海洋柔性立管二維振動的輸出反饋控制*

盤 川，侯 暢，鄔依林

(1. 東北林業大學信息與計算機工程學院，黑龍江 哈爾濱 150040；2. 廣東第二師范學院計算機科學系，廣東 廣州 510310)

海洋柔性立管二維振動的輸出反饋控制*

盤 川1，侯 暢1，鄔依林2

(1. 東北林業大學信息與計算機工程學院，黑龍江 哈爾濱 150040；2. 廣東第二師范學院計算機科學系，廣東 廣州 510310)

考慮了海洋柔性立管在時變內流和海流作用下二維振動控制問題。柔性立管系統動力學行為由兩個偏微分方程和六個常微分方程描述。為提高其振動控制效果并避免控制溢出,直接基于其無限維分布參數模型,利用Lyapunov直接法和高增益觀測器技術研發了輸出反饋邊界控制來控制立管的二維振動。隨后證明了海流擾動作用下控制系統的一致最終有界穩定性和閉環狀態的一致有界性。最后,仿真結果驗證了文中所設計二維輸出反饋邊界控制算法的有效性。

海洋立管；二維振動；邊界控制；輸出反饋控制；Lyapunov直接法

海洋立管在海底石油鉆探和天然氣開發工程中起到至關重要的作用，因此其振動問題也受到越來越多的關注[1-4]。隨著資源開采進入深水域，所面臨的環境也更加嚴酷，海洋柔性立管在管內流體和海流等載荷作用下的振動也將更加劇烈。而過多的振動將使立管過早疲勞破壞，這將產生昂貴的維修費用，更為甚者，將會帶來嚴重的環境污染。因此，為了保證海洋立管的生產效率，亟需研發機電控制系統以抑制立管的振動。

近年來，為避免基于模型近似或者離散化方法所產生的控制溢出問題[5-8]，海內外很多學者研究了海洋柔性立管的邊界控制[1-4, 9-14]。然而，目前國外關于柔性立管的振動控制研究中，卻都忽略了內流對立管動力學的影響[9-14]。在國內，筆者前期研究成果設計了諸如PD邊界控制、魯棒邊界控制、自適應邊界控制、二維邊界控制等[1-4]，并取得了較好的控制效果，同時也驗證了內流動力學的作用能減小立管系統的自然頻率。然而，在文獻[1-4，9-14]中，作者都假定控制器中的系統狀態均可直接由傳感器測得或應用差分算法獲得。而在實際中，來自傳感器的噪聲是不可避免的，尤其是那些在對時間微分過程中產生的系統狀態，將影響文獻[1-4，9-14]中所設計控制器的執行。因此，為了解決這個問題，本文將使用高增益觀測器來設計輸出反饋邊界控制來抑制立管的振動。

本文以耦合內流動力學的海洋柔性立管系統二維振動主動控制為研究對象，基于其原始無窮維分布參數模型，融合Lyapunov綜合法和邊界控制技術設計了二維輸出反饋邊界控制用于抑制立管的振動偏移量。此外，高增益觀測器用于估計不可測系統狀態量，解決了因差分算法來獲得系統狀態而帶來的噪音放大問題，從而提高控制系統的性能。其后，對海流擾動作用下控制系統的一致最終有界穩定性和和閉環狀態的一致有界性進行了嚴格的數學證明。仿真結果進一步驗證了本文所設計輸出反饋邊界控制器的有效性。

1 問題描述

1.1 立管動力學建模

一類典型海洋柔性立管系統如圖1所示，其中O為坐標系原點，L為立管長度，w(即w(x,t))和v(即v(x,t))分別為立管的橫向和縱向偏移量，Uw(即Uw(t))和Uv(即Uv(t))分別為立管的橫向和縱向控制器，f(即f(x,t))為時變海流。

圖1 一個典型的海洋柔性立管系統Fig.1 A typical flexible marine riser system

本文所研究立管系統模型將引用研究成果文獻[1]，即由文獻[1]中式(9)-(11)可得本文所研究的柔性立管系統動力學模型為

(1)

其中mr和mf分別為立管單位質量和內流單位質量，Vi為時變內流速度，c1和c2分別為結構橫向和縱向阻尼系數，T、EI和EA分別為立管張力、彎曲剛度和軸向剛度，f(x,t)為時變海流干擾載荷，表示為

(2)

其中ρs為海水密度，D為立管外徑，β為相位角，AD為阻力振蕩部分幅值，CD(即CD(x,t))和Vs(即Vs(x,t))分別為阻力系數和時變海流流速，fv=StVs/D為渦旋脫落頻率，St為斯特勞哈爾數。

1.2 預備知識

為方便隨后章節的工作，本小節將列出如下引理[7-8]。

引理1 設φ1(x,t),φ2(x,t)∈R，σ>0其中x∈[0,L]，t∈[0, +∞)，下列不等式成立

(3)

引理2 設φ(x,t)∈R為定義在x∈[0,L]，t∈[0, +∞)的函數，且滿足如下邊界條件

(4)

則有如下不等式組成立

(5)

2 控制設計

控制目標是抑制柔性立管在內外流作用下的二維振動。在本節中，我們采用Lyapunov直接法、邊界控制技術和高增益觀測器在立管上邊界構造兩個輸出反饋邊界控制器，并證明閉環系統的一致有界穩定性。

引理3 假設一個系統的輸出y(t)和它的n階微分都是有界的并滿足|y(k)|0)，我們考慮如下線性系統[15]

(6)

(7)

(8)

其中定義π2動力學和x2(t)的誤差為

(9)

(10)

其中我們定義π02動力學和y2(t)的誤差為

(11)

所研究立管系統模型如式(1)描述，為使該系統穩定，本文提出以下控制律

(12)

其中k1,k2,k3,k4,k5,k6>0為控制增益。

注2 邊界控制中的信號x1(t)=w(L,t)，y1(t)=v(L,t)可由立管頂端的激光位移傳感器測得，w′(L,t)和v′(L,t)可由傾角計測得。此控制器設計獨立于系統參數，因此對系統參數的變化具有穩定魯棒性。

若給定Lyapunov函數為

(13)

其中

(14)

其中ζ,λ1,λ2是正的權重常數。

引理4 由式(13)給定的Lyapunov函數具有如下上下界

(15)

其中?1和?2是兩個正常數，θ(t)為

(16)

證明 應用不等式(3)和文獻[16]中不等式2[v′(x,t)]2≤[w′(x,t)]2可得

(17)

其中μ為正常數。

結合式(14)第一項和式(17)有

(18)

其中

對V2(t)應用不等式(3)可得

(19)

其中

不等式(19)可寫為

(20)

結合式(18)和式(20)，有

(21)

選取適當的ζ,μ,λ1,λ2，可以得到

(22)

將式(22)代入式(21)可得

(23)

不等式(23)兩邊加上V3(t)，有

(24)

其中?1=min(α1,1)和?2=max(α2,1)是正常數。證畢。

引理5 由式(13)給定的Lyapunov函數對時間的導數具有如下上下界

(25)

其中?>0，ω>0。

證明 將式(13)對時間求導，有

(26)

對V1(t)求導，將式(1)代入，應用分部積分并結合式(3)，可得

(27)

其中δ1為任意正常數。

對V2(t)求導，將式(1)代入，應用分部積分并結合不等式(3)-(5)，有

(28)

其中δ2,δ3,δ4,δ5為任意正常數。

對V3(t)求導可得

(29)

將式(27)-(29)代入式(26)并結合不等式(3)-(5)可得

(30)

其中δ6～δ18為任意正常數。選擇適當參數值ζ，λ1，λ2，k1～k6，δ1～δ18滿足如下條件：

由不等式(24)和(30)，得出

(31)

3 穩定性分析

定理1 對由式(1)描述的動態系統在邊界控制器(12)的作用下，系統具有如下的穩定性

(32)

證明 將式(25)乘以e?t，有

(33)

對上述不等式積分得

(34)

其中上式表明V(t)是有界的。

類似的，利用不等式(5)和不等式2[v′(x,t)]2≤[w′(x,t)]2并結合(15)和(18)，可得

(35)

重排上述兩不等式有

(36)

?(x,t)∈[0,L]×[0,∞)。

從上式我們進一步可得

(37)

?x∈[0,L]，證畢。

4 數值仿真

本節將采用有限差分法來數值仿真研究在內流和海流同時擾動作用下柔性立管的動力學響應，并對所設計控制器(12)的有效性進行驗證。柔性立管的系統參數為:L=1 000 m，EI=1.5×107Nm2，EA=4×109Ns/m，T=8.11×107N，mr=350 kg/m，mf=100 kg/m，c1=c2=5 Ns/m2。

海洋洋流速度與深度關系可表示為[2]

(38)

其中V0(t)為洋流表面流速表示為

i=1,2,3,4

(39)

Vi(t)=0.5+0.2cos(0.867t)

(40)

圖2 無控制時的立管偏移量圖Fig.2 Displacement of the riser without control

圖3 控制作用下的立管偏移量Fig.3 Displacement of the riser with control

圖4 立管橫向偏移量：(a) x=1 000 m，(b) x=500 mFig.4 Transverse Displacements of the riser

圖5 立管縱向偏移量：(a) x=1 000 m，(b) x=500 mFig.5 Longitudinal displacements of the riser

圖6 輸出反饋控制輸入Fig.6 Output feedback control inputs

圖2和圖3分別給出了立管在無/有控制作用下三維橫、縱向偏移圖，圖4和圖5則分別給出了立管在x=1000 m和x=500 m處無/有控制作用下二維橫、縱向振動偏移圖。圖6給出了二維輸出反饋邊界控制輸入。

由仿真結果圖2-圖6可得出如下結論：

1)當所提出的輸出反饋控制(12)作用于立管系統時，立管的橫向振動偏移量和縱向偏移量都數千倍的減小，驗證了本文所設計控制器的有效性。

2)在立管的中部(x=500 m)，雖然未布置有控制器，但其振動偏移量在控制作用下也有非常顯著的減小，體現了邊界控制在柔性結構振動抑制中的優勢。

3)對比本文圖3和文獻[1]中的圖2(b)和圖3(b)，可知在控制作用下，本文中立管橫、縱向振動偏移量都遠遠小于文獻[1]中控制后立管的橫、縱向振動偏移量。因此，本文所提出的輸出反饋控制在系統狀態獲取不精確條件下能更好地抑制立管的二維振動偏移量。

5 結 論

本文研究了海洋柔性立管在時變內流和海流耦合作用下二維振動控制問題。基于其偏微分-常微分方程描述的無窮維模型，采用Lyapunov直接法和高增益觀測器技術相結合的綜合法，設計了輸出反饋邊界控制來對立管的二維振動進行控制。其后運用Lyapunov穩定性理論對控制系統的一致最終有界穩定性進行了嚴格地證明。本文的控制設計及穩定性分析沒有任何離散化或者簡化系統偏微分方程動力學，因此控制溢出問題將不會產生。最后采用有限差分法來模擬系統的數值解，由仿真結果可知文中所設計二維輸出反饋邊界控制器的可行性和有效性。

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Output feedback control for two dimensional vibration of a flexible marine riser

PANChuan1,HOUChang1,WUYilin2

(1. Information and Computer Engineering Institute, Northeast Forestry University, Harbin 150040, China;2. Department of Computer Science, Guangdong University of Education, Guangzhou 510310, China)

The two dimensional vibration control problem of a flexible marine riser with internal fluid dynamics and the ocean current is considered. The dynamic behavior of the flexible riser is described by two partial differential equations and six ordinary differential equations. To improve the vibration control performance and avoid the control spillover, the Lyapunov’s direct method and high-gain observer technique are adopted to develop two output feedback boundary controllers for vibration suppression of the riser system based on its original infinite-dimensional model. With the proposed control, uniform ultimate boundedness under ocean current disturbance and uniform boundedness of the closed-loop state are proved. The simulation results have verified the effectiveness of the designed boundary control scheme.

marine risers; two dimensional vibration; boundary control; output feedback control; Lyapunov’s direct method

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.04.004

2016-04-13

廣東省科技計劃資助項目(2016A010106007)；廣東第二師范學院教授博士科研專項經費資助項目(2014ARF25)

盤川(1995年生)，女；研究方向：分布參數系統；通訊作者：侯暢；E-mail:zzuhchang@163.com

TP24

A

0529-6579(2016)04-0018-08