學好“證明”應該掌握的幾點知識

顏世波

學習本章知識，讓我們經歷了觀察、實驗、歸納、類比等數學活動，探索了基本圖形的一些性質，在探索性質的同時，我們又學會了推理，下面是本章學習的一些知識點，讓我們來共同認識一下吧！

一、 定義與命題

1. 定義

對名稱或術語的含義進行描述或做出規定，就是給出它們的定義.

【注解】定義的規則：（1） 應相稱，即定義概念和定義概念外延相等；（2） 不循環；（3） 一般不是否定判斷；（4） 應清楚確切.

例1 下列屬于定義的是（ ）.

A. 兩點之間線段最短

B. 兩直線平行，同位角相等

C. 三邊相等或三角相等的三角形為等邊三角形

D. 等角的余角相等

【分析】A、B、D選項不是在進行描述或做出規定，而是對一件事做出了一個判斷，因此A、B、D錯誤；C選項對等邊三角形做出了明確的規定，是定義，故選C.

【答案】C.

【點評】判斷一句話是不是定義，主要依據定義的含義.

2. 命題

（1） 對某一件事情做出判斷的句子叫作命題.

【注解】①定義是命題，命題不一定是定義；②判斷一句話是不是命題，要看是否能進行判斷，即是肯定還是否定，命題必須是一個完整的帶有判斷性語句的句子，通常是陳述句，而疑問句和命令性語句都不是命題；③錯誤的判斷也是一個命題.

例2 下列語句中，屬于命題的是（ ）.

A. 這個問題 B. 這支筆是黑色的

C. 一定相等 D. 畫一條線段

【分析】能夠判斷一件事情的句子就是命題，句子中往往含有“是”“不是”“能”“不能”等表示判斷的詞語.沒有對一件事情做出判斷的句子就不是命題.

【答案】B.

【點評】看這句話是不是命題的關鍵就是：是不是對一件事情做出判斷.

（2） 在數學中命題一般由條件和結論兩部分組成.

【注解】①每個命題都是由條件和結論兩部分組成的，命題常寫成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面的部分是條件，“那么”后面的部分是結論；②命題的條件部分是已知的事項，結論是由已知事項推出的事項.

例3 把命題“對頂角相等”改寫成“如果……，那么……”的形式：______________.

【分析】分清楚這句話中的條件和結論即可.條件是：這兩個角是對頂角，結論是：這兩個角相等.

【答案】如果這兩個角是對頂角，那么這兩個角相等.

【點評】一個命題要改寫成“如果……，那么……”的形式，務必要弄清楚命題中的條件和結論.

3. 真命題、假命題

（1） 真命題：如果條件成立，那么結論成立，這樣的命題叫真命題.

（2） 假命題：如果條件成立，不能保證結論一定成立，這樣的命題叫作假命題.

【注解】（1） 如果題設成立，真命題的判斷總是正確的；而假命題的判斷不能保證總是正確的.

（2） 要說明一個命題是假命題，只要舉出一個“反例”就可以了；而要說明一個命題是真命題，無論驗證多少個例子，都無法保證這個命題的正確性，要說明它的正確性，就需要說理論證的過程，說理論證過程中的每一步都要有依據，前一步的條件與后一步的結論必須吻合，且推理要嚴密，要有邏輯性.

例4 下列命題是假命題的是 （ ）.

A. 若x

B. 單項式-的系數是-4

C. 若x-1+（y-3）2=0，則x=1，y=3

D. 平移不改變圖形的形狀和大小

【分析】B的系數是-，所以是錯誤的.

【答案】B.

【點評】本題涉及很多知識，如果有的知識點記得不是很全面，可以用排除法來進行選擇，但是這四個選項的知識都需要熟練掌握.

二、 證明

1. 事件的判斷

觀察、操作、實驗是人們認識事物的重要手段，通過觀察、操作、實驗得到的結論常常是正確的，但是僅憑觀察、操作、實驗得到的結論有時是不深入的、不全面的，甚至是錯誤的.

【注解】（1） 通過觀察、操作、實驗探索發現的一些結論不一定正確.

（2） 數學中探索發現的結論如果是錯誤的，只要舉一個例子說明它是假的即可；如果探索的結論是正確的，那么需要加以證明或用已有的數學工具進行具體的測量.

例5 ①圖1中，直線AB和直線CD平行嗎？請你先觀察，再用推平行線的方法驗證一下.

②如圖2，兩個大小相同的大圓，其中一個大圓內有10個小圓，另一個大圓內有2個小圓，你認為大圓內的10個小圓的周長之和與另一個大圓內的2個小圓的周長之和哪個大些？

【分析】要完成本題，不能只靠目測，要使用一些測量工具來進行驗證，①中可以利用直尺平移來驗證兩條直線是否平行；②中用直尺和圓規來驗證即可.

【答案】①圖1中通過觀察，直線AB與直線CD不平行，但是通過平推平行線的方法驗證發現：AB∥CD. ②如圖2中直覺是大圓內的10個小圓的周長之和小于另一個大圓內的2個小圓的周長之和，但是通過測量發現兩者周長之和一樣大.

【點評】由于視覺上的差異可能會產生偏差，所以做這類試題先不要急于下結論，而是應該先利用直尺等工具進行實際測量，然后再下結論，這樣才能保證答案的正確性.

2. 證明與定理

（1） 證明：根據已知的真命題，確定某個命題真實性的過程叫作證明.

【注解】證明是說明真命題的說理過程，證明過程必須做到言必有據. 證明過程通常包含幾個推理過程，每個推理應包括因、果和由因得果的依據. 其中，“因”是已知事項；“果”是推得的結論，“由因得果的依據”是基本事實、定義、已學過的定理以及等式性質、不等式性質等.

例6 已知：如圖3，直線AB、CD被直線EF所截，AB∥CD，GM平分∠EGB，HN平分∠EHD.

求證：GM∥HN.

【分析】本題要證明GM∥HN，就要利用證明平行線的方法，即“同位角相等，兩直線平行”來證明.

證明：∵AB∥CD（已知），

∴∠EGB=∠GHD（兩直線平行，同位角相等），

而GM平分∠EGB，HN平分∠EHD（已知），

∴∠EGM=∠EGB，∠GHN=∠EHD（角平分線定義），

∴∠EGM=∠GHN（等量代換），

∴GM∥HN（同位角相等，兩直線平行）.

【點評】本題通過證明兩條直線平行，充分說明了證明過程中要做到言必有據.

（2） 定理：經過證明的真命題稱為定理.

【注解】①定理也可以作為推理的依據；②定理是真命題，但真命題不一定是定理，也可能是基本事實，如“兩點確定一條直線”等；③判斷一個命題是否為真命題，往往需要經過推理證明，證明中的每一步推理都要有根據，不能“想當然”，這些根據，可以是已知條件，也可以是學過的定義、基本事實、定理等.

例7 下列命題：①三角形的內角和等于180°；②兩點確定一條直線；③兩直線平行，同位角相等；④相等的角是直角.其中是定理的有（ ）.

A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個

【分析】命題①是三角形內角和定理；命題②是基本事實；命題③是平行線的性質定理；命題④是假命題.因此定理有2個：命題①③，故選C.

【答案】C.

【點評】定理必須滿足兩個條件：（1） 真命題；（2） 是通過證明推理是真的.一些結論雖然也是真的，但是是大家公認的，不需要證明的一些描述則不能算是定理.

3. 證明與圖形有關的命題的一般步驟

（1） 根據題意，畫出圖形；

（2） 根據命題的條件、結論，結合圖形，寫出已知、求證；

（3） 寫出證明過程.

【注解】①證明過程的基本結構是：“∵……（ ），∴……（ ）. ”其中“∵”后面寫推理的因，“∴”后面寫推理的果，“（ ）”里面寫出條件的由來或由因到果的依據理由. 由此可見，每一步推理應包括“因”“果”“理由”三部分，而且因果關系必須合理. 證明過程就是由這一步步“推理”構成的. ②推理的表述形式有三種：一因一果型；一因多果型；多因一果型. 特別是多因一果型，必須要多“因”齊全才能得出“果”. 證明就是找“果”“因”之間的“邏輯鏈”，一要言必有據，二要書寫規范.

例8 如何從基本事實出發，證明“兩條平行線被第三條直線所截，內錯角的平分線互相平行”.

已知：如圖4，

證明：AB∥CD（已知），

∴∠BMF=∠CHE（ ），

又∵MN，HG分別平分∠BMF，∠CHE（ ），

∴∠1=∠BMF，∠2=∠CHE （ ），

∴∠1=∠2（ ），

∵∠1=∠2（已證），

∴MN∥HG（ ）.

【分析】已知事項就是條件部分，而求證就是結論部分.分清楚后再完成證明過程.

【答案】已知：如圖，AB∥CD，直線AB、CD被直線EF所截，交點分別為M、H，MN、HG分別為∠BMF、∠CHE的角平分線.求證：MN∥HG.

證明：AB∥CD（已知），

∴∠BMF=∠CHE（兩直線平行，內錯角相等），

又∵MN，HG分別平分∠BMF，∠CHE（已知），

∴∠1=∠BMF，∠2=∠CHE（角平分線定義），

∴∠1=∠2（等量代換），

∵∠1=∠2（已證），

∴MN∥HG（內錯角相等，兩直線平行）.

【點評】要完成本題就應該：（1） 根據題意，畫出圖形；（2） 根據命題的條件、結論，結合圖形，寫出已知、求證；（3） 寫出證明過程.

4. 三角形外角的性質

三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

【注解】“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”是三角形內角和定理的推論.

它為證明一角等于兩角的和提供了重要依據.

例9 如圖5，點D在△ABC邊BC上，且∠ADC=75°，∠1=∠B，求∠BAC的度數.

【分析】本題是利用“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和”來計算的.

解：∵∠ADC=∠B+∠BAD（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和），

∠1=∠B（已知），

∴∠ADC=∠1+∠BAD（等量代換），即∠ADC=∠BAC.

∵∠ADC=75°（已知），

∴∠BAC=75°（等量代換）.

【點評】解決此類問題的關鍵是正確判斷出角之間的位置關系，從而運用推論來做.

三、 互逆命題

1. 互逆命題：在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫作互逆命題. 其中一個命題是另一個命題的逆命題.

【注解】（1） 任何命題都有逆命題，互逆命題是成對出現的，是相互的.（2） 寫逆命題前必須找準原命題的條件和結論，然后互換條件和結論.（3） 原命題的真假性與逆命題的真假性之間沒有必然聯系，它們的真假性是孤立的.

例10 寫出下列命題的逆命題.

（1） 如果兩個角相等，那么它們是對頂角；

（2） 如果ab=0，那么a=0，b=0；

（3） 一個角的補角一定大于這個角.

【分析】第（1）（2）兩個命題的條件和結論比較容易找出，互換一下條件和結論就得到原命題的逆命題；第（3）個命題條件是：一個角的補角，結論是：這個角的補角一定大于這個角，互換條件和結論時，注意語句的通順.

【答案】（1） 逆命題是：如果兩個角是對頂角，那么它們相等.

（2） 逆命題是：如果a=0，b=0，那么ab=0.

（3） 逆命題是：如果一個角大于另一個角，那么它一定是這個角的補角.

【點評】在寫一個命題的逆命題時，可以先把這個命題用“如果……那么……”的形式表示出來，然后把“那么……”放到前面，把“那么”變成“如果”，把“如果……”變成“那么……”放到后面.

2. 互逆命題的真假性

數學中，判斷一個命題是假命題，只需要舉出一個反例即可.要說明一個命題是真命題，就必須用推理論證的方法，而不能只憑一個例子.

【注解】（1） 反例的特點：它具備命題的條件，而不具備命題的結論；

（2） 要說明一個命題是真命題，根據命題的條件、結論，結合圖形，寫出已知、求證，并完成證明過程.

例11 寫出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假：

（1） 有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；

（2） 三角形的外角和是360°；

（3） 含有一個未知數的整式方程是一元一次方程.

【分析】三個命題中，命題（3）是假命題，因未強調未知數的次數是1；命題（2）的逆命題是假命題，因多邊形的外角和都是360°.

【答案】命題（1）的逆命題是：等腰三角形有兩條邊相等.原命題與逆命題均是真命題.

命題（2）的逆命題是：外角和是360°的是三角形.原命題是真命題，而逆命題是假命題.

命題（3）的逆命題是：一元一次方程是含有一個未知數的整式方程.原命題是假命題，而逆命題是真命題.

【點評】一個原命題的真假性與逆命題的真假性不存在必然聯系.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆外國語學校）