪心的轉動慣量為mr2，且有R=2r，如圖3所示。小定滑輪C及繞于兩輪的細繩質量不計，輪O2沿斜面只滾不滑。求O1,O2兩輪的加速度。

解：將輪O1,O2分別拿出研究，受力分析如圖4所示。

同樣由繩子的特點可得，由于O1輪與固定段繩段接觸，因此其速度瞬心在接觸點A，故有：

JA·αA=mg·2r-Fc·3r。

輪O2的速度瞬心在與斜面接觸點B處，故有：

JB·αB=Fc·r+mg·sin30°·r。

其中：

JA=mr2+m(2r)2=5mr2。

JB=mr2+mr2=2mr2。

兩輪相連處，由繩子特點2)可知：

a=3r·αA=r·αB。

由此解得：

例2其實與例1差別不大，只是A，B相連處各自的加速度3r·αA，r·αB較難計算，但得出各自的加速度后，只要運用繩子的特點2)，就可以得到補充方程，問題也一樣能夠迎刃而解。

3 結語

由于多個物體通過繩子連接在生活中其實很常見，因此，掌握了這兩個特點不僅對同學們解決此類問題有參考價值，也有一定的現實價值。通過上述兩個例子可知，當遇到多個物體通過繩子相連的問題時，可以嘗試將系統中的物體分別隔離開研究，然后利用繩子的兩個特點，得到物體間力，速度，加速度之間的相對關系，問題就可以解決。當題目提問的量較多時，這種方法不失是一個好方法。

[1] 哈爾濱工業大學理論力學教研室.理論力學Ⅰ[M].北京：高等教育出版社，2009.

Discussion on skillful use rope supplementary equation taking two kinematics problem as an example

Zhang Xubo

(Civil Engineering Institute, Wuhan University, Wuhan 430000, China)

This paper introduced the characteristics of rope without quality, non-recoverable elongation in theory mechanics, taking two simple kinematics issues as an example, elaborated through the characteristics of rope, solves the problem of multiple objects by the rope connected, had certain reference value to solve similar problems.

rope, kinematics, pulley, acceleration

1009-6825(2016)12-0040-02

2016-02-17

張旭波(1994- )，男，在讀本科生

TU312

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