正確認識例題在學習中的作用

宋新陽

在數學學習中，不要放過任何一道看上去很簡單的例題，它們往往并不是那么簡單，或者可以引出很多知識點.下面我們列舉數例：

1. （見課本150頁）證明“垂直于同一條直線的兩條直線平行”.

已知：如圖1，直線a⊥直線c，直線b⊥直線c.

求證：a∥b.

證明：∵a⊥c（已知）.

∴∠1=90°（垂直的定義）.

∵b⊥c（已知），

∴∠2=90°（垂直的定義）.

∵∠1=90°，∠2=90°（已證），

∴∠1=∠2（等量代換）.

∵∠1=∠2（已證），

∴a∥b（同位角相等，兩直線平行）.

啟示：此例讓我們明白了“垂直于同一條直線的兩條直線平行”，同時也告訴我們證明與圖形問題有關的命題的三個步驟.另外讓我們明白了證明過程必須做到言必有據，推理過程包括因果和由因得果的依據.

你注意了嗎？

2. （見課本154頁）已知：如圖2，AC、BD相交于點O.

求證：∠A+∠B=∠C+∠D.

證明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°（三角形三個內角的和等于180°）.

∴∠A+∠B=180°-∠AOB（等式性質）.

在△COD中，同理可得

∠C+∠D=180°-∠COD.

∵∠AOB=∠COD（對頂角相等），

∴∠A+∠B=∠C+∠D（等量代換）.

啟示：本例我們該如何認識呢？

筆者認為：①鞏固推理過程的三環節（因果及由因得果的依據）；②鞏固定理“三角形三個內角的和等于180°”；③啟發我們對于兩個三角形，應該聯系起來考慮，不要割裂開來，本題很自然就能聯系到∠AOB與∠COD了.

你清楚了嗎？

3.（見課本159頁）證明平行于同一直線的兩條直線平行.

已知：如圖3，直線b∥直線a，直線c∥直線a.

求證：b∥c.

證明：作直線d，使它與直線a、b、c都相交.

∵b∥a（已知），

∴∠2=∠1（兩直線平行，同位角相等）.

∵c∥a（已知），

∴∠3=∠1（兩直線平行，同位角相等）.

∴∠2=∠3（等量代換）.

∴b∥c（同位角相等，兩直線平行）.

啟示：本題不僅僅告訴我們一個重要的結論“平行于同一直線的兩條直線平行”，同時還向我們展示了輔助線的重要作用.（輔助線被稱為智慧之線，當問題的條件不夠時，添加輔助線構成新圖形形成新關系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問題轉化為自己能解決的問題，這也是解決問題的常用策略.希望同學們認真領悟，積累輔助線的添加思路.）

你讀懂了嗎？

4. （見課本159頁）證明：直角三角形的兩個銳角互余.

已知：如圖4，在△ABC中，∠C=90°.

求證：∠A+∠B=90°.

證明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°

（三角形三個內角的和等于180°）.

∴∠A+∠B=180°-∠C（等式性質）.

∵∠C=90°（已知），

∴∠A+∠B=180°-90°（等量代換），

即 ∠A+∠B=90°.

啟示：我們通過本題也獲得了一個重要的結論，同時也鞏固了三角形內角和定理的應用，特別地還給我們新的啟迪，你能說出它的逆命題嗎？這個命題是真命題嗎？為什么？

通過本題的學習我們不僅又掌握了一個重要結論“有兩個角互余的三角形是直角三角形”，特別地還告訴我們一條拓展知識的重要途徑——研究命題.

同學，你領悟了嗎？

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆外國語學校）