一個(2+1)
——維非線性微分方程的精確解

□張瀚文 呂 娜 隋佳辰

（大連民族大學理學院 遼寧 大連 116600）

一個(2+1)
——維非線性微分方程的精確解

□張瀚文 呂 娜 隋佳辰

（大連民族大學理學院 遼寧 大連 116600）

本文主要研究一個(2+1)——維非線性微分方程精確求解的問題。借助于符號計算軟件Maple，分別利用Ricaati方程法，Exp函數法以及Tanh函數方法求得了一個非線性微分方程的精確解。

精確解；孤子理論；非線性微分方程

在非線性科學領域中的各種動態數學模型，往往可以歸結為非線性微分方程。由于這些非線性微分方程能夠合理地解釋相關的自然現象和性質，因而一直備受數學家和物理學家的青睞。目前非線性微分方程被廣泛應用于自然科學的各個領域，包括流體力學、海洋沖擊波、非線性光學、離子體物理、分子生物學等等，所以對于非線性微分方程的研究無疑將會推動科學的發展。

本文將利用三種方法，Ricaati方程法 [1]，Exp函數法[2,3]和Tanh函數法[4]對以下方程進行求解

其中u=u(x,y,t),b是常數，下標表示偏導數。

1 基于 Ricaati方程法求解

首先我們利用Riccati方程法來求解方程（1），設方程（1）的行波解為

其中k,m,n是常數。將（2）式代入方程（1），則得到如下的非線性常微分方程

現在尋找方程（3）具有如下形式的解：

其中αi是稍后確定的任意常數，Φ滿足Riccati方程：

其中r是常數。平衡方程（3）中最高階線性項v""與最高階非線性項v'2，易知m=2，因此

將（5）和（6）式代入方程（3），使得φi(i=0…6)的系數等于零，可以得到關于α0,α1,α2,k,m,l的方程組，借助Maple可以求得該方程組的解：

在文獻[1]中，Riccati方程（5）具有如下形式的解：

其中ζ=kx+ly+mt。

結合（7）和（8），我們得到方程（1）的精確解為：

2 基于Exp函數方法求解

將方程（1）化為方程（3），考慮方程（3）具有如下形式的精確解

其中αi,bi(i=0,1,2)是稍后確定的任意常數，基于文獻[5]，經過直接的計算我們可以得到，

將（11）式代入方程（10）中即可得出方程（1）的精確解。

3 基于Tanh函數方法求解

考慮方程（3）具有如下形式的精確解：

將（12）式代入方程（3）中，利用Maple求得：

將（13）式代入方程（3）中，得到原方程的解為：

結束語

本文基于Ricaati方程法，Exp函數法和Tanh函數法研究了一個(2+1)——維非線性微分方程，并給出了該方程豐富的精確解。這三個方法對于求解非線性微分方程十分有效，能夠幫助科學家們研究波的傳播規律，同時為檢驗數值解提供了思路。

[1]X.Q.Zhao,D.B.Tang,A new note on a homogeneous balance method,Phys.Lett.A 297(2002),59-67.

[2]J.H.He,L.N.Zhang,Generalized solitary solution and compacton-like solution of the Jaulent-Miodek equations using the Exp-function method,Phys.Lett. A372(2008)1044-1047.

[3]J.H.He,X.H.Wu,Exp-function method for nonlinear wave equations,Chaos Solitons and Fractals 30(2006) 700-708.

[4]范恩貴.可積系統與計算機代數[M].科學出版社，2004.

[5]N.Lv,J.Q.Mei,H.Q.Zhang,New Explicit Solutions for(3+ 1)-dimensional Kadomtsev-Petviashvili(KP)Equation, 11(2011)506-512.

1004-7026（2016）17-0079-01

O572.23

A

10.16675/j.cnki.cn14-1065/f.2016.17.062

大學生創新創業訓練計劃項目（編號：S201612026051）；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（D C201502050403）。