數(shù)學(xué)思想推動(dòng)證明思路

王軍

證明是判斷一個(gè)命題是真命題的推理過(guò)程，有利于培養(yǎng)人的思維品質(zhì)，培養(yǎng)人的推理意識(shí)，是中考命題的重要考點(diǎn)，主要考查對(duì)證明推理過(guò)程的理解和邏輯推理的能力，題型有選擇題、填空題和解答題.

證明中的推理過(guò)程不能“想當(dāng)然”，每一步推理都要有根據(jù).這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是定義、定理和公理，推理過(guò)程要嚴(yán)密. 證明中的邏輯推理離不開數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)思想有助于尋找邏輯推理的依據(jù)和途徑.

一、 方程思想的應(yīng)用

在處理兩條直線的平行問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)遇到角的關(guān)系問(wèn)題，而這種角的關(guān)系又通常需要利用一個(gè)等式才能顯現(xiàn)出來(lái)，其中也離不開方程.

例1 如圖1，若a∥b，∠1=3x+70°，∠2=2x+80°，則x=______，∠3=______.

解：若a∥b，可得：∠1=∠2 （因?yàn)椤?與∠2的對(duì)頂角是同位角），

所以可得： 3x+70°=2x+80°，

解得：x=10°，

即：∠3=180°-∠1=180°-100°=80°.

【點(diǎn)評(píng)】本題根據(jù)平行線的性質(zhì)得出圖形中角與角之間的數(shù)量關(guān)系，并通過(guò)方程求出x的大小，進(jìn)而使問(wèn)題獲解.

二、 轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用

有些數(shù)學(xué)題目，初看覺(jué)得無(wú)從下手，但若能轉(zhuǎn)化解題思路，問(wèn)題便能得到順利解決.

例2 如圖2，AB平行EF，BC垂直CD于C，∠ABC=30°，∠DEF=45°，求∠CDE的大小.

【解析】本題的條件中雖然給出了平行線與垂直，還給出了兩個(gè)具體角的大小，但好像還是與要求的角無(wú)關(guān)，考慮有平行線，想到可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，于是，過(guò)點(diǎn)C和D作平行線，這樣就可分別將要求的角轉(zhuǎn)化到已知角中去.

解：分別過(guò)點(diǎn)C，D作CM∥AB，DN∥AB，

由AB ∥ EF，得到AB ∥ CM ∥ DN∥ EF，

∴∠ABC=∠BCM=30°，∠DEF=∠GDE=45°，∠MCD=∠CDG.

∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，

∴∠MCD=∠CDG=60°，

∴∠CDE=∠CDG+∠GDE=105°.

【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握平行線的條件和特征，并能靈活運(yùn)用是求解本題的關(guān)鍵，充分運(yùn)用條件，及時(shí)利用輔助線將問(wèn)題轉(zhuǎn)化是正確求解的前提.另外，對(duì)于兩條平行線間的“折線”與“拐角”的問(wèn)題，一般都是在拐點(diǎn)處作平行線，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化，從而構(gòu)造出一些相等的角或互補(bǔ)的角，使已知與未知一目了然，達(dá)到解題的目的.

三、 整體思想的應(yīng)用

從問(wèn)題的整體著手進(jìn)行思考，往往會(huì)使問(wèn)題的解答快捷，迅速，可以培養(yǎng)同學(xué)們思維的敏捷性.

例3 已知在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°.

（1） ∠ABC+∠ADC=_______；

（2） 如圖3，若DE平分∠NDC的外角，BF平分∠ABC的外角，請(qǐng)寫出DE與BF的位置關(guān)系，并證明.

（3） 如圖4，若BE、DE分別四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE=∠CDN，∠CBE=∠CBM），試求∠E的度數(shù).

【解析】（1） 根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°列式計(jì)算即可得解；

（2） 延長(zhǎng)DE交BF于G，根據(jù)角平分線的定義可得∠CDE =∠ADC，∠CBF =∠CBM，然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根據(jù)垂直的定義證明即可；

（3） 先求出∠CDE+∠CBE，然后延長(zhǎng)DC交BE于H，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求解即可.

解：（1） ∵∠A=∠C=90°，

∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°，

故答案為：180°；

（2） 延長(zhǎng)DE交BF于G，

∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，

∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，

又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，

∴∠CDE=∠CBF，

又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，

∴∠BGE=∠C=90°，

∴DG⊥BF，即DE⊥BF；

（3） 由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，

∵BE、DE分別四等分∠ABC、∠ADC的外角，

∴∠CDE+∠CBE=×180°=45°，

延長(zhǎng)DC交BE于H，由三角形的外角性質(zhì)得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，

∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，

∴∠E=90°-45°=45°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，要注意整體思想的利用.

四、 分類討論思想的應(yīng)用

數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題由于題設(shè)交代籠統(tǒng)，需要進(jìn)行討論；另外由于題意復(fù)雜，包含情況比較多，也要進(jìn)行討論.分類是按照數(shù)學(xué)對(duì)象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類的方法，其目的是使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

例4 設(shè)直線a∥b，在a上任取兩點(diǎn)A，B，在直線b上任取兩點(diǎn)C，D，再在兩平行線之間任取一點(diǎn)E，試判斷∠BED，∠ABE，∠EDC之間有何關(guān)系？請(qǐng)猜想并證明你的結(jié)論.

【解析】連接線段BD，考慮到E點(diǎn)與BD之間的位置關(guān)系：點(diǎn)E可能在BD上，也可能在線段BD的左側(cè)，還可能在線段BD的右側(cè)，故解答此問(wèn)題應(yīng)注意分三種情況進(jìn)行討論

解：連接BD.

（1） 當(dāng)E點(diǎn)在線段BD上時(shí)，這時(shí)∠BED=180°，∠ABE+∠EDC=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），所以∠BED=∠ABE+∠EDC；

（2） 當(dāng)點(diǎn)E在線段BD的左側(cè)時(shí)，過(guò)E點(diǎn)作EF∥AB，交BD于F，所以EF∥CD（平行公理的推論），所以∠BEF=∠ABE，∠FED=∠EDC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），所以∠BEF+∠FED=∠ABE+∠EDC（等量性質(zhì)），即∠BED=∠ABE+∠EDC；

（3） 當(dāng)點(diǎn)E在線段BD的右側(cè)時(shí)（解略）.

【點(diǎn)評(píng)】利用分類討論思想解題時(shí)，需要認(rèn)真審題，全面考慮，要做到不重不漏.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）